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Autor Tema: Problema de extensión de aplicacion lineal y continua  (Leído 316 veces)
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Eparoh
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« : 03/05/2019, 17:42:09 »

Hola, tengo el siguiente problema planteado:

Sea [texx]Y[/texx] un subespacio del espacio normado [texx]X[/texx] y [texx]T:Y \longrightarrow l_{\infty}[/texx] una aplicación lineal y continua. Demuestra que [texx]T[/texx] puede extenderse a una aplicación [texx]S: X \longrightarrow l_{\infty}[/texx] lineal y continua tal que  [texx]\left\|{S}\right\|= \left\|{T}\right\|[/texx].

La verdad es que no se ni como empezar, ¿alguna idea?
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.
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jbgg
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« Respuesta #1 : 04/05/2019, 10:33:14 »

Ya que los elementos de [texx]\ell_\infty[/texx] tienen coordenadas (reales o complejas), para la definición de un operador [texx]S:X\rightarrow\ell_\infty[/texx] basta definirlo por coordenadas. Usando esta idea y que la norma en [texx]\ell_\infty[/texx] es la norma infinito, puedes llegar a definir el operador [texx]S[/texx] aplicando un teorema (bastante) conocido.

No voy a dar más pistas, pero si necesitas que lo detalle más me comentas.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 04/05/2019, 14:48:34 »

Ya que los elementos de [texx]\ell_\infty[/texx] tienen coordenadas (reales o complejas), para la definición de un operador [texx]S:X\rightarrow\ell_\infty[/texx] basta definirlo por coordenadas. Usando esta idea y que la norma en [texx]\ell_\infty[/texx] es la norma infinito, puedes llegar a definir el operador [texx]S[/texx] aplicando un teorema (bastante) conocido.

No voy a dar más pistas, pero si necesitas que lo detalle más me comentas.

Vale, me bloquee tontamente sin pensar en la forma de los elementos de [texx]\ell_\infty[/texx], muchas gracias por la indicación :guiño:
Creo que la solución sería esta:

Definamos para cada [texx]y \in Y[/texx], la aplicación [texx]T_n:Y \longrightarrow \mathbb{R}[/texx] como la componente n-ésima de [texx]T(y) \in \ell_\infty[/texx], que denotaremos por [texx]T_n(y)= \left({T(y)}\right)_n[/texx].
Entonces, tenemos que [texx]T_n[/texx] es lineal pues dados [texx]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/texx] e [texx]y, z \in Y[/texx] se tiene que

[texx]T_n(\alpha y + \beta z)=\left( T(\alpha y + \beta z) \right)_n = \left(\alpha T(y) + \beta T(z) \right)_n=\alpha (T(y))_n + \beta (T(z))_n= \alpha T_n(y) + \beta T_n(z)[/texx]

y es continua pues dado [texx]y \in Y[/texx], se cumple que

[texx]\left |{T_n(y)}\right | = \left |{(T(y))_n}\right | \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{(T(y))_n}=  \left\|{T(y)}\right\|_{\infty} \leq  \left\|{T}\right\|  \left\|{y}\right\|_Y[/texx]

Con esto, para cada [texx]n \in \mathbb{N}[/texx] se tiene que [texx]T_n \in Y^*[/texx] y por el teorema de Hanh-Banach, existe [texx]S_n \in X^*[/texx] tal que [texx]S_n \left|_Y \equiv T_n \right.[/texx] y  [texx]\left\|{S_n}\right\|_{X^*}= \left\|{T_n}\right\|_{Y^*}[/texx].
Ahora, para cada [texx]x \in X[/texx] tenemos que [texx]\{S_n(x)\}_{n \geq 1} \in \ell_{\infty}[/texx] pues se cumple que para cada [texx]n \in \mathbb{N}[/texx]

[texx]\left |{S_n(x)}\right | \leq  \left\|{S_n}\right\|  \left\|{x}\right\| \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{S_n}\right\|}  \left\|{x}\right\|= \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{T_n}\right\|}  \left\|{x}\right\| = \displaystyle\sup_{n \geq 1}{\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left |{T_n(y)}\right |}}  \left\|{x}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\displaystyle\sup_{n \geq 1}{\left |{T_n(y)}\right |}}  \left\|{x}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{ \left\|{T(y)}\right\|_{\infty}}  \left\|{x}\right\|=  \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\|[/texx]

Y podemos pues definir [texx]S: X \longrightarrow{} \ell_{\infty}[/texx] como [texx]S(x)=\{S_n(x)\}_{n \geq 1}[/texx] y es claro que [texx]S[/texx] es lineal, pues cada [texx]S_n[/texx] lo es. Además es también continua pues dado [texx]x \in X[/texx]

[texx]\left |{S_n(x)}\right | \leq  \left\|{S_n}\right\|  \left\|{x}\right\| =  \left\|{T_n}\right\|  \left\|{x}\right\|, \forall n \in \mathbb{N}[/texx]

y así

[texx] \left\|{S(x)}\right\|_{\infty} = \displaystyle\sup_{n \geq 1}{\left |{S_n(x)}\right |} \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{T_n}\right\|} \left\|{x}\right\|= \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\|[/texx]

Además, con esta última desigualdad, tenemos también que

[texx] \left\|{S}\right\|=\displaystyle\sup_{x \in B_X}{\left\|{S(x)}\right\|_{\infty}} \leq \displaystyle\sup_{x \in B_x}{ \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\|}= \left\|{T}\right\|[/texx]

y

[texx] \left\|{T}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left\|{T(y)}\right\|_{\infty}}=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left\|{S(y)}\right\|_{\infty}} \leq \displaystyle\sup_{x \in B_X}{\left\|{S(x)}\right\|_{\infty}}= \left\|{S}\right\|[/texx]

con lo que finalmente, [texx] \left\|{S}\right\|= \left\|{T}\right\|[/texx].

De nuevo, gracias por la respuesta. Un saludo.
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