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Autor Tema: Función medible  (Leído 96 veces)
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« : 04/07/2019, 02:24:43 am »

hola traigo un problema, espero me puedan ayudar

1.Sea[texx] (\Omega,F)[/texx] un espacio medible y [texx](\mu_n)_{n \in N} [/texx] una sucesión de medidas [texx] \mu_n: F\rightarrow [0, +\infty] \forall n \in N [/texx]. Más aun sea [texx] \mu:F\rightarrow [0, +\infty] [/texx] dada por:
[texx] \mu(A)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \mu_n(A) [/texx]

Entonces [texx] \mu[/texx] es una medida y además para cada f función positiva y medible se cumple que:
[texx] \displaystyle\int_{\Omega} f\, d\mu=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\int_{\Omega} f\, d\mu_n [/texx]
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« Respuesta #1 : 04/07/2019, 05:34:11 am »

hola traigo un problema,espero me puedan ayudar
1.Sea[texx] (\Omega,F)[/texx] un espacio medible y [texx](\mu_n)_{n \in N} [/texx] una sucesión de medidas [texx] \mu_n: F\rightarrow [0, +\infty] \forall n \in N [/texx]. Mas aun sea [texx] \mu:F\rightarrow [0, +\infty] [/texx] dada por:
[texx] \mu(A)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \mu_n(A) [/texx]

Entonces [texx] \mu[/texx] es una medida y ademas cada f funcion positiva y medible se cumple que:
[texx] \displaystyle\int_{\Omega} f\, d\mu=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \displaystyle\int_{\Omega} f\, d\mu_n [/texx]

Yo lo haría usando tres cosas:

1. La definición de medida, para la primera parte, es decir, para mostrar que efectivamente [texx]\mu[/texx] es una medida.

2. Si [texx]f[/texx] es positiva entonces existe una sucesión creciente de funciones simples que convergen puntualmente a [texx]f[/texx] (y que definen su integral, debido al teorema de convergencia monótona, revisa la definición de integral de Lebesgue).

3. Finalmente, para intercambiar sumas y límites no tendrás problemas si conoces el teorema de convergencia monótona aplicado a la medida de conteo, es decir que

[texx]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty {\color{red}{s_{k,n}}}=\sum_{k=0}^\infty \lim_{n\to\infty} {\color{red}{s_{k,n}}},\quad\text{cuando }0\le {\color{red}{ s_{k,n}}}\le {\color{red}{s_{k,n+1}}}\text{ para todo }k,{\color{red}{n}}\in\Bbb N[/texx]

Quizá haya otra forma sin recurrir al teorema de convergencia monótona, pero de momento esto es lo más simple que se me viene a la cabeza.

CORRECCIÓN.
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