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Autor Tema: Demostrar que es de Equivalencia  (Leído 515 veces)
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« : 29/05/2019, 10:58:17 am »

Ando confundido, encontré este ejercicio de un libro ,pero no entiendo que es Máx.?. y no se como nisiquiera hacer la reflexiva que es la mas tonta.  :BangHead:. Me llamo la atención este y quisiera poder hacerlo
Quizás si me guían como comenzar la reflexiva , pueda interpretar bien esto, y hacer la simétrica y transitiva.


En NxN (N incluye al 0) se define la siguiente relación.

[texx](x,y)\sim{(x',y')\Leftrightarrow{Máx\{x,y\}}}[/texx][texx]=Máx\{x',y'\}[/texx]

1-Demostrar que [texx]\sim{}[/texx] es de Equivalencia
2-Hallar las clases de [texx]K_{(0,0)}[/texx],[texx]K_{(1,0)}[/texx]y[texx]K_{(2,0)}[/texx]Representarlas gráficamente. Determinar un conjunto de indices adecuado para representar todas las clases en NxN

Intento de la reflexiva:

[texx]Máx\{x,x\}=Máx\{x′,x′\}[/texx]     

Simétrica: [texx](x,y)\sim{(x',y')}\rightarrow{(x',y')\sim{(x,y)}}[/texx]

[texx]Máx\{x,y\}=Máx\{x′,y′\}[/texx][texx]\rightarrow{Máx\{y,x\}=Máx\{y′,x′\}}[/texx]



siento que esta todo mal, que vergüenza. Espero aprender este. Saludos me retiro a llorar al rincón. :enojado:
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« Respuesta #1 : 29/05/2019, 11:01:04 am »

La función Max retorna el mayor de los elementos de un conjunto dado (en este caso el mayor de las proyecciones de un par ordenado). También podrías encontrarte con la función Min, que retorna el mínimo...
Creo que es mejor ver las relaciones de equivalencia como una regla que permite fraccionar un conjunto en subconjuntos (cada uno llamado clase de equivalencia de cualquier elemento perteneciente al mismo). Además puedes ver que dos subconjuntos son disjuntos. Como ejemplo en el ejercicio puedes ver que  cada subconjunto representa un máximo diferente.

1) La reflexiva está mal, porque tienes que relacionar cada elemento(par ordenado) consigo mismo, no con otro diferente. Además un par cualesquiera es [texx](x,y)[/texx] no [texx](x,x)[/texx].

2) En la simetría lo que tienes que ver es que cuando relacionas dos elementos [texx](x,y)R(x',y')[/texx] e [texx](x',y')R(x,y)[/texx], obtienes en ambos casos la misma igualdad (puedes aplicar la simetría de la identidad en una de ellas para invertir el orden de los términos y así recalcar que son exactamente lo mismo).
En un conjunto [texx]\{x,y\}[/texx] no importa el orden de los elemento, solo los elementos pertenecientes así que sería igual a [texx]\{y,x\}[/texx]. Digo esto porque parece que tu inviertes los elementos como si pareciera parte de la  demostración y eso es indiferente.
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« Respuesta #2 : 29/05/2019, 12:00:29 pm »



osea , la refleja entonces seria:

[texx]Máx\{x,y\} =Máx\{x,y\}[/texx]   o estoy confundido.


que para cada número real x , x = x .


la simétrica te refieres que es:
[texx]Máx\{x,y\}=Máx\{x′,y′\}[/texx][texx]\rightarrow{Máx\{x′,y′\}=Máx\{x,y\}}[/texx]


si me equivoco, quizás con un ejemplo lo pueda visualizar mejor. perdón es que soy muy terco.  Parece que estoy estudiando solo matemáticas, pero en realidad , estoy estudiando muchas materias..y recién es mi primer año , todo este tema jamas lo vi es muy nuevo para mi.
Te agradezco !
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« Respuesta #3 : 29/05/2019, 12:38:22 pm »

No te preocupes, todo es un poco lioso hasta que se pilla el truco.

1) No debes confundir [texx]\{x,y\}[/texx] con [texx](x,y)[/texx]. En el primer caso tenemos un conjunto de dos elementos [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] y al ser un conjunto además da lo mismo como dije antes escribirlo [texx]\{y,x\}[/texx]. Ahora bien (x,y) es  otro concepto: De manera general si tienes dos conjuntos [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx], el par ordenado es un nuevo elemento que creamos tomando un elemento del primer conjunto, llamada primera proyección y otro elemento del segundo conjunto , llamado segunda proyección y que representamos (x,y), y al conjunto de todos los pares ordenados que podemos formar definen el conjunto producto cartesiano de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] y se  representa [texx]XxY[/texx].
Por ejemplo si [texx] X=\{1\}[/texx] e [texx]Y=\{a,b\}[/texx], nuestro nuevo conjunto de pares ordenados seria [texx]\{(1,a),(1,b)\}[/texx]. Nota por ejemplo que no existe el par ordenado [texx](a,1)[/texx], así puedes ver que (x,y) no es lo mismo que (y,x).
Ahora bien suele pasar a veces que los conjuntos [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx], sean idénticos, y el conjunto producto cartesiano se suele representar así [texx]X^2[/texx], en vez de [texx]XxX[/texx]. Por supuesto lo puedes generalizar para hacer productos cartesianos de más conjuntos.

2) Cuando haces relaciones, lo que relaciones son elementos de un conjunto consigo mismo. El problema especifica que la relación es en [texx]NxN[/texx], o si lo prefieres [texx]N^2[/texx], es decir, los elementos de ese conjunto son pares ordenados.  Ahora cuando representamos la relación de dos elementos podemos escribir [texx]xRy[/texx] pero teniendo en mente que uno de esos elementos es de la forma del conjunto en que establecemos la relación, es decir, [texx](x,y)[/texx]. Pero para desarrollarlo desde luego escribimos [texx](x,y)R(x',y')[/texx].

3) Por ultimo date cuanta que una relación es un subconjunto de producto cartesiano del conjunto que estas relacionando consigo mismo. es decir, en este caso el producto cartesiano de un conjunto que ya es un un producto cartesiano. Un poco lioso en palabras, pero si consideras el ejemplo anterior, imagínate que hacemos una relación en el conjunto [texx]\{(1,a),(1,b)\}[/texx]. El producto cartesiano de el con el mismo es el siguiente: [texx]\{((1,a),(1,b)),((1,a),(1,a)),((1,b),(1,b)),((1,b),(1,a)) \}[/texx]. Una relación es un subconjunto de ese conjunto, es decir cuando te dan una regla que combina dos elementos, al final puede resultar que están relacionados o no. Pues el conjunto de elementos relacionados, es un subconjunto de ese producto cartesiano.

4) Un ejemplo sobre esto de Max. Como tu sabes tus elementos son pares ordenados : [texx](0,0)[/texx],[texx](1,0)[/texx],[texx](2,0)[/texx],..etc. y en general cualquier combinación que se te ocurra [texx](x,y)[/texx] [texx]  x,y \in N[/texx]
Ahora veamos por ejemplo que quiere decir [texx](0,0)R(2,0)[/texx]. Si aplicamos la regla que los relaciona dice que si  [texx]Max(\{0\})=Max(\{2,0\})[/texx], estos están relacionados. en el término de la izquierda el máximo es [texx]0[/texx], y en el término de la derecha es [texx]2[/texx]; Por tanto no están relacionados.
Ahora por ejemplo veamos la simetría, si [texx](1,0) R(0,1)[/texx]. Lo cual es cierto porque [texx]Max\{0,1\}= Max\{0,1\}=1[/texx], entonces al relacionar  ([texx]0,1) R(1,0)[/texx], aplicando la regla sale lo mismo [texx]Max\{0,1\}= Max\{0,1\}=1[/texx]. Puede parecer una tontería, pero sólo es seguir la regla. y como dije antes a veces en vez de dar una regla simplemente podrían dar un conjunto, y la regla seria que si el par ordenado de dos elementos está en ese subconjunto, estarían relacionados y sino no lo estan.
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« Respuesta #4 : 29/05/2019, 08:17:22 pm »

Disculpa la demora, acabo de llegar a casa luego de un día muy largo!.

Gracias por las respuestas querido compañero!. Eres muy útil.

Me podrías verificar la transitiva?

Transitiva:

[texx](x,y)\sim{(x',y')}\wedge[/texx][texx](x',y')\sim{(x'',y'')}\rightarrow{(x,y)\sim{(x'',y'')}}[/texx]


La 2, que dice Hallar las clases de ... [texx]K_{(0,0)}[/texx],[texx]K_{(1,0)}[/texx]y[texx]K_{(2,0)}[/texx] entonces seria:

[texx]K_{(0,0)}=Max\{0,0\}=Max\{0,0\}=(0,0)[/texx]verdad?
[texx]K_{(1,0)}=Max\{1,0\}=Max\{1,0\}=(1,0),(1,1),(0,1)[/texx]
[texx]K_{(2,0)}=Max\{2,0\}=Max\{2,0\}=(2,0),(2,2),(2,1),(1,2)[/texx]

Voy bien? o me equivoque.

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« Respuesta #5 : 29/05/2019, 10:39:54 pm »

Bueno la transitiva está bien planteada pero falta demostrarla: Tienes que desarrollar la parte izquierda/derecha de la implicación. Ahora bien, lo que se obtenga de la parte izquierda, lo suponemos cierto, y vemos que con ese resultado, lo obtenido en la parte derecha debe ser cierto.

la segunda casi bien, pero nota que es un conjunto.

[texx]K_{(0,0)}= \{ (x,y) | x\in{}N \wedge y\in{}N \wedge Max(\{x,y\})=Max(\{0\})=0\}=\{(0,0)\}[/texx]

[texx]K_{(1,0)}= \{ (x,y) | x\in{}N \wedge y\in{}N \wedge Max(\{x,y\})=Max(\{1,0\})=1\}=\{(1,0),(1,1),(0,1)\}[/texx]

[texx]K_{(2.0)}= \{ (x,y) | x\in{}N \wedge y\in{}N \wedge Max(\{x,y\})=Max(\{2,0\})=2\}=\{(2,0),(2,1),(2,2),(0,2),(1,2)\}[/texx]
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« Respuesta #6 : 30/05/2019, 07:40:41 am »

Gracias , eres un genio,te agradezco!!

Ahora en unas horas probablemente cree un post nuevo , voy a intentar hacer otro ejercicio. Y por ahi si tengo dudas publico saludos.
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« Respuesta #7 : 30/05/2019, 07:48:49 am »

Ahora no puedo escribir mucho, pero falta la última parte del punto 2): Determinar un conjunto de indices adecuado para representar todas las clases en NxN. Es interesante..
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« Respuesta #8 : 30/05/2019, 07:29:03 pm »

Disculpa la demora,  hoy fue un día agotador,
Si esa ya la efectué hoy y se lo mostré , ya esta pronta! Muchas gracias, ahora voy a crear 1 o 2 post con unas dudas respecto a otros ejercicios.!, Saludos mi compañero.
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