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Autor Tema: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales  (Leído 2277 veces)
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DavidRG
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« Respuesta #60 : 20/05/2019, 02:02:14 pm »

Pues verás, en el segundo caso, la fuerza es efectivamente magnética, pero piensa que la fuerza aunque el campo magnético sea constante la fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el centro de la trayectoria, y por lo tanto es función del tiempo, pero también debe serlo de la posición. Entonces ¿cual de las dos es la buena? Pues podemos expresar dicha fuerza al gusto, como función de la posición de la partícula o como función del tiempo, es irrelevante porque el movimiento de la partícula relaciona ambas magnitudes.

En el primer caso y dado que el baúl se mueve la fuerza debería ser función de la posición, y también del tiempo ya que el baúl tiene una determinada trayectoria, pero resulta que en este caso la fuerza es constante. No depende ni del tiempo ni de la posición. Entonces si no depende de ninguna como se explica el asunto.

Lo que tienes que tener en cuenta es la magnitud respecto de la que quieres derivar y entonces sí, debes expresar la función expresada respecto del parámetro del que se deriva. Pero en cinemática la trayectoria siempre relaciona la posición y el tiempo, y por lo tanto todas las magnitudes siempre pueden verse como funciones del tiempo o de la posición indistintamente.

Salu2


Ya, pero el problema es que al verlo si consideraramos la aceleración como función de la posición, entonces de la integral no sale la fórmula de la energía cinética.

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} a(r(t)) r'(t) dt = v(b) - v(a) [/texx]

Por eso la aceleración no debe poder definirse en función del espacio. O al menos la aceleracion (o fuerza, son proporcionales) que recibe la partícula. Bueno, más que no poder definirse es que no estaríamos calculando el trabajo realizado por la partícula con esa integral, porque representa el espacio en vez de la trayectoria.

Este razonamiento es el que antes he preguntado si era correcto.
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ciberalfil
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« Respuesta #61 : 20/05/2019, 02:09:42 pm »

Pues claramente no, la aceleración es una magnitud que tiene la partícula en cada momento, cierto, pero también en cada punto ya que la trayectoria establece la correspondencia entre cada instante y cada punto.

Da igual como representes la integral, es decir:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} a(r(t)) r'(t) dt = \displaystyle\int_{a}^{b} a(t) r'(t) dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

y no como lo has escrito. Se puede representar sencillamente como:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot dr}=\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot v}dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

Es ahí donde tienes un error y grave. Por cierto hay que tener en cuenta que algunas magnitudes son vectores y debes representarlos como tales. La sencillez y la precisión a la hora de escribir las fórmulas te ayudarán a entender los problemas, esa forma que utilizas es muy farragosa y además es incorrecta. La aceleración, la velocidad y la posición siempre son vectores, y su producto en este caso es el producto escalar. ¡OJO! si no lo reflejas así cometerás errores de bulto.

Salu2
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DavidRG
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« Respuesta #62 : 21/05/2019, 07:12:31 am »

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} a(r(t)) r'(t) dt = \displaystyle\int_{a}^{b} a(t) r'(t) dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

¿Y como pasas de una integral a la otra?
Estarías diciendo que a(r(t)) = a(t)
Es decir r(t) = t


Se puede representar sencillamente como:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot dr}=\displaystyle\int_{a}^{b} \mathbf{a\cdot v}dt = \displaystyle\frac{1}{2}(v_b^2 - v_a^2)[/texx]

Es ahí donde tienes un error y grave. Por cierto hay que tener en cuenta que algunas magnitudes son vectores y debes representarlos como tales. La sencillez y la precisión a la hora de escribir las fórmulas te ayudarán a entender los problemas, esa forma que utilizas es muy farragosa y además es incorrecta. La aceleración, la velocidad y la posición siempre son vectores, y su producto en este caso es el producto escalar. ¡OJO! si no lo reflejas así cometerás errores de bulto.

Salu2

Vale, ¿pero en este caso al ser vectores proporcionales no se puede obviar ya que el ángulo es 0° y su coseno es 1?
Osea los vectores son [texx]\vec{r}(t)[/texx] y [texx]\vec{r''}(t) [/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #63 : 21/05/2019, 08:29:22 am »

Hola

¿Y como pasas de una integral a la otra?
Estarías diciendo que a(r(t)) = a(t)
Es decir r(t) = t

La cuestión es que en física y en "matemáticas ligeras" se suele usar un abuso de notación; se emplea el mismo nombre para la función que representa la aceleración independientemente de si está en función del tiempo o del espacio; eso no es riguroso 100% desde el punto de vista matemático.

Si [texx]\vec a(\vec x)[/texx] es la función que representa la aceleración respecto a su posición, entonces la que representa la función respecto del tiempo es [texx](\vec a\circ \vec r)(t)[/texx], que NO es la misma función.

Por otra parte recuerda que la derivada de la velocidad es la aceleración cuando ambas la primera es derivada respecto al tiempo.

Entonces si tienes la función [texx]\vec v(t)[/texx] velocidad y por otra parte [texx]\vec a(\vec x)[/texx] respecto a la posición no es cierto que:

[texx]\vec v'=\vec a[/texx]

sino:

[texx]\vec v'(t)=(\vec a\circ \vec r)'(t)[/texx]

En realidad desde el principio si escribes:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}\vec a\cdot d\vec r[/texx]

suele interpretarse directamente como:

[texx]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\vec a(t)\cdot \vec r'(t)dt[/texx]

Es decir ya se le llama [texx]\vec a[/texx] a la aceleración respecto del tiempo.

Saludos.
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« Respuesta #64 : 21/05/2019, 09:47:08 am »

Puede que no sea la misma función, pero es la misma magnitud, es decir la aceleración de la partícula, que es única, y los valores que toma en cada uno de los puntos de la trayectoria son idénticos, tanto si se representa en función de la posición o en función del tiempo.

En física se usan las magnitudes, no las funciones. El concepto de función será muy válido para las matemáticas, pero el concepto de magnitud física es tan riguroso como pueda serlo cualquier otro de las matemáticas. Decir que hay poco rigor en las expresiones que expuse es muy inexacto y claramente erróneo. Interpretar las magnitudes físicas como si fueran funciones matemáticas es un error de bulto. Nunca he visto tratar la aceleración o la velocidad de una partícula como si fueran funciones matemáticas, y hay una razón, y es que no son tal cosa, son magnitudes físicas.

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« Respuesta #65 : 21/05/2019, 10:23:01 am »

Hola

¿Y como pasas de una integral a la otra?
Estarías diciendo que a(r(t)) = a(t)
Es decir r(t) = t

La cuestión es que en física y en "matemáticas ligeras" se suele usar un abuso de notación; se emplea el mismo nombre para la función que representa la aceleración independientemente de si está en función del tiempo o del espacio; eso no es riguroso 100% desde el punto de vista matemático.

Si [texx]\vec a(\vec x)[/texx] es la función que representa la aceleración respecto a su posición, entonces la que representa la función respecto del tiempo es [texx](\vec a\circ \vec r)(t)[/texx], que NO es la misma función.

Por otra parte recuerda que la derivada de la velocidad es la aceleración cuando ambas la primera es derivada respecto al tiempo.

Entonces si tienes la función [texx]\vec v(t)[/texx] velocidad y por otra parte [texx]\vec a(\vec x)[/texx] respecto a la posición no es cierto que:

[texx]\vec v'=\vec a[/texx]

sino:

[texx]\vec v'(t)=(\vec a\circ \vec r)'(t)[/texx]

En realidad desde el principio si escribes:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{b}\vec a\cdot d\vec r[/texx]

suele interpretarse directamente como:

[texx]\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\vec a(t)\cdot \vec r'(t)dt[/texx]

Es decir ya se le llama [texx]\vec a[/texx] a la aceleración respecto del tiempo.

Saludos.


Vale, muchas gracias, duda resuelta. Eso era lo que pensaba que significaba, pero la notación de función es ambigua en este caso. Osea a(r(t)) y a(t) no son los misma función ya que por ejemplo a(1) en el primer caso expresaría la aceleración en la posición r=1 mientras que en el segundo caso expresaría la aceleración en el tiempo t=1, que no tienen por qué coincidir, pero se escribe con la misma letra porque ambos se refieren a la aceleración del mismo movimiento y eso es lo que me ha confundido.




En física se usan las magnitudes, no las funciones. El concepto de función será muy válido para las matemáticas, pero el concepto de magnitud física es tan riguroso como pueda serlo cualquier otro de las matemáticas. Decir que hay poco rigor en las expresiones que expuse es muy inexacto y claramente erróneo. Interpretar las magnitudes físicas como si fueran funciones matemáticas es un error de bulto. Nunca he visto tratar la aceleración o la velocidad de una partícula como si fueran funciones matemáticas, y hay una razón, y es que no son tal cosa, son magnitudes físicas.


Pues entonces el problema era que estaba interpretando a(r(t)) como una función en vez de como una magnitud.

En ese caso ya lo he entendido, gracias por la ayuda.
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« Respuesta #66 : 21/05/2019, 11:50:37 am »

Hola

En física se usan las magnitudes, no las funciones. El concepto de función será muy válido para las matemáticas, pero el concepto de magnitud física es tan riguroso como pueda serlo cualquier otro de las matemáticas.


Decir que hay poco rigor en las expresiones que expuse es muy inexacto y claramente erróneo.

No he pretendido necesariamente que se deduzca que hay poco rigor (estrictamente dije que no es 100% riguroso, dejo abierto un 99.99%  :cara_de_queso:); más bien quise dejar en claro que hay una abuso de notación. Los abusos del notación están a la orden del día en las escritura de matemáticas y normalmente aceleran, simplifican y hacen más cómoda la escritura de las cosas. No hay nada de malo. No hay una pérdida de rigor siempre que se tenga claro que significa cada cosa en cada momento.

Es claro que en este caso el matiz que indiqué causaba confusión a DavidRG.

Por otra lado en cuanto utilices las matemáticas para expresar y modelizar conceptos de la física, nos regimos por las reglas de las matemáticas. Pero insisto en que los abusos de notación están a la orden del día

Cita
Interpretar las magnitudes físicas como si fueran funciones matemáticas es un error de bulto. Nunca he visto tratar la aceleración o la velocidad de una partícula como si fueran funciones matemáticas, y hay una razón, y es que no son tal cosa, son magnitudes físicas.

No es que se interpreten las magnitudes físicas como funciones matemáticas, sino que se modelizan con funciones matemáticas; y, sí, lo ves constantemente en cualquier libro de física. Gracias a Dios así aprovechamos para la física la amplia teoría de funciones matemáticas. En todo caso cuando estas se están ampliando a la física proliferan una serie de notaciones y convenios, que no se usan tanto en el contexto de la matemática pura. Pero son notaciones. El fondo son matemáticas.

Saludos.

P.D. Y por cierto en algún momento se habló en este hilo de como se demostraban ciertas manipulaciones sin usar diferenciales; en realidad la pregunta es la contraria. Todas las manipulaciones que se han hecho en este hilo, se justifican con teoría básica de integración, el teorema de cambio de variable, y las definiciones de integral de línea. Para nada de eso hace falta usar diferenciales; si en algún momento aparece un [texx]dt[/texx] o [texx]dr[/texx] es pura notación, cuyo significado preciso se reduce a una cierta integral de Riemann. Esto lo ha ido mostrando geómetracat en detalle. Por otro lado se puede rehacer todo en el contexto más general de la teoría de formas diferenciales; pero esto requiere más "background".
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