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Autor Tema: Problema espacios normados  (Leído 446 veces)
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Eparoh
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« : 11 Mayo, 2019, 09:52 »

Hola a todos, estoy intentando resolver el siguiente problema:

Sea [texx]X[/texx] un espacio normado, [texx]f \in S_{X^*}[/texx] y [texx]x \in X[/texx]. Probar que [texx]d\left( x, f^{-1}(0) \right)=\left |{f(x)}\right |[/texx]

He visto que dado [texx]y \in f^{-1}(0)[/texx]

[texx]\left |{f(x)}\right |=\left |{f(x)-f(y)}\right |=\left |{f(x-y)}\right | \leq  \left\|{f}\right\|  \left\|{x-y}\right\|= \left\|{x-y}\right\|[/texx]

Por tanto, queda demostrado que [texx]\left |{f(x)}\right | \leq d\left( x, f^{-1}(0) \right)[/texx].
Sin embargo, no consigo ver la igualdad y se que se me está escapando algo muy sencillo  :avergonzado:
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 19 Mayo, 2019, 11:36 »

Hola

 ¿Qué es [texx]S_{X^*}[/texx]?.

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 19 Mayo, 2019, 14:17 »

Hola.

Hola

 ¿Qué es [texx]S_{X^*}[/texx]?.

Saludos.

[texx]S_{X^*}[/texx] denota la esfera unidad en el dual de [texx]X[/texx].
Creo que encontré una solución a lo planteado, la dejo por aquí a ver que les parece.

Como [texx] \left\|{f}\right\|=\displaystyle\sup_{x \in S_X}{\left |{f(x)}\right |}[/texx], tenemos que para cada [texx]n \in \mathbb{N}[/texx] existe [texx]x_n \in S_X[/texx] tal que
[texx] \left\|{f}\right\| - \dfrac{1}{n} \leq \left |{f(x_n)}\right | \leq  \left\|{f}\right\| \leq  \left\|{f}\right\| + \dfrac{1}{n}[/texx]
Por tanto, la sucesión [texx]\left |{f(x_n)}\right |[/texx] converge a [texx] \left\|{f}\right\|=1[/texx] y así, [texx]\frac{1}{\left |{f(x_n)}\right |}[/texx] converge también a [texx]1[/texx], por lo que dado [texx]\varepsilon > 0[/texx], existe cierto [texx]n_0 \in \mathbb{N}[/texx] tal que
[texx]\dfrac{1}{\left |{f(x_{n_0})}\right |}<1+\dfrac{\varepsilon}{\left |{f(x)}\right |}[/texx]
(Considerando que [texx]x[/texx] no está en el núcleo de [texx]f[/texx] porque si no el problema es trivial)

Con todo, observemos también que [texx]x-\frac{f(x)}{f(x_{n_0})}x_{n_0}[/texx] pertenece al núcleo de [texx]f[/texx] y así

[texx]d\left( x,f^{-1}(0) \right) \leq  \left\|{x - \left( x-\dfrac{f(x)}{f(x_{n_0})}x_{n_0} \right)}\right\|=\dfrac{\left |{f(x)}\right |}{\left |{f(x_{n_0})}\right |} \left\|{x_{n_0}}\right\|=\dfrac{\left |{f(x)}\right |}{\left |{f(x_{n_0})}\right |} \leq \left |{f(x)}\right | + \varepsilon[/texx]

Por tanto,

[texx]\left |{d\left( x,f^{-1}(0) \right) - \left |{f(x)}\right |}\right | =d\left( x,f^{-1}(0) \right) - \left |{f(x)}\right | \leq \varepsilon  [/texx]

y puesto que [texx]\varepsilon[/texx] es arbitrario, concluimos que se da la igualdad deseada.
 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 20 Mayo, 2019, 06:09 »

Hola

[texx]S_{X^*}[/texx] denota la esfera unidad en el dual de [texx]X[/texx].
Creo que encontré una solución a lo planteado, la dejo por aquí a ver que les parece.

Como [texx] \left\|{f}\right\|=\displaystyle\sup_{x \in S_X}{\left |{f(x)}\right |}[/texx], tenemos que para cada [texx]n \in \mathbb{N}[/texx] existe [texx]x_n \in S_X[/texx] tal que
[texx] \left\|{f}\right\| - \dfrac{1}{n} \leq \left |{f(x_n)}\right | \leq  \left\|{f}\right\| \leq  \left\|{f}\right\| + \dfrac{1}{n}[/texx]
Por tanto, la sucesión [texx]\left |{f(x_n)}\right |[/texx] converge a [texx] \left\|{f}\right\|=1[/texx] y así, [texx]\frac{1}{\left |{f(x_n)}\right |}[/texx] converge también a [texx]1[/texx], por lo que dado [texx]\varepsilon > 0[/texx], existe cierto [texx]n_0 \in \mathbb{N}[/texx] tal que
[texx]\dfrac{1}{\left |{f(x_{n_0})}\right |}<1+\dfrac{\varepsilon}{\left |{f(x)}\right |}[/texx]
(Considerando que [texx]x[/texx] no está en el núcleo de [texx]f[/texx] porque si no el problema es trivial)

Con todo, observemos también que [texx]x-\frac{f(x)}{f(x_{n_0})}x_{n_0}[/texx] pertenece al núcleo de [texx]f[/texx] y así

[texx]d\left( x,f^{-1}(0) \right) \leq  \left\|{x - \left( x-\dfrac{f(x)}{f(x_{n_0})}x_{n_0} \right)}\right\|=\dfrac{\left |{f(x)}\right |}{\left |{f(x_{n_0})}\right |} \left\|{x_{n_0}}\right\|=\dfrac{\left |{f(x)}\right |}{\left |{f(x_{n_0})}\right |} \leq \left |{f(x)}\right | + \varepsilon[/texx]

Por tanto,

[texx]\left |{d\left( x,f^{-1}(0) \right) - \left |{f(x)}\right |}\right | =d\left( x,f^{-1}(0) \right) - \left |{f(x)}\right | \leq \varepsilon  [/texx]

y puesto que [texx]\varepsilon[/texx] es arbitrario, concluimos que se da la igualdad deseada.

Creo que está bien; entiendo que por esfera unidad te refieres a los elementos de norma exactamente uno (no menor o igual que uno).

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #4 : 26 Mayo, 2019, 16:08 »

Hola, gracias por echarle un vistazo.

Creo que está bien; entiendo que por esfera unidad te refieres a los elementos de norma exactamente uno (no menor o igual que uno).

Si, me refiero a los elementos de norma exactamente uno. Creía que era notación estandar el que dado un espacio normado [texx]X[/texx] se representara

[texx]B_X=\{x \in X:  \left\|{x}\right\| \leq 1\}[/texx]
[texx]S_X=\{x \in X:  \left\|{x}\right\|=1\}[/texx]

pero veo que no  :cara_de_queso:

Un saludo y de nuevo, gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 27 Mayo, 2019, 06:19 »

Hola

Si, me refiero a los elementos de norma exactamente uno. Creía que era notación estandar el que dado un espacio normado [texx]X[/texx] se representara

[texx]B_X=\{x \in X:  \left\|{x}\right\| \leq 1\}[/texx]
[texx]S_X=\{x \in X:  \left\|{x}\right\|=1\}[/texx]

pero veo que no  :cara_de_queso:

No, no. Que yo no la recuerde no quiere decir que no sea estandar.  :cara_de_queso:

Tienes razón.

Saludos.
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