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Autor Tema: Demostración de Conjuntos  (Leído 1084 veces)
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AveFenix
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« : 01/05/2019, 04:09:10 pm »

Hola, soy nuevo y me encantó encontrar esta website, voy a quedarme por mucho tiempo! Aplauso , lamentablemente estoy muy perdido, sí sé de conjuntos pero estos se me dificultaron tanto que no sé cómo hacerlos, SON ESTOS 3.

 1.  [texx]B\subset{A}\Longleftrightarrow{(A-B)}\cup{B}=A[/texx]

 2.  [texx]A\cap{B}=\emptyset\wedge A\cup{B}=C\Rightarrow{A}=C-B[/texx]

 3.  [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\Leftrightarrow{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx]



Gracias por el apoyo , estoy con muchas ansias de comprender estos ejercicios que la verdad me perdí. Saludos.

PD: no sé por qué no me salen los iconos.
PD2: ya entendi como poner los iconos.
Pd3: ahora no ando con la laptop, estoy desde el celu, pero el 3ro me parecio facil, cuando pueda edito y pongo si lo hise bien o estoy muuyy perdido...los otros de arriba ..no se como arrancar, aunque aprendo rapido si se como es.
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« Respuesta #1 : 01/05/2019, 05:30:54 pm »

Hola AveFenix, bienvenido al foro!!

Recordá leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del [texx]\mathrm\LaTeX[/texx] para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por otro lado, ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste y qué dudas concretas tenés así podemos ayudarte mejor. Por favor, tené en cuenta estas consideraciones para la próxima.

PD: no se porque no me salen los iconos.

Te faltan agregar las etiquetas [tex][/tex].

El primero afirma que

[texx]B\subset A\Longleftrightarrow(A-B)\cup B=A.[/texx]

Para demostrarlo, podemos empezar a reducir el conjunto del lado izquierdo del igual, entonces de [texx](A-B)\cup B[/texx], aplicando la definición de diferencia, [texx](A\cap\overline B)\cup B[/texx]. Aplicando distributiva, [texx](A\cup B)\cap(\overline B\cup B)[/texx], de donde [texx]\overline B\cup B[/texx] es por definición el conjunto universal [texx]\mathcal U[/texx], y la intersección de este con cualquier conjunto es el último, entonces nos queda [texx]A\cup B[/texx].

Finalmente debemos probar que

[texx]B\subset A\Longleftrightarrow A\cup B=A.[/texx]

[texx]\Longrightarrow)[/texx] Probemos que si [texx]B\subset A[/texx] entonces [texx]A\cup B\subset A[/texx]. Tomemos [texx]x\in A\cup B[/texx], entonces [texx]x\in A\vee x\in B[/texx], pero como por hipótesis [texx]B\subset A[/texx], entonces [texx]x\in A\vee x\in A[/texx], de donde [texx]x\in A[/texx]. Ahora probemos que si [texx]B\subset A[/texx] entonces [texx]A\subset A\cup B[/texx]. Pero es trivial, porque un conjunto siempre está contenido en él unido a otra cosa, por ende hemos probado la primera implicación (observá que ni siquiera nos tuvimos que valer de la hipótesis).

[texx]\Longleftarrow)[/texx] Probemos que si [texx]A\cup B=A[/texx] entonces [texx]B\subset A[/texx]. Tomemos [texx]x\in B[/texx]. Entonces, se puede probar que es equivalente a [texx]x\in B\cup(A\cap\overline A)[/texx], de donde [texx]x\in(B\cup A)\cap(B\cup\overline A)[/texx], y por hipótesis [texx]x\in A\cap(B\cup\overline A)[/texx]. Ahora bien, distribuyendo conjuntos, [texx]x\in(A\cap B)\cup(A\cap\overline A)[/texx], de donde [texx]x\in A\cap B[/texx], pero eso es igual a [texx]x\in A\wedge x\in B[/texx], de donde se desprende que [texx]x\in A[/texx], como queríamos probar.

El otro va en el mismo sentido, pero es más rápido pues sólo tenés que demostrar una implicación. ¿Qué te parece si lo intentás?

Saludos
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« Respuesta #2 : 01/05/2019, 05:33:23 pm »

Hola

Hola, soy nuevo y me encantó encontrar esta website, voy a quedarme por mucho tiempo! Aplauso , lamentablemente estoy muy perdido, sí sé de conjuntos pero estos se me dificultaron tanto que no sé cómo hacerlos, SON ESTOS 3.

 1.  [texx]B\subset{A}\Longleftrightarrow{(A-B)}\cup{B}=A[/texx]

 Por definición [texx]A-B=A\cap B^c[/texx]. Entonces:

 [texx](A-B)\cup B=(A\cap B^c)\cup B=(A\cup B)\cap (B^c\cup B)=A\cup B[/texx]

 Por tanto lo anterior equivale a probar que:

 [texx]B\subset A\iff A\cup B=A[/texx]

 Efectivamente:

 - Si [texx]B\subset A[/texx] entonces si [texx]A\cup B\subset A[/texx] y como [texx]A\subset A\cup B[/texx], entonces [texx]A\cup B=A.[/texx]
 - Recíprocamente si [texx]A\cup B=A[/texx] entonces [texx]B\subset A\cup B=A.[/texx]

 Intenta algo en el resto.

Saludos.

P.D. Se adalentó manooooh
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« Respuesta #3 : 01/05/2019, 06:06:34 pm »

Gracias chicos!, esto es lo que habia echo perdonen que mande foto,es que ahora ando con el celular y no ando con la laptop.

Voy a practicar mas, aunque siendo honestos la 2- me tiene loco.. los admiro, quisiera ser como ustedes.

Perdonen si no se ve bien.
Ahora voy a intentar el 3ero

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« Respuesta #4 : 01/05/2019, 06:23:15 pm »

Hola

Voy a practicar mas, aunque siendo honestos la 2- me tiene loco.. los admiro, quisiera ser como ustedes.

No es difícil, lo único que debés entender es cuándo usar la hipótesis y algunas propiedades de conjuntos.

El 2 dice que

[texx]A\cap{B}=\emptyset\wedge A\cup{B}=C\implies{A}=C-B=C\cap\overline B.[/texx]

Antes que nada quiero que veas algunas equivalencias partiendo de [texx]A\cap B=\emptyset[/texx]. Las tendremos que usar para nuestra prueba.

Uniendo el complemento de [texx]B[/texx] a ambos miembros, [texx]\overline B\cup(A\cap B)=\overline B\cup\emptyset=\overline B[/texx]. Aplicando distributiva, [texx](\overline B\cup A)\cap(\overline B\cup B)=\overline B[/texx], de donde [texx]\overline B\cup A=\overline B[/texx].

Ahora sí, probemos la implicación:

Tomemos [texx]x\in A[/texx]. Queremos ver que implica que [texx]x\in C\cap\overline B[/texx]. Para ello consideremos [texx]x\in A\cup(B\cap\overline B)[/texx] (son equivalentes), aplicando distributiva: [texx]x\in(A\cup B)\cap(A\cup\overline B)[/texx]. Por hipótesis, [texx]A\cup B=C[/texx], así que [texx]x\in C\cap(A\cup\overline B)[/texx], y por hipótesis sabemos que [texx]\overline B\cup A=\overline B[/texx], finalmente [texx]x\in C\cap\overline B[/texx].

Ahora tomemos [texx]x\in C\cap\overline B[/texx]. Por hipótesis, [texx]x\in(A\cup B)\cap\overline B[/texx], y aplicando distributiva, [texx]x\in(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline B)[/texx], de donde [texx]B\cap\overline B=\emptyset[/texx], y el vacío unido a cualquier conjunto es lo mismo que el último conjunto, por ende tenemos que [texx]x\in A\cap\overline B[/texx], pero sabemos que por hipótesis [texx]\overline B=\overline B\cup A[/texx], de donde [texx]x\in A\cap(\overline B\cup A)[/texx], y por la ley de absorción, eso es equivalente a [texx]x\in A[/texx], como queríamos probar.

Saludos
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« Respuesta #5 : 02/05/2019, 10:31:47 am »

Muchas gracias, algun libro o pdf que me recomienden para resolver ejercicios de este nivel? Ya que venia haciendo los mas faciles pero quiero aprender a este nivel o ejercicios tienen en la pagina con la solucion para verificar si los hice bien?
Ya que recien comenzamos con esto en clase pero quiero adelantarme estudiando para estar mas seguro.

Pd1: como sabes que tenes que utilizar B(union) en lo primero?
Pd: ando con el celular de nuevo  :BangHead: incluso en este momento como no tengo tiempo de ir a casa  estoy estudiando en el auto. Que de echo todas las mañanas hago eso jaja. Sad.

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« Respuesta #6 : 02/05/2019, 11:14:15 am »

Perdonen pero, entendi los que me pasaron, pero ya que algo sea diferente me entro a marear

Crei que el 3ero era facil..
Yo puse esto..aunque debe estar todo mal.
Agradeceria una explicacion como es .

Saco foto,estoy encerrado en el auto haciendolo.

Me da verguenza..mostrar lo que puse.. seguramente esta mal.. que fracaso  :BangHead:

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« Respuesta #7 : 02/05/2019, 11:33:41 am »

Hola

Pd1: como sabes que tenes que utilizar B(union) en lo primero?

No es obligatorio; pero si haces un diagram de Venn verás que [texx](A-B)\cup B=A\cup B[/texx]  y es más fácil manipular la segunda expresión que la primera.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 02/05/2019, 08:28:29 pm »

Finalmente luego de un día muy largo, llegue a casa y puedo utilizar la laptop.

aquí les dejo la 3 era:
 3.  [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\Leftrightarrow{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx]

y yo la hice así:

[texx]x\in{A}\longrightarrow{A\subset{B\wedge}}A\subseteq{C}\rightarrow{}(x\in{A}\cap{x\subseteq{B}})\cup{(x\in{A\cap{x\subseteq{C)}}}}\rightarrow{(x\in{A\wedge}x\subseteq{B)}}\cup{(x\in{A\wedge}x\subseteq{C)}}\rightarrow{A\subseteq{(B\cap{C)}}}[/texx]


creo que me equivoque lo mas seguro, quise demostrar que  xEA y esta esta incluida BinterseccionC   , pero no se si esta bien los pasos o me equivoque en los símbolos utilizados.

Perdonen si esta muy mal , es que recién empezamos con este tema, y este nivel aun me cuesta .       
Saludos Matemáticos!
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« Respuesta #9 : 02/05/2019, 09:00:12 pm »

Hola

Luego de haber visto las otras dos demostraciones deberías preguntar qué paso no entendés, para minimizar los errores que cometés a continuación:

3.  [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\Leftrightarrow{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx]

En primer lugar tenés que saber qué querés demostrar y eventualmente de las hipótesis que disponés.

Tenés que demostrar que: (1) [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\implies{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx] y (2) [texx]{A}\subset{(B\cap{C})}\implies A\subset{B}\wedge A\subset{C}[/texx].

Lo que intentás probar es (1), pero no es suficiente con probar la equivalencia, a menos que pruebes una de las dos usando equivalencias, porque en ese caso tanto la ida como la vuelta serán análogas.

y yo la hice así:

[texx]x\in{A}\longrightarrow{A\subset{B\wedge}}A\subseteq{C}\rightarrow{}(x\in{A}\cap{x\subseteq{B}})\cup{(x\in{A\cap{x\subseteq{C)}}}}\rightarrow{(x\in{A\wedge}x\subseteq{B)}}\cup{(x\in{A\wedge}x\subseteq{C)}}\rightarrow{A\subseteq{(B\cap{C)}}}[/texx]

Usás un [texx]\cup[/texx] donde no debería ir, de [texx]x\in A[/texx] no podés deducir [texx]A\subset B[/texx] y [texx]A\subseteq C[/texx] (de hecho no sé por qué cambiás la notación de subconjunto).

Te ayudo con (1):

Empezás por [texx]x\in A[/texx] y concluís con [texx]x\in B\cap C[/texx]. Pero [texx]x\in A[/texx] implica que [texx]x\in A[/texx] y [texx]x\in A[/texx], o sea que por hipótesis, [texx]x\in B[/texx] y [texx]x\in C[/texx], y esto es por definición de intersección a [texx]x\in B\cap C[/texx]. Fin.

Para (2) tenés la respuesta en este enlace.

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« Respuesta #10 : 03/05/2019, 12:16:47 pm »

Gracias , empiezo de nuevo , con una nueva teoria de como podria ser la solucion

 3.  [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\Leftrightarrow{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx]

Solucion actualizada luego de estudiar mas... no se si esta bien o otra vez me equivoque en todo.
[texx]A\subset{B\wedge A\subset{C\rightarrow{\forall{x(x\in{A\rightarrow{x\in{B)\wedge\forall{x(x\in{A\rightarrow{x\in{}{C)\rightarrow{\forall{x[(x\in{A\rightarrow{x\in{B)\wedge(x\in{A\rightarrow{x\in{C)]\rightarrow{\forall{x[x\in{A\rightarrow{(x\in{B\wedge x \in{C)]\rightarrow{A\subset{(B\cap{C)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}[/texx]


Saludos, la verdad que me encanta aprender aqui o al menos aunque me equivoque intentarlo y mejorar.

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« Respuesta #11 : 03/05/2019, 01:59:52 pm »

Hola

Antes que nada, para ahorrar tiempo y espacio, aunque la salida sea la misma, no escribas {} luego de un operador. O sea que sería por ejemplo x\rightarrow y, no x\rightarrow{y}.

3.  [texx]A\subset{B}\wedge A\subset{C}\Leftrightarrow{A}\subset{(B\cap{C})}[/texx]

¡¡Pero si ya lo demostré!! Aquí está:

Empezás por [texx]x\in A[/texx] y concluís con [texx]x\in B\cap C[/texx]. Pero [texx]x\in A[/texx] implica que [texx]x\in A[/texx] y [texx]x\in A[/texx], o sea que por hipótesis, [texx]x\in B[/texx] y [texx]x\in C[/texx], y esto es por definición de intersección a [texx]x\in B\cap C[/texx]. Fin.

Siempre es mejor tratar de decir con palabras las propiedades que usás, en vez de hacer todo en una línea sumado a un uso excesivo de cuantificadores.

Aparte tu demostración prueba que [texx](A\subset B\wedge A\subset C)\subset(A\subset B\cap C)[/texx], que NO es lo mismo que probar que [texx]A\subset B\wedge A\subset C\color{red}\implies A\subset\color{black}B\cap C[/texx].

Si no quedó claro preguntá lo que quieras, pero recordá que te queda probar la implicación de la vuelta, o sea que si [texx]A\subset B\cap C[/texx] entonces [texx]A\subset B\wedge A\subset C[/texx].

Saludos
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« Respuesta #12 : 03/05/2019, 09:15:16 pm »

Gracias finalmente, lo pase a una hoja.. y lo entendí  :BangHead: :BangHead: Aplauso. Tambien vi el link que me diste y la respuesta.

Soy tan tonto, te agradezco muchísimo, lo mas probable que mañana en la mañana me levante a estudiar ya que tengo otros ejercicios  , si no llego a entender uno , creare un nuevo tema o incluso para verificar si lo que puse esta correcto.
El titulo comienza con "Conjunto, Relaciones y Funciones".
Arrancamos hace poquito con este tema, y me cuesta, pero me gusta que luego entienda o al menos tener la respuesta correcta y estudiarla para saber que realmente hacer.

Que buen sitio este, les agradezco su cooperación. Aplauso
Yo por otro lado, mañana a estudiar mucho.. , tengo que dar Geometría también, nose de donde sacare tiempo! help  :sonrisa_amplia: :cara_de_queso: :BangHead: jaja



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« Respuesta #13 : 03/05/2019, 09:23:32 pm »

Hola

Me parece bien que abras hilos para entender las materias, como así también que pienses tus ideas y argumentes. Aplauso.

En lo posible, un problema por hilo, y si el problema es específico de algo el título debe ser descriptivo, en otro caso la gente no lo leerá.

Saludos
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