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Autor Tema: Definir una transformación lineal con las siguientes condiciones  (Leído 44 veces)
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alucard
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« : 17/05/2019, 10:55:04 pm »

Hola me  pueden indicar si este ejercicio lo pienso bien

Sea g una transformación lineal tal que

[texx]g(x,y,z,w)=(x-y+w,-y+w,3x-4y+4w,2x-3y+3w)[/texx]

Definir, si es posible una transformación lineal [texx]h:R^4\to R^4[/texx] que cumpla simultaneamente

[texx]Nu(h)\cap{}Im(h)=Nu(g)\cap Im(g)[/texx]

[texx]h(0,0,1-1)=h(-1,1,10)[/texx] y la [texx]dim(Nu(h))=2[/texx]
 
No entiendo bien cuando me indican esa intersección , se me ocurre pensar que si

[texx]Nu(g)\cap Im(g)\to Nu(g)\subset{Im (g)}\Rightarrow{g(x,y,z,w)=(0,0,0,0)}[/texx] de donde obtengo

[texx]x=0\quad y=0\quad w=0\to Nu(g)\cap Im(g)=\left<{(0,0,z,0)}\right>[/texx]

¿Es correcto?, luego de

[texx]h(0,0,1-1)=h(-1,1,1,0)\to h(1,-1,0-1)=0_w[/texx]

de donde h quedaría definida como

[texx]h(-1,1,0,-1)=(0,0,0,0)\\h(0,0,1,0)=(0,0,0,0)\\h(1,0,0,0)=(-1,1,0-

1)\\h(0,0,0,1)=(0,0,1,0)[/texx]

siendo los dos últimos vectores de V, los que agrego para poder definir h

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Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso
Masacroso
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« Respuesta #1 : 18/05/2019, 02:53:16 am »

Yo lo que haría, antes de nada, es estudiar a [texx]g[/texx]: de su definición sabemos que los vectores del núcleo de [texx]g[/texx] tienen la forma [texx](0,a,b,a)[/texx] para [texx]a,b\in\Bbb R[/texx].

Ahora bien, la intersección de espacios vectoriales es un espacio vectorial por lo que hay que preguntarse, ¿hay algún vector del tipo [texx](0,a,b,a)[/texx] en la imagen de [texx]g[/texx]? Si fuese así entonces la ecuación [texx]x-y+w=0[/texx] debe cumplirse, y por tanto vectores de la forma [texx](0,-x,-x,-x)[/texx] están en la imagen de [texx]g[/texx], es decir que [texx]Nu(g)\cap Im(g)=\langle (0,1,1,1)\rangle[/texx].

Ahora de la información que nos dan de [texx]h[/texx] tenemos que [texx](1,-1,0,-1)\in Nu(h)[/texx], y como ese vector y [texx](0,1,1,1)[/texx] son linealmente independientes entonces tenemos que [texx]Nu(h)=\langle (0,1,1,1),(1,-1,0,-1)\rangle[/texx] y además [texx](0,1,1,1)\in Im(h)[/texx].

Para encontrar soluciones específicas bastaría con alargar la base del núcleo de [texx]h[/texx] hasta una base de [texx]R^4[/texx] tipo [texx]e_1,e_2,e_3,e_4[/texx], tal que [texx]h(c_1 e_3+c_2 e_4)=(0,1,1,1)[/texx] para algún par [texx]c_1,c_2\in\Bbb R[/texx], [texx]h e_1=he_2=0[/texx] (con [texx]e_1:=(0,1,1,1)[/texx] y [texx]e_2:=(1,-1,0,-1)[/texx]) y además [texx]h(r e_3+t e_4)= 0[/texx] si y solo si [texx]s=t=0[/texx] (es decir: [texx]h e_3[/texx] y [texx]he_4[/texx] linealmente independientes entre sí).
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