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Autor Tema: Prueba de Conjuntos  (Leído 562 veces)
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AveFenix
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« : 04/05/2019, 12:31:01 pm »

Aqui, abriendo otro tema mas, sobre mis estudios, recien acabo de hacer este ejercicio y poniendo lo que mas adelante voy a escribir.
La consigna dice lo siguiente:

-Sean A y B dos conjuntos y P(A) y P(B) el conjunto de partes de A y B respectivamente

Prueba que : i) [texx]P(A\cap{B)}[/texx]=[texx]P(A)\cap{P(B)}[/texx] .    ii) [texx]P(A)\cup{P(B)}\subset{P(A\cup{B)}}[/texx]

Investiga si iii)[texx]P(A\cup{B)}\subset{P(A)}\cup{P(B)}[/texx]. Justifica.


Rpta a la prueba:

La efectué de la siguiente manera ,

Si [texx]x\in{}{P(A\cap{B)}\rightarrow{}}[/texx][texx]x\subseteq{A\cap{B}}\rightarrow{x\subseteq{A}\wedge}x\subseteq{B}\rightarrow{x\in{}{P(A)\cap{P(B)}}}[/texx]  Esta se puede volver por los mismos pasos
ii) Parte 2:

[texx]Si X\in{P(A)\cup{P(B)}\rightarrow{x\in{P(A)\vee}x\in{P(A\cup{B)}}}}[/texx]



iii)Investiga Rpta
Es falso, ya que las [texx]P(A\cup{B)}[/texx] es mas grande que las [texx]P(A)\cup{P(B)}[/texx]
Ejemplo
A=(1, 2,3 )
B=(4,5,6 )
P(A)= [texx]2^3=8[/texx]
P(B)= [texx]2^3=8[/texx]
[texx]P(A\cup{B)=(1,2,3,4,5,6)}[/texx][texx]2^6=64[/texx]

Actualizacion Lunes,6 De Mayo, estudiando mucho y muy feliz . Aplauso :risa: :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #1 : 04/05/2019, 03:55:46 pm »

Hola

El conjunto partes de [texx]A[/texx] es el conjunto de todos los subconjuntos del mismo. Es decir, [texx]P(A)=\{X\mid X\subset A\}[/texx]. Así que no debés escribir [texx]x\in P(A)[/texx] sino [texx]X\subset P(A)[/texx].

También recordá que [texx]A=B[/texx] si y sólo si [texx]A\subset B[/texx] y [texx]B\subset A[/texx]. En (i) sólo estás probando la mitad, te falta la otra parte. En (ii) fíjate que sólo es probar una vuelta, pero en vez de intersección es unión, así que (i) es distinto a (ii).

Saludos

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« Respuesta #2 : 05/05/2019, 05:34:03 pm »

Hola

El conjunto partes de [texx]A[/texx] es el conjunto de todos los subconjuntos del mismo. Es decir, [texx]P(A)=\{X\mid X\subset A\}[/texx]. Así que no debés escribir [texx]x\in P(A)[/texx] sino [texx]X\subset P(A)[/texx].

También recordá que [texx]A=B[/texx] si y sólo si [texx]A\subset B[/texx] y [texx]B\subset A[/texx]. En (i) sólo estás probando la mitad, te falta la otra parte. En (ii) fíjate que sólo es probar una vuelta, pero en vez de intersección es unión, así que (i) es distinto a (ii).

Saludos




Ahi lo modifique, a eso te refieres? , o esta mal ?. :BangHead:

Ahora estoy festejando el cumpleaños de mi novia, asi que no tengo tiempo de seguirla aqui, pero mañana en la mañana lo intento. :risa:
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« Respuesta #3 : 05/05/2019, 05:44:22 pm »

Hola

El conjunto partes de [texx]A[/texx] es el conjunto de todos los subconjuntos del mismo. Es decir, [texx]P(A)=\{X\mid X\subset A\}[/texx]. Así que no debés escribir [texx]x\in P(A)[/texx] sino [texx]X\subset P(A)[/texx].


No es así, se pueden elegir letras mayúsculas o minúsculas (u otros símbolos) para denotar elementos y conjuntos. Aunque concuerdo con manooooh en que en este problema es más natural usar mayúsculas para denotar los elementos del conjunto de partes por tratarse de un conjunto cuyos elementos son conjuntos, es decir, escribir [texx]X\in P(A)[/texx]. Pero si  AveFenix quiere usar letras minúsculas ahí él, es a gusto de consumidor.

Ojo que la demostración que propones está mala.


Si [texx]x\subset P(A\cap B)\Rightarrow x\subseteq A\cap B\Rightarrow {\color{red}x\subseteq A\wedge x\subseteq B}[/texx]


Lo que está en rojo es falso, ¿puedes darte un contraejemplo para convencerte?

Ojo: como dice manooooh, para probar que [texx]P(A\cap B)=P(A)\cap P(B)[/texx], debes probar que [texx]\boxed{P(A\cap B)\subseteq P(A)\cap P(B)}[/texx] y [texx]\boxed{P(A)\cap P(B)\subseteq P(A\cap B)}[/texx].

ii) esta se resuelve igual?

Sí, la demostración es análoga.
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« Respuesta #4 : 06/05/2019, 05:28:25 am »

Una generalización: Partes de uniones e intersecciones.
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« Respuesta #5 : 06/05/2019, 08:28:21 pm »

Ahi modifique el post, actualizado luego de poder estudiar hoy .
Espero respuestas al respecto, saludos Genios! Aplauso :cara_de_queso:
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« Respuesta #6 : 08/05/2019, 06:46:06 am »

Hola

Aqui, abriendo otro tema mas, sobre mis estudios, recien acabo de hacer este ejercicio y poniendo lo que mas adelante voy a escribir.
La consigna dice lo siguiente:

-Sean A y B dos conjuntos y P(A) y P(B) el conjunto de partes de A y B respectivamente

Prueba que : i) [texx]P(A\cap{B)}[/texx]=[texx]P(A)\cap{P(B)}[/texx] .    ii) [texx]P(A)\cup{P(B)}\subset{P(A\cup{B)}}[/texx]

Investiga si iii)[texx]P(A\cup{B)}\subset{P(A)}\cup{P(B)}[/texx]. Justifica.


Rpta a la prueba:

La efectué de la siguiente manera ,

Si [texx]x\in{}{P(A\cap{B)}\rightarrow{}}[/texx][texx]x\subseteq{A\cap{B}}\rightarrow{x\subseteq{A}\wedge}x\subseteq{B}\rightarrow{x\in{}{P(A)\cap{P(B)}}}[/texx]  Esta se puede volver por los mismos pasos

Bien.

Cita
ii) Parte 2:

[texx]Si X\in{P(A)\cup{P(B)}\rightarrow{x\in{P(A)\vee}x\in{P(A\cup{B)}}}}[/texx]

Sospecho que no has acabado de escribir lo que querías. Sería:

[texx]X\in P(A)\cup P(B)\quad \Rightarrow{}\quad X\in P(A)\textsf{ ó }X\in P(B)[/texx]

[texx]\Rightarrow{}\quad X\subset A\textsf{ ó }X\subset B[/texx]

[texx]\Rightarrow{}\quad X\subset A\subset A\cup B\textsf{ ó }X\subset B\subset A\cup B[/texx]

[texx]\Rightarrow{}\quad X\subset A\cup B[/texx]

[texx]\Rightarrow{}\quad X\in P(A\cup B)[/texx]

Cita
iii)Investiga Rpta
Es falso, ya que las [texx]P(A\cup{B)}[/texx] es mas grande que las [texx]P(A)\cup{P(B)}[/texx]
Ejemplo
A=(1, 2,3 )
[texx]
B=(4,5,6 )
P(A)= [texx]2^3=8[/texx]
P(B)= [texx]2^3=8[/texx]
[texx]P(A\cup{B)=(1,2,3,4,5,6)}[/texx][texx]2^6=64[/texx][/texx]

Está bien la idea. Pero no pongas [texx]P(A)=2^3=8[/texx]. Si te refieres al cardinal, al número de elementos, escribe:

[texx]card(P(A)))=2^3[/texx] ó [texx]\#P(A)=2^3[/texx]

Saludos.
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