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Autor Tema: Promedios: Media aritmética y media geométrica.  (Leído 299 veces)
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Francois
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« : 04 Junio, 2019, 11:18 »

Pregunta
Sabiendo que la media aritmética y media geométrica de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son dos números consecutivos.
Hallar[texx] (\sqrt[4 ]{a}-\sqrt[4 ]{b})(\sqrt[4 ]{a}+\sqrt[4 ]{b})[/texx]

Consulta
Del dato[texx] \displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt[ ]{ab}=1[/texx]
Lo que hice fue tantear y dar con los valores [texx]a=2[/texx] y [texx]b=0[/texx]( En verdad no lo hice, fue Wolfram jeje)

Pero habrá otra forma? o este problema me obliga al tantear valores?
Gracias.
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« Respuesta #1 : 04 Junio, 2019, 12:19 »

Pregunta
Sabiendo que la media aritmética y media geométrica de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son dos números consecutivos.
Hallar[texx] (\sqrt[4 ]{a}-\sqrt[4 ]{b})(\sqrt[4 ]{a}+\sqrt[4 ]{b})[/texx]

Consulta
Del dato[texx] \displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt[ ]{ab}=1[/texx]
Lo que hice fue tantear y dar con los valores [texx]a=2[/texx] y [texx]b=0[/texx]( En verdad no lo hice, fue Wolfram jeje)

Pero habrá otra forma? o este problema me obliga al tantear valores?
Gracias.

Basta con completar cuadrados, es decir, fíjate que

[texx]\displaystyle \frac{a+b}2-\sqrt{ab}=1\iff a-2\sqrt{ab}+b=2\iff (\sqrt a-\sqrt b)^2=2\iff|\sqrt a-\sqrt b|=\sqrt 2[/texx]

Y por último observa que [texx]\sqrt a-\sqrt b=(\sqrt[4]a-\sqrt[4]b)(\sqrt[4]a+\sqrt[4]b)[/texx].

Hay muchas más soluciones que [texx]a=2[/texx] y [texx]b=0[/texx], por ejemplo para cualquier [texx]a\ge 2[/texx] podemos tomar [texx]b=(\sqrt a-\sqrt 2)^2[/texx], entonces el par [texx]a,b[/texx] es una solución.
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