geómetracat
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« Respuesta #3 : 28/06/2019, 07:26:16 am » |
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Por curiosidad, ¿qué libro es? Yo nunca he visto eso escrito así, aunque sí se suelen usar cosas parecidas a veces. Por ejemplo, es muy habitual ver en teorías aritméticas cuantificadores acotados [texx]\forall x \leq n \phi(x)[/texx] y [texx]\exists x \leq n \phi(x)[/texx], que son abreviaturas para las fórmulas [texx]\forall x (x \leq n \rightarrow \phi(x)[/texx] y [texx]\exists x (x \leq n \wedge \phi(x)[/texx], respectivamente.
En tu caso, entendiendo la única interpretación razonable que es que la fórmula [texx](\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2)[/texx] sea una abreviatura para la fórmula [texx]\forall x_1 \forall x_2 (x_1 \neq x_2 \rightarrow \phi(x_1,x_2))[/texx] y similarmente que la fórmula [texx](\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2)[/texx] sea una abreviatura para la fórmula [texx]\exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2))[/texx], tienes como resultado general que [texx]\neg(\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2) \equiv (\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \neg \phi(x_1,x_2)[/texx].
En efecto, para demostrarlo, basta con negar la fórmula no abreviada: [texx] \neg \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) \equiv \forall x_1 \forall x_2 \neg(x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) [/texx] y observar que [texx]\neg (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) \equiv \neg(x_1 \neq x_2) \vee \neg \phi(x_1,x_2) \equiv x_1 \neq x_2 \rightarrow \neg \phi(x_1,x_2)[/texx].
Así, puedes negar en la forma abreviada, teniendo en cuenta que: [texx]\neg (\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \equiv (\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \neg [/texx] es decir, sin negar a su vez [texx]x_1 \neq x_2[/texx].
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