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Autor Tema: Integral para la energía cinética sin usar diferenciales  (Leído 2278 veces)
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Masacroso
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« Respuesta #40 : 15/05/2019, 09:07:36 pm »

Ok, creo que ya lo entiendo... es como dice geómetracat. Al estar acostumbrado a verlo todo como funciones matemáticas no entendía la notación de la fuerza como sólo F, es simplemente la magnitud física, la cual se puede poner en función de muchas variables: tiempo, posición, velocidad, etc..., dependiendo del contexto.

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...

Es decir: la noción de "función matemática" se queda demasiado estrecha cuando un mismo fenómeno o magnitud se puede expresar en función de muchas variables diferentes y no necesariamente independientes.

Dicho de otro modo: quería ver la fuerza como una función matemática determinada, pero en verdad es una magnitud que se puede poner en función de.
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« Respuesta #41 : 16/05/2019, 04:33:04 am »

Ok, creo que ya lo entiendo... es como dice geómetracat. Al estar acostumbrado a verlo todo como funciones matemáticas no entendía la notación de la fuerza como sólo F, es simplemente la magnitud física, la cual se puede poner en función de muchas variables: tiempo, posición, velocidad, etc..., dependiendo del contexto.

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...

Es decir: la noción de "función matemática" se queda demasiado estrecha cuando un mismo fenómeno o magnitud se puede expresar en función de muchas variables diferentes y no necesariamente independientes.

Dicho de otro modo: quería ver la fuerza como una función matemática determinada, pero en verdad es una magnitud que se puede poner en función de.

Sí, es un “paquete” de variables y la masa, que en física de Newton nunca es variable. Es más visible sacar la masa fuera directamente y tratar la integral con la aceleración; puedes prescindir de la F directamente, se ve mucho mejor.

Pero aunque la aceleración sea constante (no frene unas veces y acelere otras) está ligada a la velocidad, porque es su función derivada, la cual, en una trayectoria curva, aun pudiendo ser constante en valor absoluto, cambia de dirección e incluso puede cambiar de signo.  Por eso a la hora de integrar, la aceleración no es en general una constante (ni aun siéndolo con el concepto físico) depende de los cambios en el movimiento (pese a que se represente con un vector que no cambia de dirección).

Digo esto porque si lo que se quiere es darle un sentido matemático riguroso, no basta con identificar funciones y demás, hay que justificar esa “inconsistencia” de que la aceleración sea constante pero no se puede tratar al integrar como una constante; ¿por qué la masa sí y la aceleración no? Si se habla de matemáticas hay que definir eso bien, en física puede ser perdonable que quede  medio a la intuición, en matemáticas tiene que quedar perfectamente claro qué es constante y que no, no puede haber la más mínima ambigüedad.

Es que, pénsandolo ahora, lo que ocurre es esto. Al vector aceleración (de una aceleración constante) no se le da un significado dinámico, simplemente quiere decir “esto siempre es el mismo número”. Sin embargo, aparte de esa faceta en cuanto al número, sí que tiene un significado dinámico aquí [texx]f=m\overset{\rightarrow}{a}
 [/texx], pues las fuerzas sí apuntan en distintas direcciones aunque sean constantes (y la masa no puede ser responsable de eso, porque no es un vector). Pero cuando la aceleración va aislada, sin la masa, esta flechita [texx]\overset{\rightarrow}{a}
 [/texx] no significa lo mismo, vectorialmente tiene un signifcado restringido, es una especie de mezcla entre vector y escalar.

Por lo que yo propondría dos tipos de flechitas (lo que encantará a un amigo del foro que yo me sé) distintas; dado que esta flecha, a la hora de integrar, [texx]m\int\overset{\rightarrow}{a}dr
 [/texx], tiene este signficado [texx]m\overset{\rightarrow}{a}
 [/texx], dinámico, y no el significado tradicional que tiene aquí [texx]\overset{\rightarrow}{a}
 [/texx].

Saludos.
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DavidRG
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« Respuesta #42 : 16/05/2019, 08:32:34 am »

No sé muy bien qué has hecho ahí.

Si te referías a la integración, lo que he hecho es expresar [texx]v(t) = r'(t) [/texx] y cuando he llegado al paso [texx]\displaystyle\int_{a}^{b} r'(t) \cdot{r''(t) } dt[/texx] he aplicado la regla de la cadena. Respecto a lo que me faltaba poner los vectores daba igual porque el ángulo era 0°. Por eso me salía bien la solución.

En fin, sabiendo que F= m r''(t), ya entiendo de domde sale la ecuación de la energía cinética.


La ecuación [texx]\vec{F} = m \vec{a}[/texx] se debe entender en un instante dado. Es decir, en un instante dado, la masa por la aceleración de la partícula es igual a la fuerza total que actúa sobre ella.
Pero la importancia de esta ecuación es que es una ecuación diferencial de segundo orden que te permite obtener la trayectoria de la partícula (su posición en función del tiempo). En efecto, la fuerza [texx]\vec{F}[/texx] en un instante dado dependerá en general de la posición del cuerpo y del tiempo. Así, tienes una función [texx]\vec{F}(\vec{x},t)[/texx] y la segunda ley de Newton se debe interpretar como
[texx]\vec{F}(\vec{r}(t),t) = m \vec{r}''(t)[/texx]
que es una ecuación diferencial de segundo orden para [texx]\vec{r}(t)[/texx].

Aun asi sigo sin entender porque no se puede definir la aceleración de forma que

[texx]a(r(t)) = r''(t) [/texx]

Osea si la fuerza depende de la posicion del cuerpo y el tiempo en un instante dado, ¿la aceleración que es proporcional también, no?

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...
Entonces [texx]a(r(t_A)) = a(t_A) = r''(t_A) [/texx]
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feriva
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« Respuesta #43 : 17/05/2019, 06:55:38 am »

lo que he hecho es expresar [texx]v(t) = r'(t) [/texx] y cuando he llegado al paso [texx]\displaystyle\int_{a}^{b} r'(t) \cdot{r''(t) } dt[/texx] he aplicado la regla de la cadena.

Hola, David.

Personalmente, no veo la necesidad de expresar la aceleración como la derivada segunda del desplazamiento respecto del tiempo, es lo mismo que la derivada primera de la velocidad y es suficiente para resolver la integral y justificarla matemáticamente de forma correcta.

En el momento que tienes esta función derivada [texx]\dfrac{dv}{dt}
 [/texx] la puedes escribir con “prima”, con paréntesis... pero no cambia la teoría, no por ello usas menos los diferenciales porque solamente es una forma de escribir lo mismo. Sigue siendo la función derivada la escribas como la escribas, la formalidad no está en los símbolos, sino en el significado.

A partir de ahí, en la integral te queda[texx]\dfrac{dv}{dt}dr
 [/texx]; te aparece automáticamente la función derivada del desplazamiento respecto del tiempo, porque tengas lo que tengas en el númerador el producto es conmutativo en este caso, pues “dr” en realidad es el módulo del vector, no hay varias coordenadas (lo importante es entender los detalles que justifican las cosas).

Entonces, nada se opone a escribir [texx]vdv
 [/texx]; y ya está, sólo hay que resolver la integral.

Donde he tendio en cuenta también que [texx]W_{i}
 [/texx], el trabajo infinitesimal, es una función que se compone del producto de una constante, “m,” por una función constante “a” (que no es lo mismo que una constante) y “dr”, por lo que se sobreentiende que he dejado “m” fuera del símbolo de integración directamente.

Y así queda perfectamente justificado y la escritura es más legible.

Saludos.
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ciberalfil
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« Respuesta #44 : 17/05/2019, 09:15:33 am »

Entonces Feriva como quedaría el desarrollo?
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« Respuesta #45 : 17/05/2019, 10:43:47 am »

Entonces Feriva como quedaría el desarrollo?
Como en el enlace que puse que también copié a mano en una respuesta anterior; si la idea no es mía, me hubiera gustado, pero es la que viene aquí y en algunos libros

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/energia/energia.htm

Saludos.
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« Respuesta #46 : 17/05/2019, 10:46:12 am »

¡Pero ese desarrollo usa diferenciales! La idea es como demostrar el teorema de las fuerzas vivas sin usar el concepto de diferencial.

[texx]dW=\vec Fd\vec r[/texx]     o bien     [texx]W=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec Fd\vec r=\Delta E_c[/texx]
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« Respuesta #47 : 17/05/2019, 11:05:46 am »

Hola

No se si soy yo el que no me estoy enterando, pero si estáis hablando de cómo solucionarlo sin el diferencial, ya o dijo geómetracat en este mensaje:


Sobre la derivación de la energía, tienes que:
[texx]\displaystyle W = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F}(\vec{r}(t),t) \cdot \vec{r}'(t)dt = \int_{t_0}^{t_1} m \vec{r}''(t) \cdot \vec{r}'(t) dt = m/2 \int_{t_0}^{t_1} (\vec{r}'(t) \cdot \vec{r}'(t))' dt =  m/2 \int_{t_0}^{t_1} (||\vec{r}'(t)||^2)' dt =   mv_1^2/2 - mv_0^2/2[/texx]
donde en la última expresión [texx]v_1 = ||\vec{r}'(t_1)||[/texx] es el módulo de la velocidad en el punto final, etc.
En la derivación he usado [texx](\vec{r}'(t) \cdot \vec{r}(t))' = 2 \vec{r}'(t) \cdot \vec{r}''(t)[/texx].


Ahora, lo que yo no entiendo es por qué  no se puede poner a(r(t)) = r''(t)
(Básicamente lo que dije aquí):


Aun asi sigo sin entender porque no se puede definir la aceleración de forma que

[texx]a(r(t)) = r''(t) [/texx]

Osea si la fuerza depende de la posicion del cuerpo y el tiempo en un instante dado, ¿la aceleración que es proporcional también, no?

En este caso [texx]F(r(t))=F(t)[/texx] cuando la posición viene parametrizada (depende) del tiempo. Es decir: va a ser la misma fuerza en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], de ahí todo lo demás. Y obviamente va a ser la misma aceleración en la posición [texx]r(t_0)[/texx] que en el tiempo [texx]t_0[/texx], etc...
Entonces [texx]a(r(t_A)) = a(t_A) = r''(t_A) [/texx]



En el momento que tienes esta función derivada [texx]\dfrac{dv}{dt}
 [/texx] la puedes escribir con “prima”, con paréntesis... pero no cambia la teoría, no por ello usas menos los diferenciales porque solamente es una forma de escribir lo mismo. Sigue siendo la función derivada la escribas como la escribas, la formalidad no está en los símbolos, sino en el significado.


Si te refieres a que r''(t) = v'(t) ya lo sabía. El problema es que r''(t) = a(t), y a está definida en función del tiempo, pero también se puede definir en función de la posición a(r(t)) y no se por qué esta segunda expresión es incorrecta.
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« Respuesta #48 : 17/05/2019, 12:10:19 pm »



Si te refieres a que r''(t) = v'(t) ya lo sabía. El problema es que r''(t) = a(t), y a está definida en función del tiempo, pero también se puede definir en función de la posición a(r(t)) y no se por qué esta segunda expresión es incorrecta.

Pues a mí me gusta más así r''(t) = a, porque “a” es el nombre de una unidad o magnitud física, como si se dice la longitud, “l” o peso “p”; aunque en este caso son unidades simples, pero ponle que hablamos de “v” si queires, en ese caso ya se sabe que es una función del espacio recorrido y del tiempo; ¿acaso existe una velocidad que no esté asociada al tiempo?. Me parece un poco redundante. No sé, lo importante es que se sepa a qué nos referimos, cada uno que lo escriba como quiera mientras quede claro el concepto y de qué se esté hablando.

...

En cuanto a los diferenciales es que quizá no llego a ver bien el matiz que se menciona; para mí es lo mismo [texx]f^{\prime}(x)
 [/texx] que [texx]\dfrac{d(f(x))}{d(x)}
 [/texx], pero escrito de otra forma. E insisto en una cosa que ya dije, esa escritura existe antes que los diferenciales, la inventa Leibniz junto a la idea de función, que también es un invento de él. La notación con “prima” es una grafía posterior; ¿qué tiene de especial?, ¿realmente quita dificultad o sólo la oculta bajo un símbolo que muchas veces no se interpreta y se aplica como una mera receta? A mí no me gustan las recetas, me gusta razonar qué cosas son los objetos que manejo.

Saludos.
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« Respuesta #49 : 17/05/2019, 12:24:06 pm »



Pues a mí me gusta más así r''(t) = a, porque “a” es el nombre de una unidad o magnitud física, como si se dice la longitud, “l” o peso “p”; aunque en este caso son unidades simples, pero ponle que hablamos de “v” si queires, en ese caso ya se sabe que es una función del espacio recorrido y del tiempo; ¿acaso existe una velocidad que no esté asociada al tiempo?. Me parece un poco redundante. No sé, lo importante es que se sepa a qué nos referimos, cada uno que lo escriba como quiera mientras quede claro el concepto y de qué se esté hablando.


Entonces a(r(t)) es una notación válida para la aceleración??
Si fuera así el problema está en un mensaje  que escribió Masacroso:


Todo eso lo suponía sí, desde el principio interpreté A y B como posiciones iniciales y finales de un recorrido cualquiera. Lo que no veo es que si [texx]F(r(t))=m a(r(t))[/texx] y [texx]a(r(t))=dv/dt[/texx] entonces si [texx]v=v(r(t))[/texx] (como parece ser) debe ser el caso de que [texx]a(r(t))=v'(r(t))v(t)=(v\circ r)'(t)[/texx], de ahí nos quedaría

[texx]\displaystyle\int_A^B F(r) dr=m\int_\alpha^\beta(v\circ r)'(t)v(t) dt=(v\circ r)(t) v(t)\big|_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta v(r(t))a(t) dt[/texx]

cosa que no parece tener mucho sentido. Creo que más bien debería ser simplemente [texx]a(r(t))=dv/dr=v'(r(t))[/texx], quedando entonces

[texx]\displaystyle\int_A^B F(r) dr=m\int_\alpha^\beta v'(r(t))r'(t) dt=m\int_\alpha^\beta (v\circ r)'(t) dt=v(r(t))\big|_\alpha^\beta=v(B)-v(A)[/texx]

cosa que tampoco parece ser correcta. Por tanto parece ser que se pasa de [texx]F(r(t))[/texx] a la expresión [texx]m a(t)[/texx], una cosa que tampoco parece tener mucho sentido. En fin, misterios de la física :lengua_afuera:

Es decir, al resolver la integral del trabajo no sale la misma fórmula para a(t) que para a(r(t))



En cuanto a los diferenciales es que quizá no llego a ver bien el matiz que se menciona; para mí es lo mismo [texx]f^{\prime}(x)
 [/texx] que [texx]\dfrac{d(f(x))}{d(x)}
 [/texx], pero escrito de otra forma. E insisto en una cosa que ya dije, esa escritura existe antes que los diferenciales, la inventa Leibniz junto a la idea de función, que también es un invento de él. La notación con “prima” es una grafía posterior; ¿qué tiene de especial?, ¿realmente quita dificultad o sólo la oculta bajo un símbolo que muchas veces no se interpreta y se aplica como una mera receta? A mí no me gustan las recetas, me gusta razonar qué cosas son los objetos que manejo.

Sí, aunque prefiero f'(x) porque es más corto y si se entiende bien la definición de derivada no hay problema. Además de que escribiendo la derivada con diferenciales aparecen más símbolos y tardo más en entender lo que se está haciendo (quizás por falta de costumbre a verla escrita así)
Pero en principio no tengo problemas con la notación diferencial, definiendo [texx]f'(x) = \frac{df(x)}{dx}[/texx]
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« Respuesta #50 : 17/05/2019, 12:27:24 pm »

Si escribes [texx]a(r(t))[/texx] das a entender que [texx]a[/texx] es una función definida en todo el espacio evaluada en el punto [texx]r(t)[/texx]. Pero en realidad, [texx]a[/texx] es una aplicación definida en un intervalo (su dominio es el tiempo, no el espacio).
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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« Respuesta #51 : 17/05/2019, 12:51:03 pm »


Entonces a(r(t)) es una notación válida para la aceleración??
Si fuera así el problema está en un mensaje  que escribió Masacroso:

Realmente no lo sé, si yo viera eso sin que me dijeran lo que es, sin saber de qué se está hablando... no sabría a qué se puede referir con seguridad; yo sé lo básico, que lo que hay en le paréntesis suele ser la variable independiente, como aquí f(x)=y, donde “y” es la función en la que aparece la variable independiente.
Como vea mucha cosa me lío, y en esos casos lo que hago es mirar de qué se está hablando para ver si me puedo enterar.

Cita
Sí, aunque prefiero f'(x) porque es más corto y si se entiende bien la definición de derivada no hay problema. Además de que escribiendo la derivada con diferenciales aparecen más símbolos y tardo más en entender lo que se está haciendo (quizás por falta de costumbre a verla escrita así)
Pero en principio no tengo problemas con la notación diferencial, definiendo [texx]f'(x) = \frac{df(x)}{dx}[/texx]

Eso sí, por economía al escribir sí. Pero si es en latex (esto es ya cosa mía) prefiero la fracción, si pongo el prima a mano tengo que escribir superíndice \prime (quizá se pueda hacer de forma más cómoda, yo no sé) y al final tardo más, porque a lo mejor voy deprisa y pongo “pirme” en vez de “prime”, y tengo que corregir... al final estoy más incómodo (en latex).

Saludos.
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« Respuesta #52 : 17/05/2019, 03:51:02 pm »

Vamos a ver, en física, las magnitudes toman valores independientemente de cual sea la expresión en la que se expresen, o sea, la fuerza es la fuerza, la aceleración es la aceleración, la velocidad es la velocidad y la trayectoria es la trayectoria. Su concepto es independiente de si se expresan en función de la posición, del tiempo o de otras magnitudes, el fenómeno se produce de forma objetiva y por lo tanto todas las magnitudes pueden expresarse en función del tiempo, de la posición o de cualquier otra posible.

El problema es otro según lo veo yo, si partimos de la definión del trabajo en forma diferencial:

[texx]dW=\vec F d\vec r  [/texx]

no será posible resolver el problema sin trabajar con diferenciales, ya que tales objetos se encuentran en la propia definición.

Y si partimos de la definición integral del trabajo:

[texx]W=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec F d\vec r[/texx]

entonces no puede resolverse el problema manipulando la expresión subintegral ya que dicha expresión también contiene diferenciales, hay que encontrar otra forma. Hasta ahora que yo haya visto nadie lo ha logrado en este hilo.

Salu2

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« Respuesta #53 : 18/05/2019, 11:05:27 am »


Eso sí, por economía al escribir sí. Pero si es en latex (esto es ya cosa mía) prefiero la fracción, si pongo el prima a mano tengo que escribir superíndice \prime (quizá se pueda hacer de forma más cómoda, yo no sé) y al final tardo más, porque a lo mejor voy deprisa y pongo “pirme” en vez de “prime”, y tengo que corregir... al final estoy más incómodo (en latex).

Mi teclado tiene comillas en la parte de los símbolos de puntuación ( ' ). Y si  escribo esa comilla en latex me sirve para poner la derivada. Con el comando \prime queda [texx]f\prime(x) [/texx] y con el símbolo de la comilla [texx]f'(x) [/texx]



Y si partimos de la definición integral del trabajo:

[texx]W=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec F d\vec r[/texx]

entonces no puede resolverse el problema manipulando la expresión subintegral ya que dicha expresión también contiene diferenciales, hay que encontrar otra forma. Hasta ahora que yo haya visto nadie lo ha logrado en este hilo.

Yo creo que las integrales de línea definen bien este caso particular. Y para su demostración no es necesario usar diferenciales así que creo que es una forma de resolver esta expresión sin usar diferenciales.

Si escribes [texx]a(r(t))[/texx] das a entender que [texx]a[/texx] es una función definida en todo el espacio evaluada en el punto [texx]r(t)[/texx]. Pero en realidad, [texx]a[/texx] es una aplicación definida en un intervalo (su dominio es el tiempo, no el espacio).

Creo que entiendo. Estaríamos diciendo que en todos los puntos del espacio hay una aceleración cuando es solo en los puntos de la trayectoria que define el tiempo.
Vale, entonces ¿por qué la fuerza sí que puede escribirse como F(r(t))? En principio la fuerza es proporcional a la aceleración, deberían estar evaluadas en la misma variable.
¿No sería [texx]F(t) = m \cdot{}r''(t)[/texx]?
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« Respuesta #54 : 18/05/2019, 02:27:08 pm »

Vamos a ver la fuerza es la que está actuando sobre la partícula, me da lo mismo si procede de la presencia de un campo potencial o es mi vecino quien la está empujando, la aceleración es la que sufre la partícula, la velocidad es la de la partícula y la posición es la de la partícula, en cada punto del espacio e instante donde la partícula se encuentra. Todas ellas pueden establecerse en cada instante y posición puesto que la partícula siempre esta en un punto del espacio y en cada instante. Pero siempre son las que afectan a la partícula.

Tienes un lío gordo en la cabeza, DavidRG.

Salu2
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« Respuesta #55 : 18/05/2019, 06:12:32 pm »


Y si partimos de la definición integral del trabajo:

[texx]W=\displaystyle\int_{a}^{b}\vec F d\vec r[/texx]

entonces no puede resolverse el problema manipulando la expresión subintegral ya que dicha expresión también contiene diferenciales, hay que encontrar otra forma. Hasta ahora que yo haya visto nadie lo ha logrado en este hilo.


Creo que él se refiere a no “deshacer” las derivadas que se manejan. Por ejemplo, lo que se hace al final del enlace que puse, [texx]\dfrac{dv}{dt}dr
 [/texx], hasta ahí todo vale; pero al conmutar [texx]\dfrac{dr}{dt}dv
 [/texx], aunque seguimos teniendo una derivada, no es la de antes, se ha cambiado un diferencial por otro, se ha deshecho la fracción. Y eso es lo que él quiere evitar a lo largo de toda las operaciones, sea esto o cualquier operación que no sea jugar en bloque con las derivas. O sea, es un “más difícil todavía”, puesto que restringe los recursos operativos. Su objetivo es operar sólo con números normales, no infinitesimales; y, como las derivadas lo son, pues si consigue no deshacerlas, las sumas, productos etc., serán sólo de números corrientes.

Yo esto lo vería interesante si pudiéramos hacer todas las operaciones sin más que recurrir al álgebra básica, sin nociones de cálculo de límites ni nada así; pero en cuanto se opera una derivada, ya se está resolviendo una indeterminación del tipo 0/0; y ahí están los infinitesimales, que son los números que tienden a cero y que se estudian antes de las derivadas y las integrales.

Saludos.
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« Respuesta #56 : 19/05/2019, 09:02:53 am »

Vamos a ver la fuerza es la que está actuando sobre la partícula, me da lo mismo si procede de la presencia de un campo potencial o es mi vecino quien la está empujando, la aceleración es la que sufre la partícula, la velocidad es la de la partícula y la posición es la de la partícula, en cada punto del espacio e instante donde la partícula se encuentra. Todas ellas pueden establecerse en cada instante y posición puesto que la partícula siempre esta en un punto del espacio y en cada instante. Pero siempre son las que afectan a la partícula.

Tienes un lío gordo en la cabeza, DavidRG.

Salu2

Pero eso depende del tipo de fuerza que se le aplique. Osea si la fuerza viene dada en función del tiempo, en un tiempo determinado, y tenemos también la posición en función del tiempo, en cada instante de tiempo la particula ocupará una posición y tendrá una aceleración. Por lo que se podría decir informalmente que solo tendrán aceleración los puntos del espacio por los que pasará la partícula.
Así es como lo entiendo yo ahora, pero para que fuera así la fuerza debería estar en función del tiempo y no en función de la posición, y de eso no estoy tan seguro...





Creo que él se refiere a no “deshacer” las derivadas que se manejan. Por ejemplo, lo que se hace al final del enlace que puse, [texx]\dfrac{dv}{dt}dr
 [/texx], hasta ahí todo vale; pero al conmutar [texx]\dfrac{dr}{dt}dv
 [/texx], aunque seguimos teniendo una derivada, no es la de antes, se ha cambiado un diferencial por otro, se ha deshecho la fracción. Y eso es lo que él quiere evitar a lo largo de toda las operaciones, sea esto o cualquier operación que no sea jugar en bloque con las derivas. O sea, es un “más difícil todavía”, puesto que restringe los recursos operativos. Su objetivo es operar sólo con números normales, no infinitesimales; y, como las derivadas lo son, pues si consigue no deshacerlas, las sumas, productos etc., serán sólo de números corrientes.

Sí, pero el momento en el que se cambia la variable a integrar no entiendo por qué no varía el resultado.

Cita

Yo esto lo vería interesante si pudiéramos hacer todas las operaciones sin más que recurrir al álgebra básica, sin nociones de cálculo de límites ni nada así; pero en cuanto se opera una derivada, ya se está resolviendo una indeterminación del tipo 0/0; y ahí están los infinitesimales, que son los números que tienden a cero y que se estudian antes de las derivadas y las integrales.
Insisto en que existen unas integrales llamadas integrales de línea con lo que se resuelve esto sin usar infinitesimales.
Por otra parte, al calcular el área bajo una curva se suman rectángulos cada vez más pequeños pero para definir este concepto no hace falta decir que tienen de base un infinitesimal y se pueden estudiar las derivadas con conceptos de límites y no de infinitesimales.


Por así decirlo, la única duda que tengo ahora es por qué la aceleración se mide en función del tiempo y la fuerza en función de la posición, en vez de medir las 2 en la misma variable.


AÑADIDO

Se me ha ocurrido que aunque la aceleración siempre venga dada en función del tiempo, la fuerza puede venir dada por la posición, es decir, estar definida para todos los puntos del espacio. Pero la fuerza que recibirá una partícula dependerá de los puntos del espacio que recorra y eso viene dado por su trayectoria, que está en función del tiempo, por lo que aunque tengamos una fuerza en función del espacio la que reciba una partícula estará en función del tiempo.
De esta forma la integral tendría sentido al igual que su resolución.

Aunque, por otro lado, esto ya es completamente física y no matemáticas.
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« Respuesta #57 : 19/05/2019, 10:11:13 am »

Ya te lo he explicado, y te he dicho también donde tienes el error.

¿Qué mas puedo hacer para que lo entiendas?

Vamos a ver, imagina que voy empujando un baúl arrastrándolo por el suelo de manera que éste se desplaza con velocidad constante. ¿La fuerza que yo aplico es función de la posición o del tiempo?

O este otro caso, un elecrón es empujado por una campo magnético de forma que éste describe una circunferencia con una velocidad constante. ¿La fuerza que actúa sobre el electrón es función del tiempo o de la posición?

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« Respuesta #58 : 19/05/2019, 03:20:27 pm »

Ya te lo he explicado, y te he dicho también donde tienes el error.

¿Qué mas puedo hacer para que lo entiendas?

Vamos a ver, imagina que voy empujando un baúl arrastrándolo por el suelo de manera que éste se desplaza con velocidad constante. ¿La fuerza que yo aplico es función de la posición o del tiempo?

O este otro caso, un elecrón es empujado por una campo magnético de forma que éste describe una circunferencia con una velocidad constante. ¿La fuerza que actúa sobre el electrón es función del tiempo o de la posición?




Pues como lo veo yo es que si la fuerza la aplicas tú es función del tiempo y si es un campo como el magnético dependerá de la posición,aunque también del tiempo ya que la posición de una particula depende del tiempo.
Aunque justo en el caso del campo magnético no hay trabajo ya que la fuerza es perpendicular al campo magnético.



AÑADIDO

Se me ha ocurrido que aunque la aceleración siempre venga dada en función del tiempo, la fuerza puede venir dada por la posición, es decir, estar definida para todos los puntos del espacio. Pero la fuerza que recibirá una partícula dependerá de los puntos del espacio que recorra y eso viene dado por su trayectoria, que está en función del tiempo, por lo que aunque tengamos una fuerza en función del espacio la que reciba una partícula estará en función del tiempo.
De esta forma la integral tendría sentido al igual que su resolución.

¿Esto que he dicho está bien o es una tontería?
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« Respuesta #59 : 19/05/2019, 04:04:40 pm »

Pues verás, en el segundo caso, la fuerza es efectivamente magnética, pero piensa que la fuerza aunque el campo magnético sea constante la fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el centro de la trayectoria, y por lo tanto es función del tiempo, pero también debe serlo de la posición. Entonces ¿cual de las dos es la buena? Pues podemos expresar dicha fuerza al gusto, como función de la posición de la partícula o como función del tiempo, es irrelevante porque el movimiento de la partícula relaciona ambas magnitudes.

En el primer caso y dado que el baúl se mueve la fuerza debería ser función de la posición, y también del tiempo ya que el baúl tiene una determinada trayectoria, pero resulta que en este caso la fuerza es constante. No depende ni del tiempo ni de la posición. Entonces si no depende de ninguna como se explica el asunto.

Lo que tienes que tener en cuenta es la magnitud respecto de la que quieres derivar y entonces sí, debes expresar la función expresada respecto del parámetro del que se deriva. Pero en cinemática la trayectoria siempre relaciona la posición y el tiempo, y por lo tanto todas las magnitudes siempre pueden verse como funciones del tiempo o de la posición indistintamente.

Salu2
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