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Autor Tema: Misterios del entendimiento  (Leído 747 veces)
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« : 15/05/2019, 14:33:05 »

Quería comentar una cosa que ya me ha pasado bastantes veces al estudiar algo de matemáticas, a ver si a alguien más le ha pasado algo parecido.

Digamos que tengo curiosidad por algún tema o rama de las matemáticas, entonces busco algún libro (o libros) sobre el tema, veo por encima y selecciono el que me parece más adecuado. A veces el tema elegido, y la bibliografía consultada, me parecen difíciles de digerir, ya sea porque hay muchos conceptos nuevos, demasiados teoremas a recordar, una exposición no demasiado motivada, demostraciones enfarragosas o demasiado ad hoc, etc., lo que sea. Entonces al poco me puedo cansar o aburrir y abandono ese estudio.

Y hete aquí el misterio que quería comentar: pasan algunos meses, a veces años, sin contacto alguno con esa temática y, por H o por B vuelvo a tener interés en lo mismo. Vuelvo a mirar la bibliografía sobre ese tema y... ¡sorpresa! Lo que antes me parecía difícil de digerir ahora aparece ante mis ojos como claro y cristalino casi como el agua, una diferencia más que notable de entendimiento.

Me volvió a ocurrir ayer: tenía curiosidad (de nuevo) por tener unas ideas elementales de teoría de categorías, un tema que ya había mirado unos meses atrás pero había dejado por aburrimiento y porque no le veía sentido o era demasiado abstracto. Pues bueno: me pongo ayer a leer y... ¡sorpresa! Ahora lo veo todo claro como el agua (me refiero a que entiendo y retengo con claridad lo que leo), lo que hace unos meses era una abstracción casi absurda ahora me parece algo casi necesario y además totalmente comprensible.

Me pregunto, ¿qué ha cambiado de ahora a antes? No ha sido precisamente el conocimiento general de matemáticas lo que ha cambiado (aunque sí algo) sino más bien la perspectiva sobre el objeto de estudio, el enfoque... Antes recuerdo que dificultaba mi comprensión el hablar de "objetos" así a secas, sin definir muy bien lo que son... ahora mi perspectiva es diferente y no veo necesario concretar lo que es un "objeto", es decir, asimilé la definición de categoría al volverla a leer (la había olvidado desde la última vez).

Sospecho que me ocurriría lo mismo si volviese a estudiar cosas ahora que hasta hace un tiempo me parecían difíciles de asimilar.

Es decir, he llegado a la conclusión de que es fundamental conocer el sentido de lo que se lee, es decir, hacia dónde apunta o porqué existe tal teoría. No es que antes no supiera esto sino que me sorprende mucho el hecho de la enorme diferencia de entendimiento que puede provocar el tener una perspectiva diferente, cosa que en otros ámbitos de la vida no se percibe con tanta claridad. Es que no es sólo "entendimiento" sino asimilación y retención, no se trata sólo de entender los objetos de estudio sino de tener como un contexto y, no sólo un contexto, un entendimiento o intuición de su necesidad y utilidad. Es difícil de transcribir en palabras.

¿A alguien le ha pasado algo semejante? Comenten.



Una manera sintética de exponerlo, al menos a cierto nivel subjetivo: antes la teoría de categorías me parecía interesante pero, por su complejidad, nivel de abstracción u otras razones, terminaba aburriéndome. Ahora, ya sea por un cambio de enfoque u otra cosa, me parece muy excitante y divertido.

Hay un abismo de diferencia en que algo sea aburrido o sea muy divertido, aunque la dimensión aburrido/divertido parece ser más bien un síntoma que una causa.
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« Respuesta #1 : 15/05/2019, 19:43:16 »

A mí me ha pasado muchas veces.
A veces, aunque te interese a priori un tema, uno simplemente no está preparado, o no tiene el bagaje necesario o no tiene la motivación necesaria para apreciar la teoría. Muchas veces esto no tiene tanto que ver con la capacidad para entender el tema (es decir, entender las definiciones, los teoremas con su demostración, etc) sino con verle el "sentido".

La teoría de categorías es un ejemplo paradigmático. En realidad, mirándolo fríamente, la teoría de categorías básica es uno de los campos de las matemáticas más fáciles que hay, ya que los teoremas son tan generales que las demostraciones son esencialmente triviales, suelen ser un juego formal y solo hay una cosa sensata a hacer en cada momento. No hay muchas "ideas felices" ni argumentos técnicos y complicados.
Sin embargo, a mucha gente que empieza con ello le parece una rama oscura y complicada. El motivo es que esta gente normalmente no tiene el bagaje necesario para apreciar la enorme simplificación y unificación conceptual que la teoría de categorías representa.
Por ejemplo, cuando sabes algo de álgebra abstracta, de topología, de análisis... y has visto mil veces la definición de producto (de conjuntos, de grupos, de anillos, de espacios topológicos,...) aprecias muchísimo más la definición categorial de producto que si no conoces ninguno de estos ejemplos (o solamente uno o dos).
Igualmente, una vez has visto en distintos contextos ciertas construcciones, a veces sin ninguna conexión aparente entre ellas, y te das cuenta de que la teoría de categorías te da una manera unificada de entenderlas todas a la vez es cuando realmente aprecias la simplicidad y la generalidad de la teoría de categorías. No solo eso, sino que luego empiezas a ver ejemplos de construcciones categoriales en todas partes, lo cual ayuda mucho tanto a establecer conexiones como a organizar el conocimiento matemático en tu cabeza.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #2 : 07/06/2019, 12:28:43 »

Ayer me pasó algo parecido pero de menor magnitud. Hace meses había leído un tema dedicado a la transformada de Fourier pero, por H o por B, me resultaba difícil entender lo que realmente se decía, intenté entenderlo en profundidad un par de veces pero se me resistía.

Sin embargo ayer volví a leer el mismo tema y ya me pareció claro lo que se exponía allí.

La diferencia que noté fue, de nuevo, un cambio de perspectiva: ahora entendía lo que leía porque entendía, digámoslo así, la estructura del tema, el por qué se exponía algo de determinada manera. O digámoslo de otra manera: quizá esta vez al leerlo me fijé más en la estructura del tema más que en el contenido en sí, lo que me permitió penetrar en los detalles de la lectura y entenderlo todo: estructura y sentido de las demostraciones, sentido y motivo de los nuevos objetos definidos, notación, etc...

Es decir, veo que, al menos para mí, juega un papel fundamental en la comprensión matemática el ver "el bosque" y sus motivos más que "los árboles", es decir, los detalles concretos. A veces ya sea la notación, la aparición de nuevos objetos, la ausencia de contexto histórico o lo que sea dificulta ver el bosque. Creo que para mí es mucho más importante el bosque (sentido, historia, motivo y estructura) que los árboles (hechos concretos como definiciones, teoremas o demostraciones) para empezar a asimilar y comprender una teoría matemática o un tema determinado.
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« Respuesta #3 : 08/06/2019, 09:58:09 »

Las categorías, o la teoría "absurda" de cajas y flechas, es fácil de asimilar en su definición, ya que consta de tres regletas simplonas a aceptar, o, en sus aplicaciones, comprobar que se cumplen.

Lo mismo ocurre con la suma, que podemos aplicarla en distintos ambientes (sean naranjas, vectores independientes o desengaños amorosos, por separado o en rebullón), que solo necesitamos comprobar que son susceptibles de contar. A una misma realidad se le pueden encontrar muchas estructuras de un mismo tipo, es lo que tratan las ciencias, que, por ejemplo en mecánica, a todo lo que considere sistema le puedo aplicar la misma ecuación básica de la dinámica.

Así que podemos buscar ejemplos simplones desde el primer momento, o descubrir, que muchos resultados anteriores se pueden interpretar bajo el mismo prisma de las categorías, como un "cambio de variables", aprovechando las ventajas de las conclusiones de sistemas mas sencillos.

Una de las regletas de categorías puede ser, aplicada a viajes, que una excursión por un camino de [León a Valladolid] y otro de [Valladolid a Segovia], tiene uno particular asociado de [León a Segovia] que recibe el nombre del dicho itinerario brujuleante.

Nota El último viaje, de [León a Segovia], puede que no sea real o practicable, pero solo necesitamos que exista su nombre, como resumen del brujuleo por etapas previo, para ir "tirando" con el axioma primero de existencia de categorías.

Nota Para ver si es de interés en aplicaciones, partiendo de realidades concretas, puede ser que tanteemos asignar, a dicho viaje [León a Segovia], hasta un vuelo en helicóptero, autopistas, o mezclas alternativas de determinada forma, que, si por ejemplo se trata de transportar órganos, el tiempo es crítico.

En matemáticas se anotan muchas características de los viajes (costo, tiempo, confort, sitios visitados, etc), y no es extraño que ocurra que muchos viajes, bajo ciertos prismas de sus variables, den composiciones que cumplan con la estructura de las categorías, sin mas que abstraer (pasar de los) detalles, como pasamos en mecánica de los átomos que forman una simple masa.

Lo que retrae del estudio de categorías no es la complejidad de que parte, que es una estructura simplona mas, es el esfuerzo en las aplicaciones de pasar de la iteracción de los átomos de una patata a considerarla como una simple unidad con determinada masa, solo sumar decepciones amorosas cuando van en cadena (que te estancas).
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« Respuesta #4 : 08/06/2019, 16:01:37 »

Hola, a mí me a pasado varias veces, creo que durante la pausa, uno incrementa su conocimiento, cambia su visión de las cosas e inclusive si bien conscientemente uno dejo de estudiar el problema, subconscientemente se continúa analizando, estudiando y cuando se retoma el tema, uno sencillamente escribe la solución.

Saludos
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