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Autor Tema: Variedad proyectiva  (Leído 983 veces)
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malevolex
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« : 04 Julio, 2019, 11:13 »

Buenas,

Me piden demostrar lo siguiente
Sea[texx] X\subset{}P(E)[/texx]
Demostrar que si para cualesquiera dos puntos P,Q [texx]\in{}[/texx] X la recta que une P y Q está enteramente contenida en X entonces X es una variedad proyectiva.

¿Alguna ayuda?
P(E) es un espacio proyectivo y E uno vectorial
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« Respuesta #1 : 04 Julio, 2019, 11:49 »

La idea es, grosso modo, la siguiente.
Tienes que ver que hay un subespacio vectorial [texx]F \subseteq E[/texx] tal que [texx]X=P(F)[/texx]. Para ello, toma como [texx]F[/texx] la antiimagen de [texx]X[/texx] vía la proyección [texx]E - \{0\} \rightarrow P(E)[/texx], junto con el [texx]0[/texx]. Entonces [texx]F[/texx] es un subconjunto de [texx]E[/texx], que es además unión de rectas que pasan por el origen. Para ver que [texx]F[/texx] es un subespacio, observa que la condición que te dan se traduce en que si dos rectas por el origen están contenidas en [texx]F[/texx] entonces también está contenido en [texx]F[/texx] el plano que generan. Usando esta condición no te debería resultar difícil comprobar que [texx]F[/texx] es subespacio.
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« Respuesta #2 : 04 Julio, 2019, 12:24 »

Pues la verdad que no entiendo muy bien a qué te refieres, por qué es suficiente ver que F es subespacio vectorial. La idea que tengo es que tengo que ver que todos los elementos de X son subespacios de dimensión 1, y eso no tengo ni idea de cómo se hace.
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« Respuesta #3 : 04 Julio, 2019, 12:27 »

Eres el mismo malevolex que el de LWDF?
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« Respuesta #4 : 04 Julio, 2019, 12:48 »

Pues la verdad que no entiendo muy bien a qué te refieres, por qué es suficiente ver que F es subespacio vectorial. La idea que tengo es que tengo que ver que todos los elementos de X son subespacios de dimensión 1, y eso no tengo ni idea de cómo se hace.

Es esencialmente la definición de variedad (lineal) proyectiva. ¿Qué definición manejas de variedad proyectiva? Si la pones podemos adaptar el argumento a tus definiciones.
Al final, el resultado clave que tienes que tener en cuenta es que hay una correspondencia biunívoca entre variedades proyectivas lineales de dimensión [texx]k[/texx] en [texx]P(E)[/texx] y subespacios vectoriales de dimensión [texx]k+1[/texx] en [texx]E[/texx].

Tampoco entiendo muy bien lo que dices después. Lo de "los elementos de [texx]X[/texx] son subespacios de dimensión [texx]1[/texx]" es un caso particular de lo que digo en mi párrafo anterior: los puntos de un espacio proyectivo [texx]P(E)[/texx] (que puedes pensar como variedades de dimensión [texx]0[/texx]) se corresponden con los subespacios vectoriales de dimensión [texx]1[/texx] en [texx]E[/texx] (es decir, rectas que pasan por el origen en [texx]E[/texx]). Pero esto no te dice nada sobre si [texx]X[/texx] es una variedad o no. Cualquier subconjunto (no necesariamente variedad) [texx]X[/texx] en [texx]P(E)[/texx] se corresponde con una unión de subespacios de dimensión [texx]1[/texx] (pero no necesariamente con un subespacio) en [texx]E[/texx].
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« Respuesta #5 : 04 Julio, 2019, 15:15 »

La variedad proyectiva la entiendo como el conjunto de todos los subespacios de dimensión 1 de E...

Ya entiendo lo que dices, pero ¿Cómo demuestro que F es subespacio? Entiendo que sale aplicando la definición ¿Pero cómo? Formalmente, no la idea intuitiva... ya que dos rectas por así decir no se pueden sumar...

Hola AlexFeynmann, sí soy el mismo
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« Respuesta #6 : 04 Julio, 2019, 15:28 »

Ya entiendo lo que dices, pero ¿Cómo demuestro que F es subespacio? Entiendo que sale aplicando la definición ¿Pero cómo? Formalmente, no la idea intuitiva... ya que dos rectas por así decir no se pueden sumar...

Toma dos vectores [texx]u,v \in F[/texx], que podemos suponer no nulos (si alguno es cero lo que sigue es trivial) y vamos a ver que cualquier combinación lineal [texx]\lambda u + \mu v[/texx] está también en [texx]F[/texx].
Considera los subespacios de dimensión [texx]1[/texx] [texx]\langle u \rangle, \langle v \rangle[/texx]. Estos espacios están contenidos en [texx]F[/texx] (porque [texx]F[/texx] es unión de rectas). Por la hipótesis del problema, como he dicho en el primer mensaje, se sigue que [texx]\langle u,v \rangle \subseteq F[/texx]. Por tanto, cualquier combinación lineal de [texx]u,v[/texx], al estar en el plano [texx]\langle u,v \rangle[/texx], también está en [texx]F[/texx].
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« Respuesta #7 : 04 Julio, 2019, 15:37 »

pero lo que te dicen es que la recta que une u y v está en X, no necesariamente en F ¿no? ¿Y no sería una recta en vez de un plano?
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« Respuesta #8 : 04 Julio, 2019, 17:04 »

Pues vaya casualidad verte aquí.

Un saludo, y buena suerte con la carrera y que consigas aumentar tu nota.
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« Respuesta #9 : 04 Julio, 2019, 17:38 »

No me has entendido. Lo que hago es traducir los datos del espacio proyectivo [texx]P(E)[/texx] al espacio vectorial [texx]E[/texx], usando la correspondencia entee subespacios de [texx]E[/texx] y variedades lineales de [texx]P(E)[/texx].

En el espacio proyectivo tienes [texx]X[/texx] que es una unión de puntos. Eso se corresponde a una unión de rectas [texx]F[/texx] en [texx]E[/texx].
Por otro lado, te dicen que dados un par de puntos [texx]p,q \in X[/texx], la recta que los une (proyectiva, en [texx]P(E)[/texx]) está contenida en [texx]X[/texx]. Eso se traduce en el espacio vectorial [texx]E[/texx] a que el plano en [texx]E[/texx] que generan las rectas (en [texx]E[/texx]) correspondientes a los puntos [texx]p,q[/texx] (que es el plano en [texx]E[/texx] correspondiente a la recta que pasa por [texx]p,q[/texx] en [texx]P(E)[/texx]) está contenida en [texx]F[/texx].

O lo que es lo mismo, dadas dos rectas (en [texx]E[/texx]) contenidas en [texx]F[/texx] (que corresponden pues a dos puntos de [texx]X[/texx]), el plano que generan está también contenido en [texx]F[/texx].
Y ahora usas esta última propiedad para demostrar que [texx]F[/texx] es subespacio vectorial de [texx]E[/texx] y por tanto, el conjunto correspondiente en [texx]P(E)[/texx], que es [texx]X[/texx], es variedad lineal.
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« Respuesta #10 : 15 Agosto, 2019, 15:58 »

Hola Geometracat,
Vale ya entiendo lo que dices, pero aún tengo alguna duda... la geometría proyectiva me cuesta lo suyo imaginarmela, por ejemplo, dicen que una recta que pasa por dos puntos de P(E) es una recta y es la menor variedad proyectiva que contiene a esos dos puntos, bueno pues cosas así me cuesta imaginarlo (cómo se hace una recta entre dos rectas?) Quizás con un dibujo me quedaría más claro. De todos modos, creo que faltaría demostrar que la proyección de lambda u + mu u es la recta que une los puntos u y v de P(E)
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« Respuesta #11 : 15 Agosto, 2019, 18:50 »

Lo más fácil es visualizar el espacio proyectivo como el espacio afín más el "hiperplano en el infinito". Así las intuiciones usuales del espacio afín funcionan bastante bien (salvo que no hay "paralelismo").

De todas formas, creo que tu problema viene de mezclar el espacio vectorial [texx]E[/texx] con su proyectivizado [texx]P(E)[/texx]. No debes mezclar las dos cosas o te harás un lío. Por ejemplo, puedes pensar en una recta que une dos puntos en [texx]P(E)[/texx] o un plano que contiene dos rectas en [texx]E[/texx], pero es un error mezclar las dos imágenes (como parece que haces al decir "recta que une dos rectas", cosa que no tiene mucho sentido).

Aparte de esto, el tener que traducir conceptos del espacio proyectivo al espacio vectorial, como en este problema, es algo que normalmente no es necesario, salvo al establecer la teoría y hechos básicos al principio. Por ejemplo, una vez has hecho el ejercicio, puedes pensar una variedad proyectiva como un subconjunto [texx]S[/texx] del espacio proyectivo tal que la recta que une dos puntos cualesquiera de [texx]S[/texx] está contenida en [texx]S[/texx], de manera que puedes hablar de variedades proyectivas sin tener que recurrir al espacio vectorial.

Luego en problemas más geométricos se suele pensar todo como he indicado al principio, de manera parecida al espacio afín.

Sobre lo último que dices, el subespacio [texx]\langle u,v \rangle[/texx] de [texx]E[/texx] contiene a las rectas (en [texx]E[/texx]) [texx]\langle u \rangle[/texx] y [texx]\langle v \rangle[/texx]. Esto quiere decir que la recta en [texx]P(E)[/texx] [texx]\pi(\langle u,v \rangle)[/texx] contiene a los puntos de [texx]P(E)[/texx] [texx]\pi(u)[/texx] y [texx]\pi(v)[/texx].
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« Respuesta #12 : 15 Agosto, 2019, 19:06 »

A qué te refieres con hiperplano en el infinito?
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« Respuesta #13 : 15 Agosto, 2019, 19:31 »

Si tienes un espacio proyectivo [texx]P(E)[/texx] y [texx]H[/texx] es un hiperplano, entonces [texx]P(E) - H[/texx] es un espacio afín. De manera que puedes pensar [texx]P(E)[/texx] como añadirle un hiperplano a un espacio afín. En este caso ese hiperplano se llama "hiperplano en el infinito".
Esto se ve mejor si tomas coordenadas. Considera coordenadas homogéneas en un espacio proyectivo de dimensión [texx]n[/texx], [texx][x_0:x_1: \dots: x_n][/texx].
Entonces, puedes identificar los puntos de la forma [texx][1:x_1: \dots :x_n][/texx] con un espacio afín de dimensión [texx]n[/texx], cuyos puntos tienen coordenadas [texx](x_1,\dots,x_n)[/texx].
Los puntos del espacio proyectivo que no son de la forma [texx][1:x_1: \dots: x_n][/texx] son los de la forma [texx][0:x_1:\dots:x_n][/texx]. Pero estos puntos forman un espacio proyectivo de una dimensión [texx]n-1[/texx] (con coordenadas homogéneas [texx][x_1:x_2: \dots: x_n][/texx], es decir, son un hiperplano proyectivo.

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