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Autor Tema: Linealidad  (Leído 134 veces)
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« : 30/06/2019, 02:01:12 pm »

Hola..he podido hacer las demas demás demostraciones de la integral..pero no puedo con esta. Les pido ayuda para resolverla.


1.  [texx] f\vee g =\max (f,g) [/texx] y [texx]f\wedge g=\min(f,g)[/texx] son [texx]\mu[/texx]-integrables


2.  [texx] f \leq g \implies \displaystyle\int_{\Omega} f\, d\mu \leq \int_{\Omega} g\, d\mu [/texx]
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« Respuesta #1 : 30/06/2019, 06:48:45 pm »

Para la primera identidad puedes usar las definiciones analíticas de máximo y mínimo que son

[texx]\displaystyle f\lor g(x)=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}2,\quad f\land g(x)=\frac{f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|}2[/texx]

Para la segunda observa que [texx]f\le g\iff g-f\ge 0[/texx].
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« Respuesta #2 : 30/06/2019, 08:36:38 pm »

Comprendo algo..pero en si..¿no me podrias explicar como harias tu la 1?
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« Respuesta #3 : 30/06/2019, 08:52:55 pm »

Comprendo algo..pero en si..¿no me podrias explicar como harias tu la 1?

Si [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son integrables significa que [texx]\int |f|,\int|g|<\infty[/texx], entonces

[texx]\displaystyle \int |f\lor g|\le\frac12\int |f|+|g|+|f-g|\le\int |f|+|g|<\infty[/texx]

ya que [texx]| f+g+|f-g||\le|f|+|g|+|f-g|\le |f|+|g|+|f|+|g|[/texx], y de ahí lo de arriba.
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