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Autor Tema: Fórmula de segundo grado  (Leído 333 veces)
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AlexFeynman
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« : 28/06/2019, 01:37:10 pm »

Buenas a todos.

Estaba haciendo cosas aleatorias con polinomios cuando de repente me he dado cuenta de que estaba de camino a obtener la fórmula general de las raíces para una ecuación de segundo grado. Me ha apetecido compartir la demostración y saber también si alguien más la ha obtenido de esta forma. Aquí va la demostración:

Si tenemos un polinomio de segundo grado

 [texx]ax^2 + bx +c[/texx]   donde   [texx]a,b,c\in{\mathbb{R}}[/texx]

este se puede escribir como  [texx]a(x - r_1)(x - r_2)[/texx]  por el T.F.A. Suponiendo que las raíces son complejas, entonces deben cumplir las siguientes propiedades:

[texx]{r_1}{r_2} \in{\mathbb{R}}[/texx]   y   [texx]-(r_1 + r_2)\in{\mathbb{R}}[/texx]

Estas propiedades se cumplen cuando  [texx]r_2 = \overline{r_1}[/texx]  donde  [texx]r_1 = x +yi[/texx].

Tomemos ahora el siguiente sistema

[texx]A :a(x+yi)^2 + b(x+yi) + c = 0[/texx]
[texx]B :a(x-yi)^2 + b(x-yi) + c = 0[/texx]

haciendo [texx]A - B[/texx] se obtiene

[texx]4axyi + 2byi = 0[/texx]   de donde  [texx]x = -\displaystyle\frac{b}{2a}[/texx]

introduciendo la solución en [texx]A[/texx] llegamos a

[texx]a(\displaystyle\frac{b^2}{4a^2} - y^2 - \displaystyle\frac{ybi}{a}) + b(-\displaystyle\frac{b}{2a} + yi) + c = 0[/texx]

y resolviendo se obtiene  [texx]y = \pm{\displaystyle\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}}[/texx]  que es   [texx]y = \pm{\displaystyle\frac{i\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}[/texx].

Tomando  [texx]y = +\displaystyle\frac{i\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/texx]  tenemos finalmente las raíces

[texx]r_1 = x+yi[/texx]  y   [texx]r_2 = x-yi[/texx]   donde  [texx]r_{1,2} = \displaystyle\frac{-b \pm{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}[/texx].

Un saludo.
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martiniano
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« Respuesta #1 : 29/06/2019, 10:28:23 am »

Hola.

Curiosa demostración, aunque no veo la necesidad de utilizar aritmética compleja. A mí, a nivel de secundaria, como más me gusta explicar la fórmula es completando cuadrados en la ecuación original. En plan:

[texx]ax^2+bx+c=0\Rightarrow{}(x+\displaystyle\frac{b}{2a})^2 =\displaystyle\frac{c}{a}+\displaystyle\frac{b^2 }{4a^2}[/texx]. Y de aquí despejar [texx]x[/texx] después de tomar raíces cuadradas.

Dependiendo del nivel pongo más pasos y se suele agradecer un ejemplo sencillo con soluciones enteras.

Me gusta esta demostración porque me ayuda a evitar que cuando se encuentran una ecuación como ésta: [texx](x+1) ^2 =9[/texx] se pongan a desarrollar la potencia y a trasponer términos para aplicar la fórmula, cuando la solución es mucho más directa.

Saludos.
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AlexFeynman
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« Respuesta #2 : 29/06/2019, 11:03:48 am »

La verdad es que estaba pensando en los polinomios de tercer grado y creía que si una raíz era compleja su conjugada también era una raíz, pero decidí probar primero con polinomios de segundo grado y llegué hasta la fórmula. Me alegra saber que explicas la demostración de la fórmula a los alumnos, a mí nunca me la han enseñado y esta es la primera que veo.
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martiniano
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« Respuesta #3 : 29/06/2019, 11:44:32 am »

Hola

La verdad es que estaba pensando en los polinomios de tercer grado y creía que si una raíz era compleja su conjugada también era una raíz,

Sí. Creías bien. Se cumple en cualquier polinomio con coeficientes reales.

Un saludo.
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