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Autor Tema: Efecto geométrico de una transformación lineal  (Leído 247 veces)
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alucard
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« : 23/05/2019, 07:38:07 pm »

Hola tengo el siguiente enunciado

Dada la matria [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}[/texx]

asociada a una transformación lineal en [texx]R^2[/texx] interprete geométricamente y grafique el efecto de la transformación a un cuadrado unitario . Sugerencia aplique un cambio de base conveniente

Entiendo que la matriz A es la matriz en base canónica , lo que no me queda claro es que si con los datos que brinda el enunciado es posible determinar lo que me pide El tema de la sugerencia, ¿puedo tomar cualquier base de [texx]R^2[/texx]? . Alguna sugerencia ,

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« Respuesta #1 : 23/05/2019, 08:03:45 pm »

Hola tengo el siguiente enunciado

Dada la matria [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{-2}&{1}\end{bmatrix}[/texx]

asociada a una transformación lineal en [texx]R^2[/texx] interprete geométricamente y grafique el efecto de la transformación a un cuadrado unitario . Sugerencia aplique un cambio de base conveniente

Entiendo que la matriz A es la matriz en base canónica , lo que no me queda claro es que si con los datos que brinda el enunciado es posible determinar lo que me pide El tema de la sugerencia, ¿puedo tomar cualquier base de [texx]R^2[/texx]? . Alguna sugerencia ,



Toma las puntos (0,0); (1,0); (1,1); (0,1) como lo vértices del cuadrado. Multiplícalos por la matriz y te los transforma en otros; si lo dibujas uniendo los transformados verás que es el cuadrado visto en perspectiva y agrandado, en forma como de rombo.

Saludos.
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alucard
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« Respuesta #2 : 23/05/2019, 08:56:00 pm »

Solo eso ? se me ocurrió pero me parece muy sencillo si es eso  , me despista el tema de la sugerencia  , que bases hay que tomar para que solo sea esa cuenta  ? ¿las canónicas?

Para el dibujo tomas el origen como referencia? o los vértices del cuadrado ?
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« Respuesta #3 : 23/05/2019, 11:09:34 pm »

Solo eso ? se me ocurrió pero me parece muy sencillo si es eso  , me despista el tema de la sugerencia  , que bases hay que tomar para que solo sea esa cuenta  ? ¿las canónicas?

Para el dibujo tomas el origen como referencia? o los vértices del cuadrado ?

Sí, tomo el origen por comodidad. Y como es (0,0) las coordenadas de los puntos también son coordenadas de vectores, te vale igual una cosa que otra.

Saludos.
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alucard
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« Respuesta #4 : 23/05/2019, 11:25:53 pm »



Sí, tomo el origen por comodidad. Y como es (0,0) las coordenadas de los puntos también son coordenadas de vectores, te vale igual una cosa que otra.

Saludos.

Pensé que tenias que tomar las imágenes de los transformados "parado" sobre los vértices del cuadrado 
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« Respuesta #5 : 24/05/2019, 12:03:54 am »



Pensé que tenias que tomar las imágenes de los transformados "parado" sobre los vértices del cuadrado 

No sé, si te dan la matriz de la transformación, yo entiendo que se refiere a eso cuando dice un cambio de base conveniente; que sea una cosa sencilla de operar y de graficar

Si quieres, para que no quede soso, añade la otra matriz de cambio, para el otro lado.

[texx]\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\
-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\quad1\\
-2
\end{array}\right)
 [/texx]...

etc.

La he hecho a ojo hallando la inversa con los adjuntos, pero parece que transforma bien, no creo que me haya equivocado; pruébala de todas maneras.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 24/05/2019, 12:31:59 am »



No sé, si te dan la matriz de la transformación, yo entiendo que se refiere a eso cuando dice un cambio de base conveniente; que sea una cosa sencilla de operar y de graficar

Pero en el enunciado dice que A es la matriz de una transformación

Cita
Si quieres, para que no quede soso, añade la otra matriz de cambio, para el otro lado.

[texx]\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\
-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\quad1\\
-2
\end{array}\right)
 [/texx]...

etc.

La he hecho a ojo hallando la inversa con los adjuntos, pero parece que transforma bien, no creo que me haya equivocado; pruébala de todas maneras.

Saludos.

Para que hallaste esa matriz ?
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« Respuesta #7 : 24/05/2019, 03:32:09 am »

Hola

Cita
Si quieres, para que no quede soso, añade la otra matriz de cambio, para el otro lado.

[texx]\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\
-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\quad1\\
-2
\end{array}\right)
 [/texx]...

etc.

La he hecho a ojo hallando la inversa con los adjuntos, pero parece que transforma bien, no creo que me haya equivocado; pruébala de todas maneras.

Saludos.

Para que hallaste esa matriz ?

Te lo está diciendo: "para que no quede soso"  :cara_de_queso:

En serio; para nada. No tiene ningún sentido calcular la inversa de [texx]A[/texx]. En principio una primera aproximación a lo que te piden es la que ha hecho feriva al principio; simplemente calcular las imágenes de los vértices del cuadrado unidad y observar en que figura se transformó.

Ahora, se puede hilar un poquito más fino.

Si calculas los autovalores y autovectores de la matriz verás que son:

[texx]\lambda_1=3[/texx] con autovector [texx]u_1=(-1,1)[/texx]
[texx]\lambda_2=-1[/texx] con autovector [texx]u_2=(1,1)[/texx]

Eso quieres decir que en la base [texx]B=\{u_1,u_2\}[/texx] (que es ortogonal) la matriz asociada es:

[texx]\begin{pmatrix}{3}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix}[/texx]

Eso quiere decir que la transformación es una simetría respecto al eje generado por [texx]u_1[/texx] compuesta con una dilatación de razón [texx]\lambda_1=3[/texx] en la dirección de [texx]u_1[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #8 : 24/05/2019, 11:49:05 am »

Hola

Cita
Si quieres, para que no quede soso, añade la otra matriz de cambio, para el otro lado.

[texx]\left(\begin{array}{c}
1\\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3}\\
-\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\quad1\\
-2
\end{array}\right)
 [/texx]...

etc.

La he hecho a ojo hallando la inversa con los adjuntos, pero parece que transforma bien, no creo que me haya equivocado; pruébala de todas maneras.

Saludos.

Para que hallaste esa matriz ?

Te lo está diciendo: "para que no quede soso"  :cara_de_queso:

Es que no entendí que era esa palabra  :cara_de_queso:, pensé que era un error de tipeo , después de tu posteo la busque en internet

Diccionario de la lengua española © 2005 Espasa-Calpe:
soso, sa
adj. Que no tiene sal o tiene poca:
el guiso ha quedado soso.
[Persona, acción o palabra] que carecen de gracia y viveza:
no baila porque es muy sosa. También s.
 
jeje

Cita
En serio; para nada. No tiene ningún sentido calcular la inversa de [texx]A[/texx]. En principio una primera aproximación a lo que te piden es la que ha hecho feriva al principio; simplemente calcular las imágenes de los vértices del cuadrado unidad y observar en que figura se transformó.

Ahora, se puede hilar un poquito más fino.

Si calculas los autovalores y autovectores de la matriz verás que son:

[texx]\lambda_1=3[/texx] con autovector [texx]u_1=(-1,1)[/texx]
[texx]\lambda_2=-1[/texx] con autovector [texx]u_2=(1,1)[/texx]

Eso quieres decir que en la base [texx]B=\{u_1,u_2\}[/texx] (que es ortogonal) la matriz asociada es:

[texx]\begin{pmatrix}{3}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix}[/texx]

No lo había pensado de esa manera , por lo que me había comentado feriva , para hacer eso que el sugiere , entendí que debía tomar la base canónica en la transformación y de ese modo dibuje el nuevo "cuadrado" tomando como referencia el origen. ¿eso es correcto? o ¿debía tomar como referencia los vértices anteriores y a partir de esos puntos de referencia dibujar el cuadrado? no sé si me explico


Cita
Eso quiere decir que la transformación es una simetría respecto al eje generado por [texx]u_1[/texx] compuesta con una dilatación de razón [texx]\lambda_1=3[/texx] en la dirección de [texx]u_1[/texx].

Saludos.

A ver ... esta parte me perdí cuando decis (dilatación de razón) te referís a que las distancias entre vértices del nuevo cuadrado serán 3 unidades mas?
 
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« Respuesta #9 : 24/05/2019, 01:06:38 pm »

Hola

No lo había pensado de esa manera , por lo que me había comentado feriva , para hacer eso que el sugiere , entendí que debía tomar la base canónica en la transformación y de ese modo dibuje el nuevo "cuadrado" tomando como referencia el origen. ¿eso es correcto? o ¿debía tomar como referencia los vértices anteriores y a partir de esos puntos de referencia dibujar el cuadrado? no sé si me explico

No se si te entiendo.

Insisto en que lo que propone feriva simplemente es observar como se transforma el cuadrado de vértices [texx](0,0),(1,0),(1,1),(0,1)[/texx]. Para ello basta multiplicar cada coordenada por la matriz.

En este dibujo tienes el cuadrado original y como queda deformado por la trasnformación:



Cita
A ver ... esta parte me perdí cuando decis (dilatación de razón) te referís a que las distancias entre vértices del nuevo cuadrado serán 3 unidades mas?

Si no te suena nada de esto, quizá en el ejercicio no te piden hilar tan fino.

Una dilatación en una dirección [texx]\vec u[/texx] de razón [texx]k[/texx] es una transformación que, todos los vectores paralelos a la dirección [texx]\vec u[/texx] los multiplica por [texx]k[/texx].

En nuestro caso si te fijas en el dibujo verás que el vector que une [texx]BD[/texx] originalmente es paralelo a [texx]u_1[/texx] y queda triplicado al transformarse en el rombo.

Saludos.

* linealgeo.png (56.84 KB - descargado 50 veces.)
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« Respuesta #10 : 24/05/2019, 01:38:44 pm »

Si si lo veo , pero no me queda muy claro aún para que el enunciado me pide que considere una base adecuada, o sea entiendo el tema de autovalores y autovectores , pero no entiendo bien como se relaciona en el dibujo esa nueva base que hallaste con los vértices del cuadrado.

Creo que está mal como lo pensé o sea tomar la base canónica para el gráfico,  y la forma correcta sería como vos lo haces

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« Respuesta #11 : 24/05/2019, 01:55:56 pm »

Hola

Si si lo veo , pero no me queda muy claro aún para que el enunciado me pide que considere una base adecuada, o sea entiendo el tema de autovalores y autovectores , pero no entiendo bien como se relaciona en el dibujo esa nueva base que hallaste con los vértices del cuadrado.

Creo que está mal como lo pensé o sea tomar la base canónica para el gráfico,  y la forma correcta sería como vos lo haces

Si lo que buscas es "que es lo que quiere el profesor que responda"... pregúntale a él.

Interpretar geométricamente es una pregunta un tanto amplia; a no ser que del contexto de lo que estás estudiando en la asignatura se deduzca claramente cuan precisa y técnica tiene que la descripción.

Desde luego el ejercicio pide hallar la imagen del cuadrado unidad; así que eso hay que hacerlo.

En cuanto a mi interpretación y su relación con el cuadrado unidad. Haz lo siguiente:

1) Toma el cuadrado y aplícale la simetría respecto al subespacio vectorial generado por el vector [texx]u_1=(-1,1) [/texx].

2) Después triplica la distancia (dilata) los vértices que se encuentren enfrentados por un vector paralelo a [texx]u_1[/texx].

Obtendrás el rombo que se obtiene en el dibujo.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 24/05/2019, 07:48:27 pm »

muchas gracias
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