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Autor Tema: Número 1. (2012) - 1. Estructuras de Dedekind para demostrar la existencia de R  (Leído 8669 veces)
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« : 29/12/2011, 05:04:16 pm »

Estructuras de Dedekind para demostrar la existencia del conjunto de los reales.

Spoiler:  comentarios (click para mostrar u ocultar)
Spoiler: Teorema 1.19 (click para mostrar u ocultar)

El Teorema 1.19 será probado en este apéndice por medio de la construcción de [texx]\mathbb{R}[/texx] a partir de [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Nosotros dividiremos la construcción en varios pasos.

Paso 1 Los miembros de [texx]\mathbb{R}[/texx] serán ciertos subconjuntos de [texx]\mathbb{Q}[/texx], que llamaremos cortes. Un corte será un subconjunto de [texx]\mathbb{Q}[/texx] que cumpla las siguientes tres propiedades.

    (I) [texx]\alpha[/texx] es no vacío y [texx]\alpha[/texx] no es [texx]\mathbb{Q}[/texx].
    (II) Si [texx]p\in{\alpha}[/texx], [texx]q\in{\mathbb{Q}}[/texx] y [texx]q<p[/texx] entonces [texx]q\in{\alpha}[/texx].
    (III) Si [texx]p\in{\alpha}[/texx], entonces [texx]p<r[/texx] para algún [texx]r\in{\alpha}[/texx].

Las letras [texx]p,q,r,...[/texx] representarán siempre números racionales, y [texx]\alpha, \beta, \gamma[/texx] representan cortes.
Es de notar que (III) dice simplemente que [texx]\alpha[/texx] no tiene un elemento mayor; (II) implica las dos siguientes afirmaciones, que se usarán con frecuencia:
   
    Si [texx]p\in{\alpha}[/texx] y [texx]q\not\in{\alpha}[/texx] entonces [texx]p<q[/texx]
    Si [texx]r\not\in{\alpha}[/texx] y [texx]r<s[/texx] entonces [texx]s\not\in{\alpha}[/texx]

Spoiler: Justificación 1 (click para mostrar u ocultar)

Paso 2 Se define "[texx]\alpha<\beta[/texx]" para significar que: [texx]\alpha\subset{\beta}[/texx]
Verificaremos que cumplen las condiciones de la definición 1.5.
Spoiler: Definición 1.5 (click para mostrar u ocultar)

Si [texx]\alpha<\beta[/texx] y [texx]\beta<\gamma[/texx] es claro que [texx]\alpha<\gamma[/texx]. (Un subconjunto propio de un subconjunto propio es un conjunto propio del conjunto). También es claro que a lo sumo una de las siguientes tres relaciones

[texx]\alpha<\beta,   \alpha=\beta,  \beta<\alpha[/texx]

puede darse. Para mostrar que al menos uno se cumple, asumamos que las dos primeras no se cumplen. Entonces [texx]\alpha[/texx] no es un subconjunto de [texx]\beta[/texx]. Luego, exite un [texx]p\in{\alpha}[/texx] tal que [texx]p\not\in{\beta}[/texx]. Si [texx]q\in{\beta}[/texx], se sigue que [texx]q<p[/texx] (ya que [texx]p\not\in{\beta}[/texx]), así [texx]q\in{\alpha}[/texx] por la condición (II). De donde [texx]\beta\subset{\alpha}[/texx]. Como [texx]\beta\neq{\alpha}[/texx], concluimos: [texx]\beta<\alpha[/texx].
     Así [texx]\mathbb{R}[/texx] es un conjuntos ordenado.

Paso 3 El conjunto ordenado [texx]\mathbb{R}[/texx] tiene la propiedad de que a cada conjunto [texx]A\subset{R}[/texx] acotado se cumple [texx]sup(A)\in{\mathbb{R}}[/texx].
    Para probar esto, sea [texx]A[/texx] un conjunto no vacío acotado de [texx]\mathbb{R}[/texx], y asumamos que [texx]\beta\in{\mathbb{R}}[/texx] es una cota superior de [texx]A[/texx]. Definimos [texx]\gamma[/texx] como la unión de todos los [texx]\alpha\in{A}[/texx]. En otras palabras, [texx]p\in{\gamma}[/texx] si y sólo si [texx]p\in{\alpha}[/texx] para algún [texx]\alpha\in{A}[/texx]. Probaremos que [texx]\gamma\in{R}[/texx] y que [texx]\gamma=sup(A)[/texx].
    Como [texx]A[/texx] es no vacío, existe un [texx]\alpha_0\in{A}[/texx]. Donde [texx]\alpha_0[/texx] no vacío.  Como [texx]\alpha\subset{\gamma}[/texx], [texx]\gamma[/texx] es no vacío. Ahora, [texx]\gamma\subset{\beta}[/texx] (por lo que [texx]\alpha\subset{\beta} [/texx] para todo [texx]\alpha\in{A}[/texx]) de donde [texx]\gamma\neq{\mathbb{Q}}[/texx]. Así [texx]\gamma[/texx] satisface (I). Para probar (II) y (III), escogemos [texx]p\in{\gamma}[/texx]. Tenemos [texx]p\in{\alpha_1}[/texx] para algún [texx]\alpha_1\in{A}[/texx]. Si [texx]q<p[/texx], entonces [texx]q\in{\alpha_1}[/texx], concluyendo [texx]q\in{\gamma}[/texx]; esto prueba (II). Si [texx]r\in{\alpha_1}[/texx] es escogido de tal modo que [texx]r>p[/texx], evidentemente tenemos [texx]r\in{\gamma}[/texx], lo que prueba que satisface (III).
    Todo esto prueba que [texx]\gamma[/texx] es un corte.
    Es claro que [texx]\alpha\leq{\gamma}[/texx] para todo [texx]\alpha\in{A}[/texx].
    Supongamos que [texx]\delta<\gamma[/texx]. Entonces existe un [texx]s\in{\gamma}[/texx] y que [texx]s\not\in{\delta}[/texx]. Como [texx]s\in{\gamma}[/texx] existe [texx]s\in{\alpha}[/texx] para algún [texx]\alpha\in{A}[/texx]. Por lo que [texx]\delta<\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] no es una cota superior de [texx]A[/texx].
    Lo que nos da el siguiente resultado: [texx]\gamma=sup(A)[/texx].
En línea

Cita
Creo debes tener un problema en tu mente por el cual complicas las cosas y las afirmaciones más sencillas.

Sí, es un problema muy frecuente en este foro. Se llama saber matemáticas.
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« Respuesta #1 : 30/12/2011, 02:42:14 pm »

Paso 4 Si [texx]\alpha\in{\mathbb{R}}[/texx] y [texx]\beta\in{\mathbb{R}}[/texx] definimos [texx]\alpha+\beta[/texx] como el conjunto de todas las sumas [texx]r+s[/texx], donde [texx]r\in{\alpha}[/texx] y [texx]s\in{\beta}[/texx].
    Definimos como [texx]0*[/texx] al conjunto de todos lo números racionales negativos. Es claro que [texx]0*[/texx] es un corte. Verificaremos que los axiomas de la adición (ver definición 1.12) se cumplen en [texx]\mathbb{R}[/texx], con [texx]0*[/texx] siendo [texx]0[/texx].
Spoiler: definición 1.12 (click para mostrar u ocultar)
(A1) Mostraremos que [texx]\alpha+\beta[/texx] es un corte. Es claro que [texx]\alpha+\beta[/texx] es un conjunto no vacío de [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Tomando [texx]r'\not\in{\beta}[/texx], [texx]s'\not\in{\alpha}[/texx]. Tenemos [texx]r+s<r'+s'[/texx] para todo par
[texx]r\in{\beta}[/texx], [texx]s\in{\alpha}[/texx]. De donde [texx]r'+s'\not\in{\alpha+\beta}[/texx]. Por lo que cumple [texx]\alpha+\beta[/texx] la propiedad [texx](I)[/texx].
   Escogiendo [texx]p\in{\alpha+\beta}[/texx]. Entonces [texx]p=r+s[/texx] con [texx]r\in{\alpha}[/texx] y [texx]s\in{\beta}[/texx]. Si [texx]q<p[/texx], entonces [texx]q-s<r[/texx] así [texx]q-s\in{\alpha}[/texx], y [texx]q=(q-s)+s\in{\alpha+\beta}[/texx]. Por lo que se cumple (II).

(A2) Por la definición de [texx]\alpha+\beta[/texx] se asegura que sea conmutativa puesto que [texx]r+s=s+r[/texx] para todo [texx]r\in{\alpha}[/texx] y [texx]s\in{\beta}[/texx]. Luego [texx]\alpha+\beta=\beta+\alpha[/texx] [texx]\forall{\alpha, \beta\in{\mathbb{R}}}[/texx].

(A3) Por la ley asociativa en [texx]\mathbb{Q}[/texx] se tiene que [texx](\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)[/texx] [texx]\forall{\alpha, \beta\in{\mathbb{R}}}[/texx].
(A4) Si [texx]r\in{\alpha}[/texx] y [texx]s\in{0*}[/texx], entonces [texx]r+s\in{\alpha}[/texx]. Así [texx]\alpha+0*\subset{\alpha}[/texx]. Para obtener la inclusión opuesta, elijamos [texx]p\in{\alpha}[/texx], y [texx]r\in{\alpha}[/texx], [texx]r>p[/texx]. Entonces, [texx]p-r\in{0*}[/texx], y [texx]p=r+(p-r)\in{\alpha}[/texx]. Así [texx]\alpha\subset{\alpha+0*}[/texx]. De donde [texx]\alpha+0*=\alpha[/texx]

(A5) Sea [texx]\alpha\in{\mathbb{R}}[/texx]. Con [texx]\beta[/texx] el conjunto de todos lo [texx]p[/texx] con la siguiente propiedad:

Existe un [texx]r>0[/texx] tal que [texx]-p-r\not\in{\alpha}[/texx].
    En otras palabras, algún racional más pequeño que [texx]-p[/texx] no está en [texx]\alpha[/texx].
    Nosotros mostraremos que [texx]\beta\in{\mathbb{R}}[/texx] y que [texx]\alpha+\beta=0*[/texx]
    Si [texx]s\not\in{\alpha}[/texx] y [texx]p=-s-1[/texx], tenemos [texx]-p-1\not\in{\alpha}[/texx], de esto [texx]\p\in{\beta}[/texx]. Si [texx]q\in{\alpha}[/texx] entonces [texx]-q\not\in{\alpha}[/texx]. Concluyendo [texx]\beta\neq{\mathbb{Q}}[/texx]. Se satisface (I).
    Sea [texx]p\in{\beta}[/texx], y sea [texx]r>0[/texx], de modo que [texx]-p-r\not\in{\alpha}[/texx]. Si [texx]q<p[/texx], entonces [texx]-q-r>-p-r[/texx], así [texx]-q-r\not\in{\alpha}[/texx]. Así [texx]q\in{\beta}[/texx], y se cumple (II). Colocando [texx]t=p+\displaystyle\frac{r}{2}[/texx]. Entonces [texx]t>p[/texx], y [texx]-t-\displaystyle\frac{r}{2}=-p-r\not\in{\alpha}[/texx], luego [texx]t\in{\beta}[/texx]. Satisface (III).
    Hemos probado que es un corte.
    Si [texx]r\in{\alpha}[/texx] y [texx]s\in{\beta}[/texx], entonces [texx]-s\not\in{\alpha}[/texx], de donde [texx]r<-s[/texx], [texx]r+s<0[/texx]. Así [texx]\alpha+\beta\subset{0*}[/texx] .
    Para probar la otra inclusión, elegimos [texx]v\in{0*}[/texx], y pongamos [texx]w=-\displaystyle\frac{v}{2}[/texx]. Entonces [texx]w>0[/texx], y hay un entero [texx]n[/texx] tal que [texx]nw\in{\alpha}[/texx] pero [texx](n+1)w\not\in{\alpha}[/texx]. (¡Notar que esto depende de que [texx]\mathbb{Q}[/texx] tenga la propiedad arquimediana!). Pongamos [texx]p=-(n+2)w[/texx]. Entonces [texx]p\in{\beta}[/texx], ya que [texx]-p-w\not\in{\alpha}[/texx], y
[texx]v=nw+p\in{\alpha+\beta}[/texx]
Así [texx]0*\subset{\alpha+\beta}[/texx].
    Concluimos entonces que [texx]\alpha+\beta=0*[/texx].
    Denotamos a [texx]\beta[/texx] por [texx]-\alpha[/texx].





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