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Autor Tema: Demostrar Conjuntos , V o F.  (Leído 357 veces)
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AveFenix
Ya quisiera tener uno
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« : 06/05/2019, 08:59:23 pm »

Buenas noches, días, tardes.  :risa:
Voy a poner a continuación uno que siendo honestos quiero Verificar con ustedes si esta correcto,
! me siento re sad cuando me pasa eso. Gracias!.

La que hice fue la siguiente:

a-   [texx]\forall{A},\forall{B}y\forall{C}[/texx]tal que[texx]A\subseteq{B}\wedge[/texx][texx]B\subseteq{C}[/texx]Se cumple[texx](A\cap{A\cup{B´_C)}}[/texx][texx]\cap{(A´_C}\cup{B)}[/texx][texx]=A\cap{B}[/texx]

Bueno primero deducir que
[texx]B'_C[/texx][texx]=C-B[/texx]
[texx]A'_C[/texx][texx]=C-A[/texx]

Por ende:
[texx]A\cap{(A\cup{(C-B)\cap{((C-A)\cup{B)}}}}[/texx][texx]=A\cap{(A\cup{(C\cap{B^c)}}}[/texx][texx]\cap{((C\cap{A^C)\cup{B)}}}[/texx]
[texx]=(A\cap{A)\cup{[(A\cap{(C\cap{B^C)]\cap{[(C\cap{A^C)\cup{B]=A\cap{[(C\cap{A^C)\cup{B]}}}}}}}}}}[/texx]
[texx]A\cap{[A^C\cup{B]}}[/texx][texx]=(A\cap{A^C}\cup{(A\cap{B)}}[/texx][texx]=A\cap{B}[/texx]

RPTA: Puse,Verdadero. Si se cumple

Y mi pregunta a otro seria
[texx]P(A)\subseteq{P(B)\rightarrow{A\subseteq{B}}}[/texx] :¿eh?:?

Muchas gracias como siempre
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Estudiar Matemáticas se volvió una pasión, que me duele la cabeza ^^.
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« Respuesta #1 : 07/05/2019, 01:38:48 am »

Hola

Deberías buscar por Internet estas preguntas, son bastante conocidas.

La que hice fue la siguiente:

a-   [texx]\forall{A},\forall{B}y\forall{C}[/texx]tal que[texx]A\subseteq{B}\wedge[/texx][texx]B\subseteq{C}[/texx]Se cumple[texx](A\cap{A\cup{B´_C)}}[/texx][texx]\cap{(A´_C}\cup{B)}[/texx][texx]=A\cap{B}[/texx]

Bueno primero deducir que
[texx]B'_C[/texx][texx]=C-B[/texx]
[texx]A'_C[/texx][texx]=C-A[/texx]

Por ende:
[texx]A\cap{(A\cup{(C-B)\cap{((C-A)\cup{B)}}}}[/texx][texx]=A\cap{(A\cup{(C\cap{B^c)}}}[/texx][texx]\cap{((C\cap{A^C)\cup{B)}}}[/texx]
[texx]=(A\cap{A)\cup{[(A\cap{(C\cap{B^C)]\cap{[(C\cap{A^C)\cup{B]=A\cap{[(C\cap{A^C)\cup{B]}}}}}}}}}}[/texx]
[texx]A\cap{[A^C\cup{B]}}[/texx][texx]=(A\cap{A^C}\cup{(A\cap{B)}}[/texx][texx]=A\cap{B}[/texx]

(...)

Pero no podés asegurar con total seguridad que la precedencia que estás aplicando es la correcta. Es ambiguo.

Por ejemplo, ¿pondrías las manos en el fuego que [texx]A-B\cap C=A-(B\cap C)[/texx]? ¿Y por qué no [texx](A-B)\cap C[/texx]?

Spoiler: Contraejemplo (click para mostrar u ocultar)

No podés siquiera empezar el ejercicio hasta que confirmes el orden de las operaciones, o sea hasta que el ejercicio deje de ser ambiguo.

Porque por un lado, si tomamos [texx]A\cap A\cup B'_C[/texx] como [texx](A\cap A)\cup B'_C[/texx] luego por la propiedad de ídem potencia, equivale a [texx]A\cup B'_C[/texx], pero si tomamos [texx]A\cap(A\cup B'_C)[/texx] luego, por propiedad de absorción, equivale a [texx]A[/texx]. Luego [texx]A\neq A\cup B'_C[/texx].

Y mi pregunta a otro sería
[texx]P(A)\subseteq{P(B)\rightarrow{A\subseteq{B}}}[/texx] :¿eh?:?

Hace unos meses se ha preguntado en este foro por el recíproco de la implicación, te dejo el enlace para que le eches un vistazo:

Pruebe \(\;\;\;A\subseteq B\rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\).

En especial te sugiero que te guíes por la respuesta #8 del usuario Carlos Ivorra que es muy acertada:

Es mucho más sencillo. Si quieres probar que [texx]\mathcal PA\subset \mathcal PB[/texx], lo primero que uno piensa es en tomar un [texx]x\in \mathcal PA[/texx] y demostrar que [texx]x\in \mathcal PB[/texx]. Y, en efecto, si [texx]x\in \mathcal PA[/texx], entonces [texx]x\subset A[/texx], y como [texx]A\subset B[/texx], resulta que [texx]x\subset B[/texx], luego [texx]x\in \mathcal PB[/texx], y ya está.

Intentá hacer la otra vuelta (que es la que te piden) y sino volvé a preguntar, mostrando tus intentos.

Saludos
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« Respuesta #2 : 07/05/2019, 05:09:03 am »

Buenas noches, días, tardes.  :risa:
Voy a poner a continuación uno que siendo honestos quiero Verificar con ustedes si esta correcto,
! me siento re sad cuando me pasa eso. Gracias!.

La que hice fue la siguiente:

a-   [texx]\forall{A},\forall{B}y\forall{C}[/texx]tal que[texx]A\subseteq{B}\wedge[/texx][texx]B\subseteq{C}[/texx]Se cumple[texx](A\cap{A\cup{B´_C)}}[/texx][texx]\cap{(A´_C}\cup{B)}[/texx][texx]=A\cap{B}[/texx]


Hola.

Yo sólo vengo a ver si interpreto bien el enunciado del problema, que la escritura no sé si la comprendo del todo.

Imagino que esa expresión que pongo en la cita es el enunciado.

Supongo que el “para todo” tiene sentido respecto de los elementos genéricos “x” de los conjuntos A,B,C (creo que no necesitas ponerlo, ya se entiende; y, si lo pone,s tiene que ser [texx]\forall x\in A...\, etc
 [/texx]).

Lo siguiente que escribes es

Dado [texx](A\subseteq B)\wedge(B\subseteq C)
 [/texx]

entonces [texx](A\cap A\cap B_{c}^{\prime})...
 [/texx] etc.,

donde supongo que quieres decir [texx]A\cap(A\cap B_{c}^{\prime})
 [/texx], porque si fuera [texx](A\cap A)\cap B_{c}^{\prime}
 [/texx] lo mismo nos daría escribir [texx]A\cap B_{c}^{\prime}
 [/texx], estaría de más.

Seguidamente, cuando dices “Bueno, primero deducir que [texx]B_{c}^{\prime}=C-B
 [/texx]...”, ¿de dónde se deduce eso? Supongo que has querido decir que se define, que es así porque lo dice el problema, no hay que deducir nada.

Luego supongo que el enunciado vendría a ser éste

Si [texx](A\subseteq B)\wedge(B\subseteq C)
 [/texx] entonces [texx]\left(A\cap(A\cap B_{c}^{\prime})\right)\cap\left(A_{c}^{\prime}\cup B\right)=A\cap B
 [/texx]

o sea, sutituyendo

Si [texx](A\subseteq B)\wedge(B\subseteq C)
 [/texx] entonces [texx]\left(A\cap(A\cap(C-B))\right)\cap\left((C-A)\cup B\right)=A\cap B
 [/texx]

También entiendo que (suponiendo que lo haya interpretado bien) esto [texx]A\cap(A\cap(C-B))
 [/texx] lo puedes simplificar directamente, puesto que la intersección de A con unos elementos que también se ven obligados a ser de A se va a quedar igual: [texx]A\cap(A\cap(C-B))=A\cap(C-B)
 [/texx].

Y así te queda una cosa que se visualiza menor.

Si [texx](A\subseteq B)\wedge(B\subseteq C)
 [/texx] entonces [texx]\left(A\cap(C-B)\right)\cap\left((C-A)\cup B\right)=A\cap B
 [/texx].

Saludos.
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