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Autor Tema: Factorización de semiprimos; método de acercamiento.  (Leído 745 veces)
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sqrmatrix
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« Respuesta #40 : 06/07/2019, 02:18:30 am »

Saludos, Víctor Luis.

°)  Gracias Feriva y SqrMatrix por las explicaciones y la información dada... En la "Factorización Estructural" desconociendo los divisores de un compuesto semiprimo que sólo conocemos a este, determinamos "Kf" ... reitero que con solo evaluar la estructura del compuesto 'm' ... espero responder claro con esto SqrMatrix.

Pues la verdad es que eso no es una respuesta. Afirmas que puedes determinar "Kf", pero no dices cómo, y tampoco factorizas ningún entero, en particular los del reto RSA, los cuales podrías factorizar en cuestión de segundos una vez conocido "Kf" aplicando la fórmula que te ha proporcionado feriva. En resumen, que no puedes determinar "Kf", como el resto del mundo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #41 : 06/07/2019, 03:12:38 am »

Buenas SqrMatrix ...

•)  Es cierto, que no puedo determinar 'Kf' como el resto del mundo ... Debido a que el resto del mundo desconoce del "Enfoque Estructural" y para que me dieras la razón, tendría que explicarles en qué consiste esto, con lo que debatirán la primalidad del 2 por carecer de estructura válida como todo natural par y ya con esto si no lo deducen, les explicaría la determinación de 'Kf' netamente con el criterio Estructural ... y recién estarán en mis zapatos, comprendiendo que es necesario comprender la 'Estructura Numérica' y esto conllevará al primer paso para comprender la Distribución de los Números Primos (al menos es lo que pienso) y es que hay más tela por cortar, para decir esto.

   Desde ya, los famosos Pseudo primos de Carmichael, deberán dejar de enseñarse en las universidades con carreras de Matemáticas por carecer de utilidad, como también se excluirán y/o actualizarán criterios de primalidad limitados por estos pseudoprimos y además ... se tendrá que ampliar el criterio de primalidad que se tiene en el 'Enfoque Natural'.

   El Enfoque Estructural, no solo es para primalidad y Factorización, sino también, se aplica en la seguridad informática, cómo lo voy exponiendo en el foro e Criptografía ... porque si factorizar dejase de ser complejo, una alternativa será el "Multicifrado Estructural" aplicable en tiempo real y esque 'Multi...' no significa solo muchos, sino con varias claves privadas y de varios modos, en individual, en grupo o mezcla de estos, y además con diferentes bases de cifrado. Te imaginas sí esto cae primero en manos de irracionales (como terroristas) sería irresponsable ... por eso espero estar equivocado en mis predicciones por así decirlo.


Saludos Cordiales ....
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sqrmatrix
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« Respuesta #42 : 06/07/2019, 03:27:24 am »

Saludos, Víctor Luis.

Buenas SqrMatrix ...

•)  Es cierto, que no puedo determinar 'Kf' como el resto del mundo ... Debido a que el resto del mundo desconoce del "Enfoque Estructural" y para que me dieras la razón, tendría que explicarles en qué consiste esto, con lo que debatirán la primalidad del 2 por carecer de estructura válida como todo natural par y ya con esto si no lo deducen, les explicaría la determinación de 'Kf' netamente con el criterio Estructural ... y recién estarán en mis zapatos, comprendiendo que es necesario comprender la 'Estructura Numérica' y esto conllevará al primer paso para comprender la Distribución de los Números Primos (al menos es lo que pienso) y es que hay más tela por cortar, para decir esto.

   Desde ya, los famosos Pseudo primos de Carmichael, deberán dejar de enseñarse en las universidades con carreras de Matemáticas por carecer de utilidad, como también se excluirán y/o actualizarán criterios de primalidad limitados por estos pseudoprimos y además ... se tendrá que ampliar el criterio de primalidad que se tiene en el 'Enfoque Natural'.

   El Enfoque Estructural, no solo es para primalidad y Factorización, sino también, se aplica en la seguridad informática, cómo lo voy exponiendo en el foro e Criptografía ... porque si factorizar dejase de ser complejo, una alternativa será el "Multicifrado Estructural" aplicable en tiempo real y esque 'Multi...' no significa solo muchos, sino con varias claves privadas y de varios modos, en individual, en grupo o mezcla de estos, y además con diferentes bases de cifrado. Te imaginas sí esto cae primero en manos de irracionales (como terroristas) sería irresponsable ... por eso espero estar equivocado en mis predicciones por así decirlo.


Saludos Cordiales ....

Después de esta respuesta, me resulta muy difícil creer que en realidad tengas algo de lo que dices. Sinceramente, esta respuesta me lleva a creer que ni siquiera tienes una mínima teoría que funcione, que todo te lo estás inventando, que nos estás mintiendo. Lo que más me molesta es que trivializas, e incluso ridiculizas, los conocimientos matemáticos que consideras que no encajan con tu enfoque, cuando esos conocimientos nos han llevado tan lejos, mientras que ensalzas los tuyos, sin que hasta ahora hayas explicado nada de ellos ni hayas aportado ninguna prueba de que funcionan como afirmas. Yo no voy a seguir contribuyendo a esto. Me resulta demasiado molesto leer muchas de las cosas que dices que trivializan los conocimientos matemáticos, y sobre todo, las respuestas que das que eluden completamente lo que te preguntan, lo cual me lleva a pensar que no tienes nada de lo que dices. Ojalá me equivoque.

Un saludo, y suerte.
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Víctor Luis
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« Respuesta #43 : 06/07/2019, 03:59:47 am »

Buenas SqrMatrix ...

°°°)  Agradezco tú colaboración y la sinceridad de tus comentarios... yo mismo en tú posición, al entorno del Enfoque Natural, podría llegar a decir lo mismo y hasta calificarme de mentiroso,... por el simple hecho de que desconozco un tal 'Enfoque Estructural' que dice determinar 'Kf' con sólo saber el compuesto 'm' algo que mi creencia en lo que me dicta el Enfoque Natural me parece y parecerá un imposible y más si viene de un empírico en matemática, que no sabe explicarme con y de la forma (única) que comprendo la matemática ... resultado final, todo es un fraude o quizás un criterio que actualice mi saber, más cómo esto último es o considero improbable, concluyó que es mentira.

   ∆) Carezco de tiempo suficiente como para entrar en estos debates infructuosos como bien decía mi otro maestro El_Manco cuyas críticas (muy bien recibidas) han impulsado en mi 'testarudez' (denominado por Feriva) para continuar en mis análisis, donde ésto ya no es un aporte al conocimiento científico, sino una pre_revolucion en la matemática de Teoría de Números (no en toda la matemática ... lo aclaro por si acaso)


Saludos Cordiales y Muchas Gracias ......
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feriva
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« Respuesta #44 : 06/07/2019, 07:06:20 am »

Buenos días, Víctor Luis, buenos días Sqrmatrix.

Hago un aparte en el debate éste, Víctor Luis, para explicarte la cuestión del mcm (hay tantos hilos y cuestiones que no sé por dónde empezar a comentar...). Como lo que voy a contar sobre el mcm esta fuera del contexto de la factorización (no quiero decir que el mcm lo esté o no pueda servir, sino que me refiero a lo que cuento en sí) lo pongo en spoiler

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #45 : 06/07/2019, 09:02:30 am »

Buenas Feriva y SqrMatrix ...

  ••) Para 'Factorizar' Compuestos' no hace falta tanta matemática, ni debate enraizado, pues lo que me sorprende, es que en pleno siglo XXI, se enfrasquen en criterios, como que si la tierra fuera plana y  considerara él centro del universo, algo absurdo en nuestros tiempos ... ... Criterio absurdo que será en los años siguientes, es decir desde ya 2020  o antes; pero con los criterios que observo, me pesa estimar que fuera en tiempos posteriores.

    Si intuyera tener más tiempo, me.complaceria entrar en debates,  ya que aprendo de estos, por la gentileza de ustedes ... ... Pasa que aprovechar para exponer y compartir 'parte' de los resultados obtenidos en los análisis realizados en este tiempo de mi ausencia. Lo mejor sería que aprovechen de lo poco que puedo saber y aportar al ansiado Conocimiento Científico,... (algo negado en principio por mi maestro El_Manco lo que me impulsó en continuar con mi proyecto matemático) y además impulsado por mi otro maestro Feriva que me calificó como "testarudo" y en verdad lo soy.


Saludos Cordiales ...
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feriva
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« Respuesta #46 : 07/07/2019, 08:09:02 am »

Hola, Victor Luis, buenos días; por centrar una cuestión:

Cita

Desde ya, los famosos Pseudo primos de Carmichael, deberán dejar de enseñarse en las universidades con carreras de Matemáticas por carecer de utilidad, como también se excluirán y/o actualizarán criterios de primalidad limitados por estos pseudoprimos y además ... se tendrá que ampliar el criterio de primalidad que se tiene en el 'Enfoque Natural'.


Recuerdo que en una página que compartimos, donde se explicaba el método para buscar primos de Mersenne (por el método de Fermat con alguna mejora) se ponía algún ejemplo con los pseudoprimos de Carmichael.

Son números que cumplen [texx]a^{n-1}\equiv1(mod\, n)
 [/texx], para todo “n”, con lo cual, al ser para todo “n”, usando el pequeño teorema de Fermat escapan a la comprobación; dicho de otro modo, a partir del pequeño teorema no se diferencian de los primos.

Tú encontraste en algunos ejemplos de los números de Carmichael (no sé si para todos) que éstos se podían descartar directamente con lo que dices, viendo el resto módulo 12 y a qué tipo pertenecen. Y, efectivamente, creo que así era. Pero ni Carmichael ni el autor de la página ésa ni nadie, que yo recuerde, te dijo que no.

Es más, si tú consiguieras ponerte en contacto con el autor de esa página, o de cualquier otra que se preocupe de ese test, y le dijeras que así se pueden descartar más rápidamente, lo que te diría sería, “sí, señor, olé por su observación, muchas gracias”. Eso es lo que te diría cualquiera. Porque lo que la gente quiere en esta cuestión es encontrar cosas para ahorrar tiempo, sin importar quién las encuentre.

Yo mismo algunas veces (pocas y de Pascaus a Ramos) al contestar a algún problema de los que se ponen en el foro, encuentro una solución un poco más corta que la habitual o más rutinaria; y nadie me dice “pecador, hágalo usted como está mandado”, al contrario. E igual pasa con cualquier otro usuario que haga lo mismo en un momento dado; se le felicita, no se le acusa de anatema ni de salirse del “enfoque natural” ni nada así (hay ejemplos de esto que digo casi a diario, un día sí y otro; uno de los que con más frecuencia da soluciones ingeniosas, más cortas, es Luis; fíjate en sus respuestas asiduamente y lo verás).

Por tanto, no le encuentro sentido a que te pongas a la “defensiva” como si se estuviera rechazando lo que dices; otra cosa distinta es que a veces no te hayas conseguido explicar (debido a que usas un lenguaje particular); y, claro, si no entienden lo que dices, no puedes esperar que te digan que sí ni que no, te dirán que no te entienden.

Por otro lado más, confundes la velocidad con el tocino; el que tú puedas descartar un pseudoprimo de este tipo, usando módulo 12 y de forma inmediata, y el que otras personas no hayan caído en la cuenta de esto, no quiere decir que dejen de existir estos pseudoprimos, pues están definidos a partir de esa congruencia, no se dice nada de cómo se pueden descartar o no, eso viene después, una cosa es la práctica, y otra la teoría y las definiciones.

Para que te pongas en situación imagina esto; supón que alguien consigue un método para poder volar sin ningún tipo de de máquina, moviendo los brazos de una manera especial. Entonces, como normalmente se dice que no podemos volar por el aire o quedar suspendidos en el vacío, este señor, una vez descubierto esto, afirma; “Hay que dejar de enseñarles a los niños en la escuela que existe el aire” (o el vacío o la Gravedad, algo así).

¿Es ridículo o no es ridículo?

Ten en cuenta que el nivel intelectual, en cuanto a inteligencia y saber, de las personas que leen este foro es muy alto (muchísimo más que el mío, desde luego, hay catedráticos y profesores, y alguno que otro con premios internacionales importantes, créeme que es así) y si te leen estas cosas, los que te hayan empezado a leer, pues lo mismo ya no te siguen leyendo; lo normal es que al ver que dices cosas así, piensen: “éste no sabe lo que dice, confunde el culo con las témporas”.

En resumen, aquí nadie dice que lo que usas funcione mal ni que sean mentiras matemáticas; nunca he oído eso. Otra cosas distinta es que no llegue para factorizar semiprimos de 200 cifras, por ejemplo; porque, si sirviera, hubiéramos factorizado el RSA-230 en su día, hace años, cuando estuvimos con él dale que dale. Esto es obvio, no lo puedes negar . A lo mejor algún día encuentras más cosas y sí, pero de momento no (como nos pasa a todos los mortales).

Víctor Luis, acabo de ver una cosa; éste es un número de Carmichael, 8911, el séptimo de la lista (la tienes en Wikpiedia) y su resto módulo 12 es 7... ¿También lo podrías descartar?

Saludos.
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sqrmatrix
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« Respuesta #47 : 07/07/2019, 04:31:49 pm »

Saludos, feriva.

Disculpa si interrumpo. He estado probando alguna idea sobre tu método. Lo primero que observamos es que, debido a que hay decrecimiento del cociente de vez en cuando, si dibujásemos los puntos que toman el valor del cociente en un gráfico, tendríamos una especie de dientes de sierra, que van acercándose a la línea del [texx]\displaystyle 1[/texx], sin llegar a tocarlo, excepto en los puntos en los que encontramos la factorización del entero. Los dientes de sierra están orientados en una dirección, que o bien es hacia la próxima solución, o bien es en dirección contraria. Se me ocurrió que si obtenemos la recta que pasa por los puntos que conforman un diente de sierra (es decir, puntos en los que el cociente va creciendo, o va decreciendo), quizá esta recta se aproximaría a la solución en el corte con la recta horizontal [texx]\displaystyle y=1[/texx]. Utilicé la fórmula de regresión lineal, que te la pongo en el spoiler por si no la conoces y quieres experimentar.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Lo que ocurrió cuando hice los cálculos es que el punto obtenido estaba muy cerca del último punto del diente de sierra, con lo cual no se ganaba nada. Decidí hacer una representación gráfica de los puntos para ver si se podía obtener algún patrón que nos ayudara en la tarea. La imagen es la siguiente:



La imagen es la aplicación de tu método al entero [texx]\displaystyle 25433[/texx], incrementando la variable [texx]\displaystyle k[/texx] (la que llega más lenta a la solución) desde el valor [texx]\displaystyle 1[/texx] hasta el valor [texx]\displaystyle 1500[/texx]. Los puntos representados son en la forma [texx]\displaystyle (k,cociente)[/texx]. La línea verde superior es la recta [texx]\displaystyle y=1[/texx], y la inferior es la recta [texx]\displaystyle y=0.95[/texx]. Las líneas rojas verticales son los puntos en los que el cociente vale [texx]\displaystyle 1[/texx], es decir, donde encontramos la factorización.

Como ves, hay un comportamiento curioso al principio, en el que el diente de sierra está curvado, pero esa curvatura se va perdiendo en los siguientes dientes de sierra. Otra cosa curiosa es que los dientes de sierra del comienzo se inclinan hacia la dirección de la solución que buscamos, pero al poco esta inclinación se invierte, y esto ocurre bastante antes de llegar a la solución, de forma que la mayoría de los dientes de sierra están inclinados a la inversa del avance en el eje [texx]\displaystyle x[/texx]. Esta inclinación no parece orientarnos mucho hacia dónde se encuentra la solución. Otra cosa curiosa que ocurre es que a medida que avanzamos por el eje [texx]\displaystyle x[/texx], salvo al comienzo, los dientes de sierra se van haciendo más grandes. Lamentablemente esto tampoco nos ayuda mucho a determinar la dirección en la que se encuentra la solución.

* FactorizacionFeriva_20190707.png (25.03 KB - descargado 90 veces.)
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feriva
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« Respuesta #48 : 07/07/2019, 06:09:44 pm »


Muchas gracias, sqrmatrix, qué vas a interrumpir, al contrario.

“Recuerdo” lejanamente la regresión lineal de unas prácticas de física. Nos la explicó deprisa y corriendo una joven profesora (joven para mí, que tenía cuarenta años ya) entre otras cosas más, como lo de los errores absolutos, relativos y todo eso. El caso es que fue tan rápido que apenas me enteré de nada (la UNED, ya se sabe...) y, hala, a hacer las prácticas con esa escasa explicación. En mi recuerdo está que era algo que se podía hacer o bien por medio de logaritmos o bien con derivadas; ¿o eso era otra cosa? Es que lo tengo olvidadísimo y, encima, ya te digo, la explicación fue improductiva; así que no me extraña que mezclase ideas ya entonces; así que hoy en día...

Pero, bueno, la fórmula que pones tú, junto a tu explicación, sí la he entendido bien.

El gráfico dice lo que yo experimentado; muy poco experimento, porque casi no he hecho nada, pero “veía” eso, que se acercaba a los puntos donde estaba el número y la mayoría de las veces “resbalaba”, se los saltaba. Entonces utilicé dos sentencias para comprobar, una para el valor “y” (una vez hallada la razón y eso) y otra para el valor “y-1”; porque usaba “g” entero y me di cuenta de que con esto parecía no escaparse. Pero era pura intuición, realmente no sé si siempre se llegaría así al valor exacto (independientemente de acercamientos o no acercamientos, quiero decir).

En fin, está claro que con eso es insuficiente, hay que añadir alguna idea más y hacer una especie de media o contrastar varias medidas o algo de tal manera que a intervalos grandes se pueda saber si hemos mejorado o no en cuanto a la proximidad. No importa si se “estrangule”, si llega un momento a partir del cual ya no se pueda saber; porque si se consigue eso, algo se gana, al menos se sabe qué zonas no hay que pisar ya. O sea, dada la dificultad, el objetivo sería llegar hasta una cierta zona cercana, sin aspirar a más de momento.

Saludos y muchas gracias.
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Víctor Luis
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« Respuesta #49 : 09/07/2019, 02:44:41 am »

Buenas Feriva y tocayo Luis ...

  •)  Sí (8911) es un Carmichael, ... Lo descarto como si nada, ... donde Fermat lo daría como primo, con su pequeño teorema:  2^(p-1) mod p = 1  ... pero como dije, el trabajo de Fermat está Incompleto y ante esto surge Miller_Rabin, con el absurdo de un 'test' y mucho peor validarlo como 'Probabilistico' con 3/4 de resultado determinista y lo peor, el creerles, que se basan en la hipótesis de Riemann.

   Dense cuenta que solo llegaron hasta lo expuesto por Fermat, sin siquiera comprender lo que nuestro Fermat nos quiso decir como su legado ... A caso un matemático expone criterios que no puede considerar demostrar matemáticamente? por falta de datos, a pesar que con el criterio se obtienen resultados novedosos?

   •)  Con la 'PEN' evalúo la primalidad de m(8911) y este es 'Compuesto',... Siendo que operamos con menor complejidad operacional, que nuestro Fermat y mucho menos que Miller_Rabin.



Saludos Cordiales .....
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« Respuesta #50 : 09/07/2019, 06:00:14 am »

Buenos días, Víctor Luis.

Cita

Buenas Feriva y tocayo Luis ...

•) Sí (8911) es un Carmichael, ... Lo descarto como si nada, ... donde Fermat lo daría como primo, con su pequeño teorema: 2^(p-1) mod p = 1 ... pero como dije, el trabajo de Fermat está Incompleto y ante esto surge Miller_Rabin, con el absurdo de un 'test' y mucho peor validarlo como 'Probabilistico' con 3/4 de resultado determinista y lo peor, el creerles, que se basan en la hipótesis de Riemann.

Dense cuenta que solo llegaron hasta lo expuesto por Fermat, sin siquiera comprender lo que nuestro Fermat nos quiso decir como su legado ... A caso un matemático expone criterios que no puede considerar demostrar matemáticamente? por falta de datos, a pesar que con el criterio se obtienen resultados novedosos?

•) Con la 'PEN' evalúo la primalidad de m(8911) y este es 'Compuesto',... Siendo que operamos con menor complejidad operacional, que nuestro Fermat y mucho menos que Miller_Rabin.


Pues estupendamente si es así. Yo te pregunté porque vi que ese número daba el mismo resto módulo 12 que los primos de Fermat; por saber qué más cosas hacías para descartarlo.

No obstante, lo que decía sigue siendo así, las definiciones no pueden depender de lo fácil o difícil que pueda ser identificar algo; decir que por esa razón tienen que dejarse de enseñar o divulgarse esos números, es como decir que hay que dejar de enseñar los múltiplos de 5, dado que se les reconoce con una simple mirada al acabar en cero o en cinco.

Aparte ya, es que tú hagas unos descubrimientos, que nadie va a negar; pero, como es natural, la gente a la que le interesen los Mersenne y esas cosas te preguntará que cómo lo haces, y después tú lo puedes contar o guardarlo para venderlo a la NASA o lo que quieras, pero esto no debe suponer nunca desprecio, porque también esas personas usan métodos que no saben otros. Por ejemplo, como decía, hay cribas que factorizan cualquier número de 40 o 50 cifras en tiempo prácticamente cero; y yo no sé hacer un programa así todavía. Sí sé que se puede aprender, que hay sitios de internet donde se explica, que también hay libros...

Por otra parte más, si tú observas algo, como que los primos de Mersenne dejan un cierto resto módulo 7 y los añadidos que sean, ten en cuenta que sólo se conocen unos pocos de esos primos, y aunque muy probablemente eso sea así para todos, si no se desmuestra, a los matemáticos sólo les vale como conjetura, como mera observación; y si funciona (y si lo cuentas) lo usarán hasta que pueda fallar o no, como con la hipótesis de Riemann u otra conjetura cualquiera, pero no se da por hecho.

Fermat es un matemático bastante antiguo y su pequeño teorema sólo es la punta del iceberg. La congruencia [texx]a^{p-1}\equiv 1(mod)p
 [/texx] es sólo una particularidad entre infinitas que te voy a explicar y vas a entender perfectamente, verás.

Este pequeño teorema está muy claro, [texx]a^{p-1}\equiv1(mod\, p)
 [/texx], según el enunciado dice que número “a” elevado a un “primo menos la unidad” deja resto 1, y por tanto [texx]a^{p-1}-1
 [/texx] es divisible entre “p”.

Fíjate en que, de manera evidente y sin cálculos, la cantidad de coprimos con p de 1 hasta “p” son todos menos él propio “p” (se incluye el 1 entre los coprimos aunque éste divida a todos los números, se le mete en ese conjunto, porque, si no, tampoco existiría el concepto de coprimo ni de primo; o, en otras palabras, el 1 no es múltiplo de nadie). Esto es obvio, pues si tomamos, por ejemplo, p= 5, de éstos, 1,2,3,4,5, el único que tiene un divisor (quitando el 1) común con 5, es el propio 5 y ese divisor es él mismo. Así que la cantidad de coprimos hasta cualquier “p” es “p-1”; en este caso son 1,2,3,4, los cuatro números que no son el cinco, y entonces el valor de la función phi es 4; se escribe [texx]\varphi(5)=4
 [/texx] ó [texx]\varphi(5)=5-1
 [/texx]; o sea [texx]\varphi(p)=p-1
 [/texx] para cualquier primo.

O sea, que esto [texx]a^{p-1}\equiv1(mod)p
 [/texx], por lo que se acaba de decir ahora mismo, lo podemos escribir así [texx]a^{\varphi(p)}\equiv1(mod\, p)
 [/texx], es igual, como ves.

Hasta ahí tiene la particularidad de que “p” es primo, lo cual podremos usar sólo para algunas potencias, porque muchas veces nos vamos encontrar que la potencia de “a” no es un primo, como es lógico.

Sin embargo, Euler, que nace después que Fermat, descubre que esto es general para los naturales, para cualquier “n” [texx]a^{\varphi(n)}\equiv1(mod\, n)
 [/texx].

Es decir, que si, por ejemplo, tenemos que la potencia es un producto “pq” (podría ser cualquier compuesto) entonces [texx]a^{\varphi(pq)}\equiv1(mod\, pq)
 [/texx].

Vamos a verlo con un ejemplo, sea [texx]pq=3*5=15
 [/texx]; entonces [texx]\varphi(15)
 [/texx] es la cantidad de números que hay desde 1 hasta 15 que no son múltiplos de 3 ni de 5

[texx]{\color{magenta}1,2},3,{\color{magenta}4},5,6,{\color{magenta}7,8},9,10,{\color{magenta}11},12,{\color{magenta}13},{\color{magenta}14},15
 [/texx]

Hay ocho. Veamos si es cierto para cualquier base “a”, pongamos a=7, por caso:

[texx]7^{\varphi(15)}\equiv1(mod15)
 [/texx], o sea [texx]7^{8}\equiv1(mod15)
 [/texx] es decir [texx]7^{8}-1
 [/texx] tiene que ser divisible entre 15; y lo es, da exactamente 384320.

Euler no sólo encuentra esto sino que encuentra unas fórmulas para calcular la cantidad de coprimos sin necesidad de contarlos uno a uno; en el caso de que el número esté compuesto por primos diferentes, esto es, en caso de que sea libre de cuadrados, la cuenta es ésta [texx](p_{a}-1)(p_{b}-1)(p_{c}-1)...
 [/texx] y así sigue el producto para la cantidad de factores primos que tenga el número (ya digo, sólo para números que no repita factores primos). Para el caso en el que sí tenga cuadrados, cubos, etc., también es fácil, pero cambia; tú mismo puedes investigar, pensando con uno o dos ejemplos, cuál sería la cuenta para un compuesto del tipo [texx]p^2[/texx] (tarea :sonrisa: ). La fórmula para phi no es “fija”, pero podemos calcular con una simple cuenta cuántos coprimos hay hasta “n” siempre y cuando sepamos la factorización en primos de “n”; y éste es el problema, claro, como pasa con todo, que no siempre es fácil factorizar los números.

Pero, sin duda, la generalización de Euler permite calcular la divisibilidad (por un cierto número) de muchas potencias que nunca podríamos calcular con el teorema del pequeño Fermín (en el foro se ponen muchas veces problemas, tienes numerosos ejemplos por ahí).

Euler nace 100 años después que Fermat; y en ese tiempo, como es lógico, se investigan muchas cosas que Fermat no llegó a conocer y Euler sí (es un siglo, no pocos años). Aparte, Euler dedica su vida entera a las matemáticas, es su profesión, mientras que Fermat era un abogado que se dedicaba en sus ratos libres.

Lo que ocurre es que como el Pequeño Teorema de Fermat es el caso particular más sencillo del teorema de Euler, pues algunos aficionados llegan a aprendérselo fácilmente; pero muchas veces no entienden el de Euler porque no hacen el esfuerzo, porque dice más cosas y muchas veces se cansan de leer o piensan que hace falta más base para entenderlo; y no es así, como has visto, no hace falta una base especial para entenderlo, es igualmente sencillo, basta con entender a qué se llama coprimos y con eso vale.

Y hay muchas más cosas desubiertas, claro.

...

Antiguamente, los hombres se construían una choza con sus propias manos. Con el tiempo, se inventaron los ladrillos, máquinas, se unieron de grupos personas para construir... y, hoy en día, aprovechamos todo lo que nos dejaron nuestros antepasado y ya no nos construimos las chozas con nuestras manos; vamos mucho más deprisa. El que no aprovecha eso, por muy laborioso que sea, no puede obtener el mismo rendimiento que el que sí lo aprovecha.

La matemática en esto no es distinta a la construcción de chozas o a la pintura o a la música... o a cualquier cosas; es una labor que resulta más fructífera aprovechando eso.

...

Hablando ya de lo mío, de lo que va este hilo, te cuento que anoche estuve programando y encontré lo que parece una forma de acercarme hasta cierto punto a los primos; pero no me acerco todo lo que haría falta para factorizar un número grande y me falta investigar todavía, no sé funcionará con cualquier semiprimo, aunque parece que sí.

Saludos.
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Víctor Luis
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« Respuesta #51 : 11/07/2019, 02:45:36 am »

Buenas Feriva y tocayo Luis ...


°) Gracias Feriva (mi Maestro...) por la explicación y transmitir tú sapiencia, que es mucha. Sobre Euler no comprendo como quiera y como dices es el de comprender a los 'coprimos', donde sabes que para esto, debo hacer mis análisis, sin que esto le reste mérito a la literatura ni a tu exposición.

°) No digo más nada sobre Carmichael, para no entrar en debates... Algo "cierto" es que 'TODOS' los números de Mersenne, con el pequeño teorema de Fermat, pasan como primos. Este defecto también se da con Miller_Rabin, donde su solución, la que observo todos aceptan, es darnos un resultado apenas satisfactorio, realizando un mínimo de evaluaciones, un absurdo, ya que Fermat realiza una sola evaluación; pero dijimos que falla, más la PEM con una sola evaluación,  NO FALLA !!!

•• Un Ejemplo:  nm= 2^(31)-1 = 2147483647

   Para determinar su primalidad operó:   rt = pv(pm) mod(nm)   en 'rt' se obtiene el resto modular, o simplemente el resto de dividir  pv(pm)  entre  nm   Algo que Fermat en 'rt' obtendría:  rt=1   ... Resaltando que en ambos métodos realizamos un solo proceso operacional para una sola evaluación de primalidad, mientras que con Lucas Lehmer debemos determinar el término:  S(30)  un dividendo muy grande a operar para un divisor de 10 cifras, complejidad que dice afrontar GIMPS, cuando la mejora que pregona, consiste en realizar varias operaciones de resto, lo en este caso podemos operar con una simple calculadora (ya lo expondré en el hilo) lo que como Miller_Rabin realizan más de una evaluación, que es el límite que es el límite que deben regirse los 'Metodos' de primalidad.

   Entre la PEM y Fermat, la complejidad operacional es menor en la PEM  y mucho menor con la mejora que se tiene. Ahora mientras Fermat evalúa su primalidad con:  rt=1  en la PEM se evalúa si es que 'rt=...' a un cierto tipo de naturales, sí 'rt' pertenece a un conjunto de naturales ... no sé si me entienden esto, para nuestro ejemplo, el 'rt' obtenido cumple con está condicionante, lo que valida la primalidad de:  2^(31)-1

   Lo realmente interesante (para mí) es el hecho de que para:  2^(19)-1  su 'rt' será otro que el de nuestro ejemplo y que para:  2^(17)-1  su 'rt' será otro, diferente y "único" como el que se da en los que son Primos de Mersenne, es por eso que no indico en 'rt' un valor constante como emplea Fermat, Lehmer, Miller_Rabin y podría generalizar, los casi todos métodos de primalidad.

   En 2017 pude comprobar la PEM (Primalidad Estructural para Mersenne) sin obtener ningún fallo, claro que no lo hice en todos los 'Mn', hasta el último 'Mp' encontrado y tampoco encontrar nuevos primos de Mersenne, lo que para muchos sería una prueba contundente y lo haría, sí contara con el apoyo de un informático_matematico quién determinaría la cantidad y tipo de ordenadores a necesitarse, los que serán decenas y no cientos como los requiere GIMPS.

   He buscado Feriva, por lo menos el apoyo de un informático, que no se dió y de los docentes Matemáticos que encontré, les expuse el alcance de mi proyecto y/o criterio, era frustrado, porque ni sabían lo que era un número de Mersenne y respecto a Factorización, ni que decirse,... como tampoco les interesaban.

•) En Factorización, más que desarrollar y completar los métodos estructurales, sabía que necesitaba comprender la estructura cíclica de los 'nb' donde:  m= p•q  es Compuesto Semiprimo porque es producto de primos y ya con esto pueden responder la consulta que les hice:  "Siendo P primo, cómo valida este la primalidad de Q natural Impar? "

••) Sí uno sabe recorrer sin complejidad la estructura cíclica de 'm', el problema de la Factorización será historia, en especial cuando se trate de compuestos semiprimos, lo que considero es más complejo para ustedes, ya que es producto de dos primos, solo dos... donde Estructuralmente la Factorización se comprende desde los semiprimos y a su vez, como la estructura de primos interviene en la estructuración de sus compuestos semiprimos;... en mi criterio a dejarles, es el camino inicial para comprender la Distribución de los Números Primos ... El máximo logro que un matemático pueda alcanzar, algo que está fuera de mis alcances (espero llegar a exponerlo en el otro hilo).

Saludos Cordiales ...
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« Respuesta #52 : 11/07/2019, 07:42:38 am »



Hola, Víctor Luis, buenos días.

Cita
Para determinar su primalidad operó:   rt = pv(pm) mod(nm)   en 'rt' se obtiene el resto modular, o simplemente el resto de dividir  pv(pm)  entre  nm   Algo que Fermat en 'rt' obtendría:  rt=1   ... Resaltando que en ambos métodos realizamos un solo proceso operacional para una sola evaluación de primalidad, mientras que con Lucas Lehmer debemos determinar el término:  S(30)  un dividendo muy grande a operar para un divisor de 10 cifras, complejidad que dice afrontar GIMPS, cuando la mejora que pregona, consiste en realizar varias operaciones de resto, lo en este caso podemos operar con una simple calculadora (ya lo expondré en el hilo) lo que como Miller_Rabin realizan más de una evaluación, que es el límite que es el límite que deben regirse los 'Metodos' de primalidad.

Ahí hay letras que no sé lo que son; en cualquier caso, no he investigado los Mersenne y, por otra parte, creo que, si quieres explicar esto bien (con detalle de lo que quiere decir cada letra y eso) merece muy mucho un hilo especial; porque yo he visto por el foro aparecer de vez en cuando gente a la que sí le interesan los Mersenne.

Cita
He buscado Feriva, por lo menos el apoyo de un informático, que no se dió y de los docentes Matemáticos que encontré, les expuse el alcance de mi proyecto y/o criterio, era frustrado, porque ni sabían lo que era un número de Mersenne y respecto a Factorización, ni que decirse,... como tampoco les interesaban.

Es que hay varios tipos de matemáticos y también de aficionados a las matemáticas; digamos en esto, básicamente, hay dos tipos de personas; a las que les gusta más la experimentación y a las que les gusta más el aspecto teórico.

Yo ya he expuesto en este hilo (y ya te lo dije en otros) que no me gustan las cribas; o, mejor dicho, que no me gusta el “pico y pala” de lo que suponen las cribas, eso me aburre, no es que no me guste la teoría que hay detrás de las éstas (de las cuales, algunas, son bastante complicadas de entender y requieren más conocimientos de los que yo tengo; la criba general, con la que se han factorizado la inmensa mayoría de los RSA, es muy complicada, mucho).  La criba general juega con módulos, restos cuadráticos y otras de potencias... como lo tuyo pero con muchos más añadidos. Pero sigue siendo una criba, un buscar a en zonas seguras descartando otras, pero, aun con eso, un buscar a ciegas; así no se puede, es larguísimo.
Cita
Sí uno sabe recorrer sin complejidad la estructura cíclica de 'm', el problema de la Factorización será historia, en especial cuando se trate de compuestos semiprimos, lo que considero es más complejo para ustedes, ya que es producto de dos primos, solo dos...

Realmente el secreto para factorizar un semiprimo tipo “RSA” (con las condiciones que tienen la mayoría de ellos) no está en que los factores sean primos en especial; y, quizá, si hay suerte, desde lo que descubrí anoche, pueda llegar a ser una labor un poquitín menos ardua para ti, para mí, para los del GIMP ... y para cualquiera en general; porque yo considero que la ciencia y el conocimiento humano no debe ser una guerra ni ningún tipo de pugna entre orgullos humanos.
Y voy a contarlo

Vamos allá:

Elijo dos números cualesquiera (tecleando al azar) de la misma cantidad de cifras

a=2457818298374
b=8911175632121

Su producto es

21902050528651490036471254

Seguidamente, quito a cada factor, por ejemplo, seis cifras de la cola

c=2457818
d=8911175

Y el producto de éstos es

21902046316150

Coincide con el anterior en las 6 primeras cifras.

Esto ocurre con cualquier tipo de números, sean semiprimos o no. Naturalmente, esos números, como son más pequeños (pueden ser mucho más pequeños que el semiprimo investigado y aun así tener 20 cifras, 22... las que sean) se pueden factorizar fácilmente o medio fácilmente con cualquier buen programa (De hecho, anoche estuve factorizando la “cabeza” -hasta distinto número de cifras- del RSA-232 y obtuve muchas factorizaciones. 

Como es obvio, esas “cabezas” constan de varios factores, no de dos; y ahí hay una labro pesada pero asumible (para quien es trabajador como tú) que es la de combinar los productos, multiplicando los factores separados en dos grupos, hasta encontrar, para alguna de las cabezas, dos factores compuestos de la misma longitud de cifras que, multiplicados, nos den esa cabeza; una vez que tenemos eso, tenemos unas cuantas cifras de los dos semiprimos.

Pero no queda ahí la cosa. Encontré una segunda forma de estimar las primeras cifras de los semiprimos (que puede ser complementaria) haciendo un programa basado en lo que explico al principio de este hilo. Es haciendo medias de una manera especial con los candidatos según los intervalos de números consecutivos cuya suma es el semiprimo (intervalos (k,g) según las letras que utilicé) pero explicar el programa y la idea me da pereza ahora, no es por no contarlo, es que he ido añadiendo cosas y está todo desorganizado (ya, si no me aburro de investigar y organizo todo, lo contaré y os diré el alcance que puede tener el método).

Bien, entonces sigo con el ejemplo. Tengo esas cabezas (supongamos que ya las he hallado para semiprimo de las características dichas que sea). Entonces relleno detrás con ceros hasta que tengan la longitud de los factores (esto tiene que cumplirse, si el semiprimo no tuviera la misma cantidad de cifras para sus factores -cosa más que extraña en la inmensa mayoría de los RSA de la lista de Wikipedia- no funcionaría).

a=245781800000
b=891117500000

Con estos números vuelvo a mi programa y obtengo una aproximación que me da alguna o algunas cifras más detrás de esa cabeza; y así hasta que se construyen los factores por acercamiento progresivo.

Por añadir algo más, lo que uso es que también los extremos de los intervalos empiezan por la misma cantidad de cifras; es decir:

Si los factores son los que había tomado

a=2457818298374
b=8911175632121
y los extremos del intervalo-suma son “k” y “g” respectivamente (menor, mayor)

entonces los calculamos así (trabajo con el intervalo que tiene el factor más grande, b, en el centro):

[texx]g=2b-k
 [/texx]

[texx]k=g-p+1
 [/texx]

[texx]g=\dfrac{2b+a-1}{2}
 [/texx]

De donde, para el caso, tenemos

g=10140084781307

k=7682266482934

La suma difiere un poco con el producto debido a que en este caso los dos factores no son impares (la regla que digo es para dos factores impares) fíjate, sale esto

21902050528650261127322067

y el producto es

21902050528651490036471254

pero esto no pasa con dos factores impares; como viste la suma es exactamente el producto y no puede ser otra cosa en ese caso (esto me ha pasado por elegir los factores tecleando al azar).

Pero pese a esa falta de adecuación, que no se daría con dos factores impares, veamos qué pasa si tomamos las cabezas para hallar su “g” y su “k”; tenemos

g=(2*8911175+2457818-1)/2 )=10140083, cuando el “g” original es

10140084781307

la cabeza coincide en todas sus primeras cifras menos en el tres del final.

Así, recursivamente, voy usando las cabezas par obtener más cifras hasta construir  los factores, ya te digo.

La idea creo que es buena, que es otra manera muy, muy distinta, de entender la factorización de los semiprimos de estas características; como ves, no sólo tiene que ver con la primalidad, sino que no tiene que ver ni con los primos; de hecho en el ejemplo he usado hasta un factor para sin querer.

Ahora bien, está por investigar; dado un número muy grande no es fácil encontrar las cabezas porque hay que encontrar las “agrupaciones” de sus factores (que éstos sí se puede conocer) que nos den dos cabezas del mismo largo; eso sí, puede haber suerte o puede acercarse uno como yo lo hago y sacar unas buenas cabezas (aunque también con números más grandes es mucho más lento o puede ser muy difícil en casos).

Para que me entiendas mejor, te pongo un ejemplo con RSA-232:

Las primeras cifras de este RSA son 10098813...

Entonces, voy probando cifras de la cabeza y encuentro, por ejemplo, que tomando éstas

1009881397871923546909564894309

es un semiprimo, su factorización es

6661 * 151611079098021850609452769

pero éstos factores no sirven por estar muy descompensados en longitud.

Pero puedo tomar más o menos cifras, tengo más factorizaciones; por ejemplo, con esta cabeza

1009881397871923546909564894309468582818

obtengo esta factorización

 2 * 3^2 * 47 * 1867 * 639375059590374278978528969820149

que tampoco sirve porque el producto de los factores pequeños no nos da uno tan largo como el otro.

Sin embargo, hay muchísimas más, es cuestión de buscar, de multiplicar y componer hasta encontrar lo que digo.

Y, con números no tan grandes, sí que las encuentro buscando un poco y programando; con seguridad, sabiendo que son ésas (siempre y cuando, claro, los dos factores tengan las mismas cifras, eso es condición necesaria, repito).

Y por aportar algo que sí podría tener utilidad y no ser un simple juego: supongo que las claves de internet que se usan para seguridad (no los RSA de la “lista”) estarán hechas con primos de distinta longitud, lo contrario podría ser muy peligroso.

Saludos.  
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Víctor Luis
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« Respuesta #53 : 13/07/2019, 03:01:40 am »

Buenas Feriva ...

°•)  Comprendo tú ejemplo y lo comentaré más abajo; pero pasó al otro hilo, para exponerte un ejemplo mío.


Saludos Cordiales ....
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« Respuesta #54 : 13/07/2019, 05:49:45 am »

Buenas Feriva ...

  °•) Les expongo un ejemplo más visual y claro en el otro hilo, sobre la Factorización Estructural. Explico dos procesos, claramente operables, por lo que no me pidan más datos específicos (para ustedes)

••) Sobre tú metodología que expones, y con todo el respeto que te tengo y les tengo a todos mis maestros del Foro,... Me atrevo a opinar, en que de acuerdo a tu ejemplo, tomas dos divisores: (a,b) de 13 cifras (o dígitos) los que conforman el compuesto:  'm1'= (a•b) de 26 cifras

   En fin, lo que haces es partir de que descartando las últimas 6 cifras (de la derecha) de los divisores, consideras los divisores: (c,d)  que conforman el compuesto:  'm2'= (c•d)  de 14 cifras, que coincide en tan sólo sus 6 cifras iniciales, con 'm1' recordemos es un natural de 26 cifras. ... Pero, toma en cuenta, que no sabemos de (c,d) no aunque consideres menor cantidad de cifras iniciales, ... No sabemos de esto, solo del valor natural del compuesto 'm'.

 •) Reconozco que tomando un natural 'm2' con las 6 o más cifras iniciales (izquierdas) podemos deducir dos divisores, en tu caso: (c,d) ... que sin saber por lo menos de los dígitos iniciales (izquierda) de los divisores específicos, las posibilidades serán extensas y más, cuanto más grande sea e valor natural del compuesto ... Y es que partes del hecho de que ambos divisores, son de igual cantidad de cifras, lo que considero irrelevante; en sí impractico, es decir que tenga una aplicación que en tiempo real no tenga complejidad significativa. Para esto, te sugiero pruebes los desarrollos que hagas, con Compuestos de hasta 22 cifras, partiendo de divisores de 11 cifras y analizando para divisores 'P' de 11 cifras hacia abajo, ya que las cifras iniciales de 'm2' se pueden conformar con divisores de todas las cantidades de cifras que tengan éstos, no solo con las variaciones de cifras iguales, como suponemos son los RSA.


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« Respuesta #55 : Hoy a las 03:24:07 am »

Buenas Feriva, tocayo Luis y SqrMatrix ....

∆ LA PROPORCIÓN "KP".

       Siendo:   m=(p•q) compuesto con:  rz=√m  la raíz cuadrada del compuesto se determina:

             Kp = (p•100)/rz  %

   'Kp' es una proporción porcentual del divisor 'p' respecto a la raíz cuadrada, donde a mayor porcentaje, el divisor 'p' está próximo a la raíz y a menor porcentaje, el divisor 'p' está alejado de la raíz cuadrada del compuesto.

   Veamos unos ejemplos:


   m=35 ... (5•7) ... rz=5,91  ... Kp=84,6%

   m=341  ... (11•31) ... rz=18,46  ... Kp=59,58%

   m=3503 ... (31•113) ... rz=59,18 ... Kp=52,3%

   m=3487 ... (11•317) ... rz=59,05 ... Kp=18,6%

   m=3569 ... (43•83) ... rz=59,74 ... Kp=71,9%

°) Con estos ejemplos, espero comprendas Feriva, lo que quiero decirte, donde partimos de: m(35) con divisores (5,7) lo que no nos dice mucho, respecto a compuestos que inicien con  m(3..) ó m(35..)  Lo que observamos en los otros compuestos del ejemplo, que aunque inician con el dígito (3...) los divisores de los semiprimos, no inician con iguales dígitos iniciales, lo que se aprecia al analizar compuestos más grandes ó de mayor cantidad de cifras.
 
°) Lo que en mi criterio observo, es que si más bien, encuentras una metodología para esstimar la proporción 'Kp' de un compuesto semiprimo, estarías en verdad, con un criterio más próximo al valor natural de sus divisores (P,Q)

   En uno de mis análisis, anotados en uno de los cuadernos, encontré proporciones (tipo constantes) para generar ciertos 'Kp' desde uno inicial, lo que también se podía generar raíces cuadradas de los compuestos con esas 'Kp' generadas. Con la dificultad ó complejidad de tener que considerarse muchas más fracciones y proporciones, de 'Kp' en compuestos más grandes ó de mayor cantidad de cifras ... más ahí quedó el análisis, dándose esas generaciones en el Conjunto FV, como en los otros Conjuntos, de acuerdo a cada Grupo PIG/PG/PG

°) A pesar de darse formas de estimar posibles 'Kp' a partir del valor natural del compuesto 'm' y su raíz cuadrada, habrás observado que en:  m(3503,3487,3569)  sus raíces 'rz' enteras son:  rz=59 para distantes 'kp' y diferentes dígitos iniciales de sus divisores 'P' específicos. Criterios como éstos, he aplicado a tu compuesto semiprimo (tipo RSA) ... donde fue demasiado el proceso iterativo y operacional, como para poder factorizarlo siquiera en un día. Pero desde el Enfoque Estructural, y antes de comprender la Factorización de Fermat, (lo esencial en sí) por puro empirismo, (como les comenté) determinando la estructura cíclica del compuesto y realizando luego procesos iterativos, lograba conformar el valor natural de los divisores específicos de tú Compuesto. Ante eso comprendí, que la única complejidad, radicaba en determinar la estructura_ciclica del compuesto, siendo un ejemplo de esto, lo expuesto en el otro hilo.

( Espero sirvan de algo mis criterios y observaciones )


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