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Autor Tema: Duda sobre gran teorema de Galois  (Leído 437 veces)
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Eparoh
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« : 01/05/2019, 03:42:34 pm »

Hola, tengo enunciado el siguiente teorema

Sea [texx]K[/texx] un cuerpo de característica [texx]0[/texx] y [texx] f \in K\left[x\right] [/texx] un polinomio no constante, entonces [texx]f[/texx] es resoluble por radicales sobre [texx]K[/texx] si, y solo si, su grupo de Galois asociado, [texx]Gal(f)[/texx], es resoluble.

Por aclarar notación, que [texx]f[/texx] sea resoluble por radicales sobre [texx]K[/texx] quiere decir que existe una existe una extensión [texx]F/K[/texx] que contiene un cuerpo de escisión de [texx]f[/texx] y tal que existen las extensiones intermedias

[texx]K=K_0 \leq K_1 \leq \cdots \leq K_m=F[/texx]

de modo que [texx]K_i=K_{i-1}(a_i)[/texx] donde [texx]a_i^{n_i} \in K_{i-1}[/texx] para algún entero positivo [texx]n_i[/texx] y para cada [texx]i= 1, \cdots, m[/texx].
Y, [texx]Gal(f)[/texx] se denota al grupo de Galois de cualquier cuerpo de escisión de [texx]f[/texx].

Se que este teorema se emplea para demostrar que no existen fórmulas generales para la obtención de las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 5 las cuales involucren a los coeficientes del polinomio y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y el empleo de raices n-ésimas.
Mi duda es que aunque si he encontrado ciertas referencias a como se pueden construir polinomios de cualquier grado mayor o igual a cinco de modo que su grupo de Galois asociado no sea resoluble (aunque agradecería también si alguien pudiera darme la demostración de esto porque no me ha quedado del todo claro), no encuentro por ningún lado, ni veo el porque que un polinomio sea o no resoluble por radicales implica la existencia o no de este tipo de fórmulas.

¿Alguien podría aclararmelo?

Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.
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« Respuesta #1 : 02/05/2019, 03:57:49 pm »

Considera el polinomio general de grado [texx]5[/texx]:
[texx]p(X) = a_5X^5 + a_4X^4 + a_3 X^3 + a_2 X^2 + a_1 X + a_0[/texx].
Si existiera una fórmula general que te diera las raíces [texx]x_i[/texx] de este polinomio en función de los coeficientes [texx]a_i[/texx] del polinomio de manera que esta fórmula solamente involucrara operaciones elementales y raíces, entonces podrías construir fácilmente una cadena de extensiones como la que escribes y por tanto [texx]p[/texx] sería resoluble por radicales en el sentido algebraico.

Por ejemplo, considera la fórmula para las raíces de un polinomio de segundo grado:
[texx]aX^2 + bX + c[/texx].
Las raíces son:
[texx]x_\pm = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/texx].

Si [texx]k[/texx] es un cuerpo al que pertenecen los coeficientes, entonces [texx]k(\sqrt{b^2 - 4ac})[/texx] es una extensión de [texx]k[/texx] construida añadiendo una raíz cuadrada, que contiene a las raíces [texx]x_\pm[/texx].
En el caso general puedes proceder de manera parecida, solo que puede que necesites varias extensiones, mientras que en el caso de grado [texx]2[/texx] tienes bastante con una.
Por ejemplo, si tienes una fórmula de tipo [texx]5 + \sqrt[3]{a + \sqrt{b}}[/texx], debes considerar la cadena de extensiones:
[texx]k \subset k(\sqrt{b}) \subset k(\sqrt{b})(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}})[/texx].
Fíjate que en cada paso solamente añadimos una raíz enésima de un elemento que ya pertenece al cuerpo del paso anterior.

Una vez entendido esto, debería quedar claro que basta probar que un polinomio de grado [texx]5[/texx] (o más) no es resoluble por radicales sobre [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Normalmente lo que se hace es considerar el polinomio general, es decir, introduces cinco variables nuevas [texx]a_1,a_2,a_3, a_4, a_5[/texx] y consideras el polinomio
[texx]p(X) = a_5X^5 + \dots + a_1X + a_0[/texx]
como polinomio de [texx]\mathbb{Q}(a_1, \dots, a_5)[X][/texx]. Entonces pruebas, usando la correspondencia de Galois, que [texx]p(X)[/texx] no es resoluble por radicales, de manera que no hay fórmula general que te de las raíces de un polinomio de grado cinco en términos de sus coeficientes.
Pero además, el teorema de Galois te da un criterio para saber qué polinomios son resolubles por radicales y cuáles no. Por ejemplo, se puede ver que
[texx]X^5 - X - 1[/texx] no es resoluble por radicales, mientras que [texx]X^5 - 2[/texx] obviamente sí lo es.
 
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« Respuesta #2 : 09/07/2019, 10:53:41 am »

Hola, muchas gracias por la respuesta (y disculpa el haber tardado tanto tiempo en contestar)
Entiendo intuitivamente que, si cada raíz del polinomio se puede expresar en función de los coeficientes del polinomio, empleando las operaciones del cuerpo y raíces, entonces tal como en los ejemplos que me has mostrado, para cada raíz se puede hallar una extensión radical que la contenga, y es fácil a partir de todas estas extensiones construir una mayor ("encadenandolas") que contenga a todas las raíces y con ello al cuerpo de escisión del polinomio.
Aunque, no se me ocurre como podría formalizarse esto de alguna forma, pues no se como expresar de manera general una fórmula de este tipo, ni como ver que efectivamente se puede formar una extensión radical a partir de dicha fórmula que contenga a la raíz.
Es decir, la idea intuitiva la tengo, y se que dada una expresión de este tipo, trabajando de "dentro" hacia "fuera" los radicales puedes crear la extensión.
¿Alguna idea de como demostrar ésto?

Con esto, tendríamos que efectivamente la existencia de una fórmula de este tipo para cada una de las raíces del polinomio nos garantiza que el polinomio es resoluble por radicales, luego por el teorema de Galois, que  el grupo de Galois del polinomio es resoluble.
Esto resuelve (salvo el como demostrar que sea cierto en general) en parte mi duda, pues por el contrarrecíproco de lo visto es claro que si el grupo de Galois de un polinomio no es resoluble, entonces no puede existir una fórmula de este tipo para cada una de sus raíces.
Así, basta ver para algún polinomio [texx]f(x)[/texx] de grado 5 (tal como el del ejemplo que me has dado) cuyo grupo de Galois no sea resoluble, y entonces [texx]g_n(x)=x^nf(x)[/texx] para [texx]n \geq 1[/texx], tendrá también grupo de Galois no resoluble pues, en caso contrario, sería resoluble por radicales y puesto que, el cuerpo de escisión de [texx]g_n[/texx] es igual al de [texx]f[/texx], [texx]f[/texx] sería resoluble por radicales teniendo una contradicción.
En resumen, salvo demostrar lo primero que he comentado, esto probaría que no existen fórmulas generales para las raíces de polinomios de grado mayor o igual a cinco, ¿verdad?

Ahora, lo que si no veo nada claro es si el recíproco sería cierto. Es decir, si un polinomio es resoluble por radicales entonces cómo llevaría esto a obtener una fórmula de las enunciadas para sus raíces

Un saludo, y muchas gracias de nuevo por las respuestas.
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« Respuesta #3 : 09/07/2019, 02:48:11 pm »

Hola, muchas gracias por la respuesta (y disculpa el haber tardado tanto tiempo en contestar)
Entiendo intuitivamente que, si cada raíz del polinomio se puede expresar en función de los coeficientes del polinomio, empleando las operaciones del cuerpo y raíces, entonces tal como en los ejemplos que me has mostrado, para cada raíz se puede hallar una extensión radical que la contenga, y es fácil a partir de todas estas extensiones construir una mayor ("encadenandolas") que contenga a todas las raíces y con ello al cuerpo de escisión del polinomio.
Aunque, no se me ocurre como podría formalizarse esto de alguna forma, pues no se como expresar de manera general una fórmula de este tipo, ni como ver que efectivamente se puede formar una extensión radical a partir de dicha fórmula que contenga a la raíz.
Es decir, la idea intuitiva la tengo, y se que dada una expresión de este tipo, trabajando de "dentro" hacia "fuera" los radicales puedes crear la extensión.
¿Alguna idea de como demostrar ésto?

Es que de hecho la formalización de esta idea es exactamente la noción de extensión radical. Es decir, una tal fórmula se obtiene a partir de aplicaciones iteradas (un número finito de veces) de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y sacar la raíz [texx]n[/texx]-ésima, partiendo de los racionales. Si lo piensas verás que la definición de extensión radical está precisamente pensada para captar eso.

Cita
Con esto, tendríamos que efectivamente la existencia de una fórmula de este tipo para cada una de las raíces del polinomio nos garantiza que el polinomio es resoluble por radicales, luego por el teorema de Galois, que  el grupo de Galois del polinomio es resoluble.
Esto resuelve (salvo el como demostrar que sea cierto en general) en parte mi duda, pues por el contrarrecíproco de lo visto es claro que si el grupo de Galois de un polinomio no es resoluble, entonces no puede existir una fórmula de este tipo para cada una de sus raíces.
Así, basta ver para algún polinomio [texx]f(x)[/texx] de grado 5 (tal como el del ejemplo que me has dado) cuyo grupo de Galois no sea resoluble, y entonces [texx]g_n(x)=x^nf(x)[/texx] para [texx]n \geq 1[/texx], tendrá también grupo de Galois no resoluble pues, en caso contrario, sería resoluble por radicales y puesto que, el cuerpo de escisión de [texx]g_n[/texx] es igual al de [texx]f[/texx], [texx]f[/texx] sería resoluble por radicales teniendo una contradicción.
En resumen, salvo demostrar lo primero que he comentado, esto probaría que no existen fórmulas generales para las raíces de polinomios de grado mayor o igual a cinco, ¿verdad?

Sí, esa es la idea. Aunque el mejor resultado es que el grupo de Galois del polinomio general de grado [texx]n \geq 5[/texx] es el grupo simétrico [texx]S_n[/texx], que no es resoluble. Esto implica que la ecuación general de grado [texx]n \geq 5[/texx] no es resoluble por radicales.

Cita
Ahora, lo que si no veo nada claro es si el recíproco sería cierto. Es decir, si un polinomio es resoluble por radicales entonces cómo llevaría esto a obtener una fórmula de las enunciadas para sus raíces.

Sí, te lleva a la existencia de una fórmula. La idea es que si [texx]K/\Bbb Q[/texx] es el cuerpo de descomposición de un polinomia y [texx]G = Gal(K/\Bbb Q)[/texx] es resoluble, tienes una cadena:
[texx]1=G_0  \unlhd G_1 \unlhd \dots \unlhd G_n = G[/texx]
con cada [texx]G_i/G_{i-1}[/texx] abeliano.
Puedes obtener a partir de esta cadena, otra nueva, más larga:
[texx]1=G_0  \unlhd G_1 \unlhd \dots \unlhd G_m = G[/texx]
donde ahora cada [texx]G_i/G_{i-1}[/texx] es cíclico.

Vía teoría de Galois (pasando a cuerpos fijos), esto te da una cadena de extensiones de cuerpos:
[texx]K \supseteq K_1 \supseteq \dots \supseteq \Bbb Q [/texx]
donde cada extensión [texx]K_{i+1}/K_i[/texx] es cíclica. Pero una extensión cíclica es radical, pues es de la forma [texx]K_i(\alpha)[/texx] para algún [texx]\alpha[/texx] que es raíz enésima de algún elemento de [texx]K_i[/texx].

Este es grosso modo el argumento, hay muchos detalles que llenar (por ejemplo, para que la última parte sea verdad, debes tener raíces de la unidad en el cuerpo base). Pero espero que se capte la idea. Para los detalles, deberías consultar algún libro que haga teoría de Galois.

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« Respuesta #4 : 09/07/2019, 03:17:39 pm »

Hola, gracias por las respuestas.

Es que de hecho la formalización de esta idea es exactamente la noción de extensión radical. Es decir, una tal fórmula se obtiene a partir de aplicaciones iteradas (un número finito de veces) de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, y sacar la raíz [texx]n[/texx]-ésima, partiendo de los racionales. Si lo piensas verás que la definición de extensión radical está precisamente pensada para captar eso.

Si, entiendo porque es la formalización del concepto en el sentido de la implicación que he comentado ante, pero con lo que comentas aquí:

Sí, te lleva a la existencia de una fórmula. La idea es que si [texx]K/\Bbb Q[/texx] es el cuerpo de descomposición de un polinomia y [texx]G = Gal(K/\Bbb Q)[/texx] es resoluble, tienes una cadena:
[texx]1=G_0  \unlhd G_1 \unlhd \dots \unlhd G_n = G[/texx]
con cada [texx]G_i/G_{i-1}[/texx] abeliano.
Puedes obtener a partir de esta cadena, otra nueva, más larga:
[texx]1=G_0  \unlhd G_1 \unlhd \dots \unlhd G_m = G[/texx]
donde ahora cada [texx]G_i/G_{i-1}[/texx] es cíclico.

Vía teoría de Galois (pasando a cuerpos fijos), esto te da una cadena de extensiones de cuerpos:
[texx]K \supseteq K_1 \supseteq \dots \supseteq \Bbb Q [/texx]
donde cada extensión [texx]K_{i+1}/K_i[/texx] es cíclica. Pero una extensión cíclica es radical, pues es de la forma [texx]K_i(\alpha)[/texx] para algún [texx]\alpha[/texx] que es raíz enésima de algún elemento de [texx]K_i[/texx].

Este es grosso modo el argumento, hay muchos detalles que llenar (por ejemplo, para que la última parte sea verdad, debes tener raíces de la unidad en el cuerpo base). Pero espero que se capte la idea. Para los detalles, deberías consultar algún libro que haga teoría de Galois.

Estas esbozando la demostración de que si el grupo de Galois del polinomio es resoluble, entonces el polinomio es resoluble por radicales en el sentido de la definición formal, pero mi duda ahora mismo es sobre esa definición en concreto.
Es decir, si yo tengo una extensión radical [texx]K/\Bbb Q[/texx] de modo que las raíces de un polinomio [texx]f \in \mathbb{Q}[/texx] están todas en [texx]K[/texx] (luego [texx]f[/texx] es resoluble por radicales), como es posible que de solo este conocimiento se pueda concluir que existe una fórmula del modo que venimos comentando para expresar dicha raíz en función de los coeficientes del polinomio.
No se si estoy explicándome bien :/
Un ejemplo concreto. El polinomio [texx]f(x)=x^3-2x^2-2x+4[/texx] tiene como raices [texx]2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}[/texx], luego su cuerpo de escisión será [texx]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx] y tenemos que [texx]\mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}(\sqrt{2})[/texx] es una extensión radical que contiene el cuerpo de escisión de [texx]f[/texx].
¿Cómo sería posible extraer de esta extensión, sin conocer previamente las raíces, fórmulas para estas en función de los coeficientes?
Y, en caso de no poderse hacer de forma explicita, ¿como sabemos que deben existir a partir de la teoría de Galois?
Espero haber explicado bien mi duda.
Un saludo, y como siempre, gracias por tu tiempo.
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« Respuesta #5 : 09/07/2019, 03:45:02 pm »

Sobre cómo obtener fórmulas explícitas para las raíces de un polinomio a partir de su grupo de Galois, la verdad es que no tengo ni idea, parece que no es una cuestión sencilla.

Sobre la existencia de tales fórmulas, imagina que sabes que las raíces de un polinomio están en una extensión [texx]K/\Bbb Q[/texx] y sabes que hay una torre de extensiones radicales
[texx]K \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \Bbb Q[/texx]
(si hay más factores se hace igual).
Entonces sabes que hay elementos [texx]a_1,a_2,a_3[/texx] tales que
[texx]\Bbb Q(a_1,a_2,a_3) \supseteq \Bbb Q(a_1,a_2) \supseteq \Bbb Q(a_1) \supseteq \Bbb Q[/texx]
donde cada [texx]a_i[/texx] es la raíz enésima de algún elemento del cuerpo anterior.

Ahora procedes iterativamente como antes. Cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] es de la forma [texx]p(a_1)[/texx] donde [texx]p[/texx] es un polinomio con coeficientes racionales. Es decir, que cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] se puede obtener como suma, resta, producto y división de racionales y de alguna raíz enésima de algún racional ([texx]a_1[/texx]). Ahora por el mismo razonamiento, cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1,a_2) = \Bbb Q(a_1)(a_2)[/texx] se obtiene suma, resta, producto y divisiones de elementos de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] y de [texx]a_2[/texx], que es raíz enésima de algún elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx]. Por tanto, cualquier elemento de [texx]\Bbb Q(a_1,a_2)[/texx] se puede obtener a partir de racionales haciendo sumas, restas, productos, divisiones y raíces enésimas (quizás iteradas) de sumas, etc de racionales.
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« Respuesta #6 : 10/07/2019, 10:44:02 am »

Hola

Sobre cómo obtener fórmulas explícitas para las raíces de un polinomio a partir de su grupo de Galois, la verdad es que no tengo ni idea, parece que no es una cuestión sencilla.

Sobre la existencia de tales fórmulas, imagina que sabes que las raíces de un polinomio están en una extensión [texx]K/\Bbb Q[/texx] y sabes que hay una torre de extensiones radicales
[texx]K \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \Bbb Q[/texx]
(si hay más factores se hace igual).
Entonces sabes que hay elementos [texx]a_1,a_2,a_3[/texx] tales que
[texx]\Bbb Q(a_1,a_2,a_3) \supseteq \Bbb Q(a_1,a_2) \supseteq \Bbb Q(a_1) \supseteq \Bbb Q[/texx]
donde cada [texx]a_i[/texx] es la raíz enésima de algún elemento del cuerpo anterior.

Ahora procedes iterativamente como antes. Cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] es de la forma [texx]p(a_1)[/texx] donde [texx]p[/texx] es un polinomio con coeficientes racionales. Es decir, que cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] se puede obtener como suma, resta, producto y división de racionales y de alguna raíz enésima de algún racional ([texx]a_1[/texx]). Ahora por el mismo razonamiento, cada elemento de [texx]\Bbb Q(a_1,a_2) = \Bbb Q(a_1)(a_2)[/texx] se obtiene suma, resta, producto y divisiones de elementos de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx] y de [texx]a_2[/texx], que es raíz enésima de algún elemento de [texx]\Bbb Q(a_1)[/texx]. Por tanto, cualquier elemento de [texx]\Bbb Q(a_1,a_2)[/texx] se puede obtener a partir de racionales haciendo sumas, restas, productos, divisiones y raíces enésimas (quizás iteradas) de sumas, etc de racionales.

Si, ya imaginaba que la obtención de fórmulas explicitas no era algo demasiado sencillo, pero buscando encuentro las formulas de Cardano-Ferrari para polinomios de grado tres y cuatro, pero no mucho a partir de la teoría de Galois en si, y tenía curiosidad.

Respecto a lo que pusiste sobre la existencia de dichas fórmulas para las raíces de un polinomio que sea resoluble por radicales, entiendo que los elementos de una extensión radical pueden expresarse de la forma deseada, pero en lo que pusiste no aparecen por ningún lado los coeficientes del polinomio.
Osea, en el ejemplo que pusiste puede expresarse cada elemento de [texx]K[/texx] (y con ello las raíces) en función de sumas, restas, productos y divisiones de enteros y de raíces (o torres de raíces) racionales (siendo éstas últimas [texx]a_1, a_2, a_3[/texx]) pero, los coeficientes del polinomio podrían no aparecer por ningún lado en estas expresiones, ¿no?
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« Respuesta #7 : 10/07/2019, 12:23:56 pm »

Estaba pensando en algún polinomio concreto con coeficientes racionales que tenga grupo de Galois resoluble.

En el caso general empiezas con un polinomio con coeficientes en [texx]\Bbb Q(a_1, \dots, a_n)[/texx], donde los [texx]a_1, \dots, a_n[/texx] son los coeficientes del polinomio, y lo que estudias es la extensión [texx]K/ \Bbb Q(a_1, \dots, a_n)[/texx] donde [texx]K[/texx] es cuerpo de descomposición del polinomio.

Pero aparte de este cambio, todo funciona igual.
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« Respuesta #8 : 10/07/2019, 03:27:53 pm »

Hola, siento explicarme tan mal.
Mi duda era encaminada a si se puede conseguir, aunque no sea de forma explicita, ver que hay alguna formula para las raíces en función de los coeficientes del polinomio.
Se que con lo que has dicho, es posible siempre expresar las raíces de un polinomio (supongamos con coeficientes en los racionales) resoluble por radicales (en el sentido de la definición algebraica) en función de sumas, restas, productos, divisiones y raíces de números racionales. Lo que preguntaba en la anterior respuesta es si podemos matizar esto para ver como de alguna forma como la expresión de cada raíz sea una función (del tipo dicha) de los coeficientes del polinomio, tal como el caso claro de una ecuación cuadrática.
Es decir, ver que para cada raíz [texx]x_k[/texx] de un polinomio [texx]f(x)=a_0+a_1x+ \cdots + a_nx^n[/texx], existe una función [texx]g_k(y_0, \cdots, y_n)[/texx] (que es del tipo de la fórmula que hemos dicho que existe) y tal que [texx]g_k(a_0,a_1, \cdots, a_n)=x_k[/texx].
Un saludo, y gracias por tu tiempo y paciencia.
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« Respuesta #9 : 11/07/2019, 01:33:50 pm »

No estoy seguro de si no te entiendo bien o tú no me entiendes bien a mí, pero creo que no nos acabamos de entender.

Por ejemplo, si quieres ver que hay fórmulas para las raíces de la ecuación general de grado [texx]3[/texx]:
[texx]a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0[/texx]
lo que haces es considerar [texx]a_0,a_1,a_2,a_3[/texx] como elementos algebraicamente independientes sobre [texx]\mathbb{Q}[/texx] y considerar el polinomio [texx]p(x) = a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/texx] como [texx]p(x) \in \Bbb Q(a_0,a_1,a_2,a_3)
  • [/tex].
    Ahora, sabes que hay un cuerpo de descomposición para este polinomio [texx]K/\Bbb Q(a_0,a_1,a_2,a_3)[/texx] y por teoría de Galois sabes que esta extensión es radical y por tanto, las raíces se puedes obtener a partir de los coeficientes  [texx]a_i[/texx] y números racionales haciendo operaciones elementales y raíces enésimas. Como [texx]p(x)[/texx] es un polinomio concreto, esto te da una fórmula general para todos los polinomios de grado [texx]3[/texx].

    No sé si esto es lo que preguntabas. En cualquier caso, creo que la mejor manera de entender todo esto a fondo es leerselo de algún libro donde esté todo hecho con cuidado.
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« Respuesta #10 : 12/07/2019, 08:28:33 am »

Si, creo que no nos hemos entendido muy bien el uno al otro, pero creo que más o menos lo he entendido ya todo.
Muchas gracias por todas las respuestas  :sonrisa_amplia:
Un saludo.
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