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Autor Tema: Combinaciones o variaciones  (Leído 261 veces)
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Marcos Castillo
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« : 14/06/2019, 07:33:52 am »

Hola a todos

Creo que en mi libro hay un error conceptual, y quería compartirlo con el foro, a ver qué os parece. Es un ejercicio resuelto. Dice así: "¿Cuál es la probabilidad de elegir un número de tres cifras que sea múltiplo de 2 o de 5?"

Sólo me interesa la formulación de los casos posibles. Sólo dice esto: (Nº de elecciones primer dígito)x(Número de elecciones dos dígitos)=[texx]V_{9,1}\cdot{VR_{10,2}}=900[/texx]

En cuanto a la elección del primer dígito, da igual que sean variaciones que combinaciones, el resultado es el mismo: 9. Pero, ¿qué importancia tiene el orden de la elección, si ésta es única. ¿No sería más apropiado hablar de combinaciones de 9 elementos tomados de uno en uno?.

Un saludo
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No man is an island (John Donne)
Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/06/2019, 08:00:55 am »

Hola

En cuanto a la elección del primer dígito, da igual que sean variaciones que combinaciones, el resultado es el mismo: 9. Pero, ¿qué importancia tiene el orden de la elección, si ésta es única. ¿No sería más apropiado hablar de combinaciones de 9 elementos tomados de uno en uno?.

Lo veo algo absolutamente intrascendente.

Si sólo se escoge un elemento, la pregunta de "importa el orden" simplemente no tiene sentido o en todo caso es irrelevante. Es igual de cierto decir que importa el orden que decir que no importa, ya que esa cuestión tiene relevancia para dos o más elementos.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Pero en fin, como veo que entiendes el fondo del asunto yo no me rompería mucho la cabeza con el tema.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #2 : 14/06/2019, 08:24:04 am »

Hola, Marcos.

Aparte de lo que preguntas en concreto, otra forma de verlo es la que ya te conté, pero aquí hay que hacer alguna cuenta más.

La cantidad de mútliplos de 2 es [texx]\dfrac{n}{2}
 [/texx]; la cantidad de mútiplos de 5 es [texx]\dfrac{n}{5}
 [/texx], pero de éstos la mitad son pares y ya están tenidos en cuenta, así que tomamos sólo [texx]\dfrac{n}{2\cdot5}=\dfrac{n}{10}
 [/texx]

No, perdón, para quitar los pares hay que restar los múltiplos de 5 pares (de 10) al total de múltiplos de 5, no dividir

[texx]\dfrac{n}{5}-\dfrac{n}{10}=n\dfrac{5}{50}=\dfrac{n}{10}
 [/texx]

Entonces son [texx]\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{10}=\dfrac{12n}{20}=\dfrac{3}{5}n
 [/texx]; sale lo mismo, pero como está bien hecho es así.


; es decir, los que son múltiplos de 5 pero no de 2, los impares solamente. Luego tenemos todos estos números como casos favorables [texx]\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{10}=\dfrac{3}{5}n
 [/texx].

Si son números de tres cifras, desde 100 hasta 999, incluidos éstos, hacen n=900; simplemente restando 999-100 y añadiendo uno más porque no empieza desde 101, si no desde 100. son los casos totales. Entonces tres quintos de 900 hacen [texx]{\color{red}540}
 [/texx] casos favorables. La probabilidad dería ser [texx]\dfrac{{\color{red}540}}{900}={\color{red}0.6}
 [/texx]
 [/tex] si no he estimado algo mal.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #3 : 14/06/2019, 02:02:43 pm »

Hola Luis, feriva

Luis, no coincido contigo, pero como el resultado es el mismo, pues adelante. Pero si sólo elijo un elemento, el orden no importa. Da igual primero manzanas, que peras, que .... Ya sé que no hay orden :labios_sellados:

feriva, tu resultado coincide casi al 100% con el del libro, pero te escribo la solución del libro. Vaya por delante que prefiero la tuya, por intuitiva:

Solución. Se consideran los sucesos A={múltiplo de 2} y B={múltiplo de 5}. Evidentemente [texx]A\cap{B}[/texx]={múltiplo de 2 y de 5}={múltiplo de 10} y [texx]A\cap{B}\neq{\emptyset}[/texx].
El suceso del cual se solicita la probabilidad es [texx]A\cup{B}[/texx], y se sabe que
[texx]P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})[/texx]
El espacio muestral es de equiprobabilidad, por tanto empleamos la regla de Laplace para determinar la probabilidad de los sucesos A, B y [texx]A\cap{B}[/texx].
Nº de casos posibles=(Nº de elecciones primer dígito)x(Nº de elecciones dos dígitos)=[texx]V_{9,1}\cdot{VR_{10,2}}=900[/texx]
pues el primer dígito no puede ser 0.
Nº casos favorables(A)=(Nº de elecciones primer dígito)x(Nº de elecciones 2º dígito)x(Nº de elecciones tercer dígito)=[texx]V_{9,1}\cdot{V_{10,1}}\cdot{V_{5,1}}=450[/texx]
pues la terminación debe ser 0, 2, 4, 6 u 8.
Nº casos favorables (B)=(Nº de elecciones primer dígito)x(Nº de elecciones 2º dígito)x(Nº de elecciones tercer dígito)=[texx]V_{9,1}\cdot{V_{10,1}}\cdot{V_{2,1}}=180[/texx]
pues la terminación debe ser 0 ó 5.
Nº casos favorables [texx](A\cap{B})[/texx]= (Nº de elecciones primer dígito)x(Nº de elecciones 2º dígito)=[texx]V_{9,1}\cdot{V_{10,1}}=90[/texx]
pues la terminación debe ser 0
Luego
[texx]P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})=\displaystyle\frac{450}{900}+\displaystyle\frac{180}{900}-\displaystyle\frac{90}{900}=0,6[/texx].

¡Un saludo!
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No man is an island (John Donne)
Lambda
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« Respuesta #4 : 14/06/2019, 02:12:28 pm »

¡Hola!

Quizás esté rizando más el rizo, pero por verlo desde otra perspectiva:

La probabilidad de elegir un número de tres cifras que sea múltiplo de 2 o de 5, es la misma que la de elegir un número de tres cifras que termine en alguno de los siguientes números [texx]\{0,2,4,5,6,8\}[/texx].

Como se ha comentado previamente, el valor de los dos primeros dígitos resulta irrelevante y por tanto fijándonos en el último nos valen 6 de las 10 opciones (las mostradas en el conjunto previo), con lo cual la porbabilidad es de 0.6.

Saludos,
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feriva
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« Respuesta #5 : 14/06/2019, 02:47:48 pm »


feriva, tu resultado coincide casi al 100% con el del libro, pero te escribo la solución del libro. Vaya por delante que prefiero la tuya, por intuitiva


Hola, Marcos.

No es intuitiva, usa el principio de inclusión-exclusión (uno de los inventores de este principio soy yo, aunque ya existía cuando lo inventé :cara_de_queso: )

https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_inclusi%C3%B3n-exclusi%C3%B3n

Se basa también en que cada “k” números consecutivos existe un múltiplo, si k+k+k+k=n, pues es un intervalo de 4k números y hay cuatro múltiplos de k, eso es sencillo. Si tienes unos “restos” en los extremos, r+k+k+k+k+t, pues también o, en otro caso, si r+t>k puede haber otro k más; en cualquier caso al dividir por k obtendremos los que hay despreciando la parte no entera.

El principio que te decía también es de fácil ver con un ejemplo.

Pongamos los múltiplos de 2 ó 5 de 3 hasta 29; entonces, la cantidad de números es 29-3+1= 27. Aquí hay de una y dos cifras, imagina que hay hasta de 10 cifras o más, por ejemplo, la cosa se complicaría con al fórmula de las variaciones, no es lo más apropiado para contar los números que hay, esto es más sencillo.

[texx]3,{\color{blue}4},{\color{green}5},{\color{blue}6},7,{\color{blue}8},9,{\color{blue}{\color{magenta}10}},11,{\color{blue}12},13,{\color{blue}14},{\color{green}15},{\color{blue}16},17,{\color{blue}18},19,{\color{magenta}20},21,{\color{blue}22},23,{\color{blue}24},{\color{green}25},{\color{blue}26},27,{\color{blue}28},29
 [/texx]

Cantidad de pares, la parte entera de [texx]int(\dfrac{27}{2})
 [/texx]; 13 (los azules y magentas). Cantidad de múltiplos de 5 [texx]int(\dfrac{27}{5})=5
 [/texx], los verdes y magentas. Cantidad de múltiplos de ambos [texx]int(\dfrac{27}{10})=2
 [/texx], los magentas.

Cantidad en total de múltiplos de 2 ó 5 o de los ambos:

[texx]{\color{blue}13}+{\color{green}5}-{\color{magenta}2}=16
 [/texx]

Primero se incluyen los de uno y otro y luego se excluyen los comunes. Pero este proceso con más números no se hace de “golpe” y es un rollo.

...

Lo que tú preguntabas lo considero más como el principio multiplicativo que otra cosa; es mi forma de verlo. Tienes que en las dos primeras cifras de la izquierda, en principio, son [texx]10^{2}=100
 [/texx] variaciones, pero como el cero no vale, se quitan 10 combinaciones (porque hay que quitar también la del 00, no a partir de 01) y se quedan en 90. Entonces, los números divisibles entre 2 ó 5 acaban en cifra par o 5; esto es 0,2,4,6,8,5, que hacen 6. Pues ahora es cada una de las otras con cada uno de estos, o sea, que se multiplican por 6 las 90 que hay; lo entiendo así, no me planteo si serían variaciones o combinaciones.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #6 : 14/06/2019, 02:56:18 pm »

Lambda, esta solución que das es magistral. Perfecta.
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No man is an island (John Donne)
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« Respuesta #7 : 14/06/2019, 03:17:00 pm »

Hola

Luis, no coincido contigo, pero como el resultado es el mismo, pues adelante. Pero si sólo elijo un elemento, el orden no importa. Da igual primero manzanas, que peras, que .... Ya sé que no hay orden :labios_sellados:

Pues deberías de pensarlo mejor.   :guiño: Tu estás diciendo directamente que el concepto de variaciones de [texx]n[/texx] elementos tomados de [texx]1[/texx] en [texx]1[/texx] no existe entonces. Lo estás viendo como un caso "especial". Pero no hay necesidad ninguna.

Que en un conteo NO importe el orden significa que si dos k-uplas [texx](x_1,x_2,\ldots,x_k)[/texx] e [texx](y_1,y_2,\ldots,y_k)[/texx] tienen los mismos elementos pero en distinto orden se consideran como iguales; mientras que  SI importe el orden significa que si esas dos k-uplas tienen los mismos elementos pero en distinto orden se consideran como diferentes.

Más formalmente las variaciones de n elementos tomados de [texx]k[/texx] en [texx]k[/texx] es el cardinal del conjunto:

[texx]A=\{(x_1,x_2,\ldots,x_k)|x_i\in \{1,2,\ldots,n\}\,x_i\neq x_j \textsf{ para todo }i\neq j\}[/texx]

y esa definición es válida y coherente para [texx]k=1[/texx].

Ahora si en ese conjunto introducimos la relación de equivalencia:

[texx](x_1,x_2,\ldots,x_k)\sim (y_1,y_2,\ldots,y_k)[/texx] si ambas [texx]k[/texx]-uplas tienen los mismos elementos (en cualquier orden)

las combinaciones de [texx]n[/texx] elementos tomados de [texx]k[/texx] en [texx]k[/texx] es el cardinal del conjunto cociente [texx]A/\sim[/texx].

Cuando [texx]k=1[/texx] la relación de equivalencia es la trivial; y el conjunto cociente [texx]A/\sim[/texx] tiene el mismo cardinal que el original. Es decir las combinaciones y variaciones coinciden cuando [texx]k=1[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #8 : 14/06/2019, 05:43:33 pm »


¡Ahhh!, Marcos, que ese ejemplo que he puesto al final no es exactamente lo que decías (he vuelto a leer, no me acordaba, estaba despistado, como siempre) te refieres a esto:

Cita

En cuanto a la elección del primer dígito, da igual que sean variaciones que combinaciones, el resultado es el mismo: 9. Pero, ¿qué importancia tiene el orden de la elección, si ésta es única. ¿No sería más apropiado hablar de combinaciones de 9 elementos tomados de uno en uno?.


Si eso supone un problema “existencial” para ti, hazlo como yo, considera primero variaciones de 10 tomados de 3 en 3, [texx]10^{3}=1000
 [/texx], a esta cantidad habrá que restar la cantidad de variaciones 000, 001,..., 012,..., 0021... etc., que, aquí sin duda, se ve que son variaciones; quitamos variaciones con repetición, no combinaciones. Seguro que esto no te da ningún problema teórico.

Distinto es que para calcular esas variaciones, ahora, tengamos en cuenta que el cero de la izquierda queda fijo, con lo que serán a quitar [texx]10^{2}=100
 [/texx].

Pero esto es métodico, no teórico, siguen siendo variaciones de tres elementos, un subconjunto de ellas que quitamos. Así visto, quito variaciones y no me aparecen combinaciones mezcladas con las variaciones; que desde luego que no puede ser, no hay tal cosa.

Saludos.
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Marcos Castillo
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« Respuesta #9 : 14/06/2019, 08:27:56 pm »

Hola, Luis

Lo has contextualizado, y lo has formalizado. Ya sólo me quedan argumentos literarios. Debo desprenderme de ellos si quiero convertirme en un matemático. Te resumo mis argumentos en una frase grandilocuente de tintes novelescos: "Si dos cosas son iguales, una de las dos sobra".
Estoy escribiendo al tiempo que razono. La frase que acabo de escribir es una estupidez. No existen dos cosas iguales.
Aunque lo que acabo de decir es otra bobada.
Vamos, Luis, que mi resumen es el siguiente: es innecesario hablar de combinaciones en lugar de variaciones tanto como hablar de variaciones en lugar de combinaciones. Yo me quedo con eso para responder a mi pregunta inicial. El motivo lo has explicado de dos formas diferentes: con lógica primero, y definitivamente para mí con este último mensaje en el que lo has contextualizado.
¡Muchas gracias, y un saludo!
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Marcos Castillo
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« Respuesta #10 : 15/06/2019, 06:41:22 am »

feriva, hola
No preguntaba por ver la relación entre combinaciones y variaciones, sino por el caso concreto de la pregunta del primer mensaje de este hilo.
¡Gracias, de todas formas tu mensaje es enriquecedor!
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« Respuesta #11 : 15/06/2019, 09:47:10 am »

feriva, hola
No preguntaba por ver la relación entre combinaciones y variaciones, sino por el caso concreto de la pregunta del primer mensaje de este hilo.
¡Gracias, de todas formas tu mensaje es enriquecedor!

Hola, Marcos.

Ya, si cuando le releí ya te entendí; y en el fondo es lo mismo que entendí al principio también. Dices esto

[texx]{\color{blue}V}_{{\color{blue}9,1}}\cdot VR_{10,2}=900
 [/texx]

Variaciones tomando de uno en uno los elemntos. Pero, como te decía, yo interpreto que eso es método; tienes números de tres cifras en todo caso, no existe ninguna variación ni combianción de 1 sólo elemento, sólo se usa para contar; y es una de las maneras de hacerlo, no la única. Yo nunca lo pienso así, si no así [texx]VR_{10,3}-VR_{10,2}=900
 [/texx], como decía.

Lo que pone ahí en lo tuyo es esto [texx]9\cdot VR_{10,2}=900
 [/texx], no hay variaciones de 1 elemento entre esas 900 ni tampoco de dos, hay de tres en todo caso. Por tanto, para mí, ahí no hay variaciones ni combinaciones de menos de 3, es el principio multiplicativo. Esto no quiere decir que afirme que no existen las variaciones de un elemento, claro que existen, pero ahí no lo interpreto así; aunque se pueda escribir así, es mera escritura a mi entender, se puede poner perfectamente 9. Y no lo veo menos formal (diría incluso que sería más formal y daría lugar a menos confusión; y una prueba de ello es que a ti te ha causado duda).


Si me apuras, lo veo algo particular; me quedo con esto [texx]VR_{10,3}-VR_{10,2}=900
 [/texx]. Porque las variaciones de tres elementos son previas a considerar después cuáles velan o no; una variación no es un número, es un objeto matemático más general. Esto (000) es una variación como otra cualquiera y distinta de ésta (001), por ejemplo. Ahora bien, si después resulta que el problema habla de una particularidad, con unas cosas llamadas números (que no lo son todo en las matemáticas) pues entonces uno quita variaciones porque no todas las variaciones posibles con esos signos son números.

Hace tiempo vi un vídeo sobre la Hipótesis de Riemann donde entrevistaban a matemáticos y otros científicos. En un momento le preguntaban a uno cuál era su número primo preferido; y dijo “el dos, porque es el único par”. Par quiere decir múltiplo de 2, el dos es el único primo par como el tres el único “triar” o el cinco el único “quintar”... decir que el 2 es el único primo par es una redundancia y una chorrada. Así que, si eso lo dijo un profesional (no sé si matemático o informático) lo que diga un libro no implica que todo lo que diga esté lo mejor pensado posible en cuanto a notación y otras cosas; puede ser mejorable.


Saludos.
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« Respuesta #12 : 15/06/2019, 11:33:20 am »

¡Hola, feriva!

No había entendido tu mensaje. La verdad es que tu solución es muy interesante. ¿Puedes decirme para qué casos usas esa solución y razonar el método que empleas?. Sería genial para mí. Ya sé que es, o puede ser trabajoso, especialmente conmigo, que sólo digiero mensajes muy sencillos  :tranqui:

¡Un saludo!
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« Respuesta #13 : 15/06/2019, 01:09:06 pm »

¡Hola, feriva!

No había entendido tu mensaje. La verdad es que tu solución es muy interesante. ¿Puedes decirme para qué casos usas esa solución y razonar el método que empleas?. Sería genial para mí. Ya sé que es, o puede ser trabajoso, especialmente conmigo, que sólo digiero mensajes muy sencillos  :tranqui:

¡Un saludo!

Sí, para que veas lo particular que es eso puedo ponerte un ejemplo.

Supongamos, qué se yo, una partida de zapatillas de tenis que se han fabricado y cada caja ha sido identificada con un vector o tripleta: (0,0,0); (0,0,1)... todas las variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 3 en 3. Así habrá mil pares de zapatillas.

Ahora, resulta que las que tienen un vector que empieza por 1 y no termina por 2 han salido defectuosas; igualmente han salido malas las que terminan por 2 pero no empiezan por 1. O sea, las del tipo (1,x,2) sí valen. La pregunta es cuántas hay buenas.

Es un problema análogo a lo de quitar las variaciones que empieza por cero; se podrían poner infinitos ejemplos, son casos particulares.

La forma “general” de hacerlo, sean éstas u otras las condiciones, es siempre contar todas las zapatillas que hay, contar después sólo las malas y restarlas del total de variaciones.

En este caso, tenemos en la primera coordenada el 1 fijo para empezar, en la última todos menos el 2, que hacen 9; como la coordenada central puede tomar 10 valores, 0,1,2...9, tenemos entonces 90 pares de zapatillas que no sirven; hasta aquí, de momento. Con el 2 del final, igual. Queda fijo y va combinando con todos los valores de la primera menos el 1 (lo que garantiza que no haya ninguna variación igual a ninguna de las de antes). Así de momento hacen nueve distintas entre la primera y la última; y estas nueve combinan con las del centro que otra vez son 10. Luego otras 90 y ya no hay más. Son 180 que hay que quitarle a las [texx]VR_{10,3}
 [/texx].

Cada problema tendrá su aquél, será distinto en el conteo (y los hay muy complicados) pero si hay que quitar del total, el total para cualquier caso va a ser éste [texx]VR_{10,3}
 [/texx] o más general éste [texx]VR_{m,n}
 [/texx].

El caso de los números naturales es uno más, muy sencillo, pero un caso más entre los infinitos que puede haber, y la formalización, en general, no se va a poder plasmar (al menos fácilmente) con un simple producto de variaciones variadas, valga la redundancia. Por eso abogo por lo que te decía, porque siempre, en este tipo de problemas, habrá que quitar a la cantidad de variaciones totales; ese punto sí es común o general (si se trata de quitar variaciones o lo que sea a un total).

Saludos.
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« Respuesta #14 : 15/06/2019, 01:51:21 pm »

¡Perfecto!. Muchas gracias. Un saludo
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