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Autor Tema: Problema en espacios de Hilbert  (Leído 397 veces)
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Eparoh
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« : 04 Junio, 2019, 13:04 »

Hola a todos, tengo el siguiente problema:

Sea [texx]H[/texx] un espacio de Hilbert, [texx]\{x_n\}_{x \geq 1} \subset H[/texx] una sucesión tal que [texx]x_n[/texx] converge en la topología débil al punto [texx]a \in H[/texx]. Definamos las funciones [texx]d, D: H \longrightarrow{} \mathbb{R}^+[/texx] por

[texx]d(x)=\displaystyle\liminf_{n \to{+}\infty}{ \left\|{x_n-x}\right\|}[/texx] y [texx]D(x)=\displaystyle\limsup_{n \to{+}\infty}{ \left\|{x_n-x}\right\|}[/texx]
Demuestrese que
[texx]d(x)=\sqrt[ ]{d^2(a)+ \left\|{x-a}\right\|^2}[/texx] y [texx]D(x)=\sqrt[ ]{D^2(a)+ \left\|{x-a}\right\|^2}[/texx]

La verdad es que no se por donde empezar. He intentado elevar [texx]d[/texx] al cuadrado y acotar la expresión pero he obtenido (y no se ni si quiera si es correcto)

[texx]d^2(x)=\displaystyle\liminf_{n \to{+}\infty}{ \left\|{x_n-x}\right\|}^2 \leq \displaystyle\liminf_{n \to{+}\infty}{ \left\|{x_n-a}\right\|^2}+\displaystyle\liminf_{n \to{+}\infty}{ \left\|{a-x}\right\|^2}+\displaystyle\liminf_{n \to{+}\infty}{2 \left\|{x_n-a}\right\| \left\|{a-x}\right\|} \leq d(a)^2+ \left\|{a-x}\right\|^2+2 \left\|{a-x}\right\|d(a)=\left( d(a)+ \left\|{a-x}\right\| \right)^2[/texx]

Por tanto, tampoco he llegado a mucho, y no se por donde tirar. ¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.
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« Respuesta #1 : 04 Junio, 2019, 14:14 »

Recuerda que [texx]\|x-y\|^2=\langle x-y|x-y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2-2\Re\langle x| y\rangle[/texx]. Y también fíjate que

[texx]\displaystyle d^2(a)=\liminf \|x_n-a\|^2=\liminf(\|x_n\|^2+\|a\|^2-2\Re\langle x_n|a\rangle)=\liminf\|x_n\|^2-\|a\|^2[/texx]

ya que [texx]x_n\to a[/texx] débilmente. Simplificando te queda que

[texx]\displaystyle d^2(a)+\|x-a\|^2=\liminf\|x_n\|^2+\|x\|^2-2\Re\langle x|a\rangle=\liminf(\|x_n\|^2+\|x\|^2-2\Re\langle x|x_n\rangle)=\liminf\|x_n-x\|^2[/texx]

Y para el otro caso algo parecido.
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« Respuesta #2 : 04 Junio, 2019, 15:40 »

Hola, muchas gracias por la respuesta.

Recuerda que [texx]\|x-y\|^2=\langle x-y|x-y\rangle=\|x\|^2+\|y\|^2-2\Re\langle x| y\rangle[/texx]. Y también fíjate que

[texx]\displaystyle d^2(a)=\liminf \|x_n-a\|^2=\liminf(\|x_n\|^2+\|a\|^2-2\Re\langle x_n|a\rangle)[/texx] [texx]=[/texx] [texx]\liminf\|x_n\|^2-\|a\|^2[/texx]

ya que [texx]x_n\to a[/texx] débilmente. Simplificando te queda que

[texx]\displaystyle d^2(a)+\|x-a\|^2=\liminf\|x_n\|^2+\|x\|^2-2\Re\langle x|a\rangle=\liminf(\|x\|^2+\|x\|^2-2\Re\langle x|x_n\rangle)=\liminf\|x_n-x\|^2[/texx]

Y para el otro caso algo parecido.

No entiendo por que la igualdad que he marcado en rojo se deduce de la convergencia débil.

Un saludo.
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geómetracat
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« Respuesta #3 : 04 Junio, 2019, 16:58 »

Si [texx]x_n[/texx] converge débilmente a [texx]a[/texx], en particular [texx]\langle x_n|a\rangle[/texx] converge a [texx]\langle a|a\rangle = ||a||^2 [/texx].
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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