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Autor Tema: Irracionalidad de phi  (Leído 490 veces)
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AlexFeynman
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« : 29/06/2019, 03:44:40 pm »

Buenas a todos.

He intentado demostrar que  [texx]\phi[/texx]  es irracional pero me gustaría saber si es correcta la demostración.

Menciono antes que  [texx]\phi = \displaystyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \displaystyle\frac{1 + 2}{2} > 1[/texx]

Empezamos suponiendo que [texx]\phi[/texx] es racional, es decir, [texx]\phi = \displaystyle\frac{a}{b}[/texx], con [texx]a,b \in{\mathbb{Z}}[/texx].

Utilizando la ecuación [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx]  y asumiendo [texx]\phi = \displaystyle\frac{a}{b}[/texx]  obtenemos

[texx]\displaystyle\frac{a^2}{b^2} = \displaystyle\frac{a}{b} -1[/texx]  o equivalentemente  [texx]a^2 + b^2 = ab[/texx]

Como sabemos que [texx]\phi > 1[/texx]  se desprende que [texx]a > b[/texx], es decir, [texx]a^2 > ab[/texx].

De aquí se sigue que [texx]a^2 + b^2 > ab[/texx], lo cual es una contradicción y por lo tanto [texx]\phi \neq{\displaystyle\frac{a}{b}}[/texx]. Así pues, [texx]\phi[/texx] es irracional pues no existen [texx]a,b \in{\mathbb{Z}}[/texx] que cumplan [texx]a^2 + b^2 = ab[/texx].

Un saludo.
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 29/06/2019, 05:26:49 pm »

Está mal, porque la fórmula es [texx]\phi^2 = \phi +1[/texx], no [texx]\phi^2 = \phi -1[/texx].

De todas formas, una demostración de irracionalidad de este estilo no puede estar bien, porque en ningún momento usas el hecho de que [texx]a,b[/texx] son enteros (y no, por ejemplo, reales arbitrarios). Hay que usar algún argumento de divisibilidad, o algo que sirva para enteros pero no para reales.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
AlexFeynman
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« Respuesta #2 : 29/06/2019, 05:41:43 pm »

Ya decía yo que era demasiado sencillo, había aceptado que era [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx] de memoria... debería haberlo comprobado.
Gracias por darte cuenta.
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martiniano
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« Respuesta #3 : 30/06/2019, 05:05:46 pm »

Hola.

Ya decía yo que era demasiado sencillo, había aceptado que era [texx]{\phi}^2 = \phi -1[/texx] de memoria... debería haberlo comprobado.
Gracias por darte cuenta.

Pero es que te has acercado mucho, AlexFeynman. No te rindas   :guiño:

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Saludos.
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AlexFeynman
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« Respuesta #4 : 01/07/2019, 01:08:18 pm »

Gracias por la ayuda martiniano, la verdad es que después de cambiar el signo había llegado a [texx]a = b + \displaystyle\frac{b^2}{a}[/texx], por lo que basta probar que [texx]\displaystyle\frac{b^2}{a}\not\in{\mathbb{Z}}[/texx], no se me había ocurrido nada y lo deje, pero he visto tu mensaje y me he puesto a buscar en un libro de teoría de números y aparece un teorema que dice:

Si [texx]c|ab[/texx] y [texx](c,b)=1[/texx] entonces [texx]c|a[/texx]

Como [texx]b^2 = ac[/texx] entonces [texx]b|ac[/texx] y al tenerse [texx](b,a)=1[/texx], por el teorema, [texx]b|c[/texx]. Pero [texx]c = a -b[/texx], lo cual implica [texx]k = \displaystyle\frac{a-b}{b} = \phi -1[/texx] y por lo tanto [texx]\phi - 1 \in{\mathbb{Z}}[/texx], lo cual es una contradicción puesto que [texx]1>\phi -1>0[/texx].

Creo que así queda todo demostrado. De nuevo gracias por la ayuda.
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martiniano
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« Respuesta #5 : 01/07/2019, 04:58:54 pm »

Sí. Lo veo bien.

Saludos.
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