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Autor Tema: Números Reales  (Leído 150 veces)
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juanc
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« : 22/05/2019, 01:58:50 am »

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea [texx]a>0 [/texx] existe [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx]
tal que [texx]1-\displaystyle\frac{1}{n}<a[/texx]
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manooooh
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« Respuesta #1 : 22/05/2019, 02:27:59 am »

Hola

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea [texx]a>0 [/texx] existe [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx]
tal que [texx]1-\displaystyle\frac{1}{n}<a[/texx]

¿Qué intentaste?

Dejemos fijo [texx]a[/texx]. Sabemos que [texx]n\neq0[/texx]. Luego

[texx]\displaystyle1-\frac{1}{n}<a\iff1-\frac{1}{n}-a<0\iff\frac{n-1-an}{n}<0,[/texx]

y por la regla de los signos,

[texx](n-1-an>0\wedge n<0)\vee(n-1-an<0\wedge n>0).[/texx]

La primera no tiene sentido pues afirma [texx]n<0[/texx], y [texx]n\in\Bbb N[/texx]. Entonces [texx]n-1-an=n(1-a)-1<0[/texx], de donde [texx]0<n<\frac{1}{1-a}[/texx], lo cual es claramente cierto.

Saludos
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feriva
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« Respuesta #2 : 22/05/2019, 04:39:43 am »

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea [texx]a>0 [/texx] existe [texx]n \in{\mathbb{N}}[/texx]
tal que [texx]1-\displaystyle\frac{1}{n}<a[/texx]

Puedes verlo también directamente; si n=1

[texx]1-{\displaystyle \frac{1}{1}=0}
 [/texx]

[texx]0<a
 [/texx]

Existe con n=1

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 22/05/2019, 04:54:04 am »

Hola

 Me resulta raro el enunciado, porque la solución es simplemente la que expone feriva, basta tomar...

Existe con n=1

 Lo que hace manooooh me parece una complicación innecesaria y además al final, no queda claro cuando dice:

La primera no tiene sentido pues afirma [texx]n<0[/texx], y [texx]n\in\Bbb N[/texx]. Entonces [texx]n-1-an=n(1-a)-1<0[/texx], de donde [texx]0<n<\frac{1}{1-a}[/texx], lo cual es claramente cierto.


 que se supone que es claramente cierto. Esa última desigualdad es cierta para [texx]n=1[/texx]; para otros valores de [texx]n[/texx] depende de [texx]a[/texx]. Pero que para [texx]n=1[/texx] se cumple la desigualdad lo sabíamos desde el principio.

Saludos.
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