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Autor Tema: Consecuencia lógica: verdadero o falso?  (Leído 450 veces)
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« : 27/04/2019, 01:47:34 am »

Hola, tengo que mostrar si las afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. [texx]Subf(\alpha_1) \models \alpha_3 [/texx] (donde [texx]Subf(\alpha_1)[/texx] son las subformulas de [texx]\alpha_1[/texx])

2. Existe [texx]\beta\in{PROP}[/texx] tal que [texx]\not\models \beta\rightarrow{\alpha_3}[/texx] y [texx]\alpha_1,\alpha_2\models\beta\rightarrow{\alpha_3}[/texx]

donde [texx]\alpha_1 = \neg p_0\rightarrow{(p_1\lor\neg p_2)}[/texx] , [texx]\alpha_2 = p_1 \rightarrow{p_0}[/texx] , [texx]\alpha_3 = p_2 \land \neg p_0[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

1. Acá, me dijeron que tenia que usar que [texx]Subf(\alpha_1)\models\alpha_3 \Leftrightarrow{Sub(\alpha_1)\vdash \alpha_3}[/texx] y haciendo derivaciones llego a que es verdadero (o sea, [texx]Sub(\alpha_1)\vdash \alpha_3[/texx] es verdadero, entonces [texx]Subf(\alpha_1)\models\alpha_3[/texx] es verdadero), pero no entiendo como [texx]Subf(\alpha_1)\models\alpha_3[/texx] es verdadero, ya que [texx]p_o\in{Subf(\alpha_1)}[/texx] y [texx]\neg p_o\in{Subf(\alpha_1)}[/texx], entonces, por la definición de consecuencia lógica para que [texx]v(\alpha_3) = 1[/texx] tendria que cumplirse que [texx]v(p_o)=1[/texx] y [texx]v(\neg p_o)= 1[/texx] (cuando digo [texx]v(x)[/texx] estoy hablando de valuaciones, la definicion exacta está en el link del spoiler), y no entiendo como es posible  :¿eh?:

¿Hay forma de resolverlo sólo usando la definicion de consecuencia lógica?

2. Acá me quedé trancada con [texx]\not\models \beta\rightarrow{\alpha_3}[/texx] (con la otra parte no sé que hacer :triste: )
Decidí demostrar que existe un [texx]\beta[/texx], entonces apliqué la definición de consecuencia lógica para este caso, diciendo que [texx](\forall{v\in{V}})(v(\beta\rightarrow{\alpha_3})=0)[/texx] ([texx]V[/texx] es el conjunto de todas las valuaciones), y no estoy segura si eso esta bien aplicado... ¿sería [texx]\forall{}[/texx] o con un [texx]\exists{}[/texx] alcanza?

Espero me entiendan y puedan ayudarme  :sonrisa:
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 27/04/2019, 08:01:25 am »

pero no entiendo como [texx]Subf(\alpha_1)\models\alpha_3[/texx] es verdadero, ya que [texx]p_o\in{Subf(\alpha_1)}[/texx] y [texx]\neg p_o\in{Subf(\alpha_1)}[/texx], entonces, por la definición de consecuencia lógica para que [texx]v(\alpha_3) = 1[/texx] tendria que cumplirse que [texx]v(p_o)=1[/texx] y [texx]v(\neg p_o)= 1[/texx].

No. Según la definición de [texx]\models[/texx] tienes que probar que si son verdaderas todas las subfórmulas de [texx]\alpha_1[/texx], lo cual significa en particular, que [texx]v(p_0)=1[/texx] y [texx]v(\lnot p_0)=1[/texx], entonces tienes que probar que también [texx]v(\alpha_3)=1[/texx], lo cual es muy fácil: entre las premisas que supones verdaderas están [texx]v(p_2)=1[/texx] y [texx]v(\lnot p_0)=1[/texx], de donde puedes concluir inmediatamente que [texx]v(\alpha_3)=1[/texx].

Lo que tú señalas es que es imposible que  [texx]v(p_0)=1[/texx] y [texx]v(\neg p_0)= 1[/texx], lo cual es cierto, pero la definición de [texx]\models[/texx] no exige que las premisas puedan ser todas verdaderas a la vez. Sólo tienes que suponer que lo son. Con lo que te estás encontrando es con el hecho de que unas premisas contradictorias (es decir, que no pueden ser todas verdaderas a la vez) implican cualquier proposición, porque se cumple trivialmente la definición de [texx]\models[/texx].

De todos modos, mi impresión es que quien ha puesto este problema no se ha dado cuenta de que tanto [texx]p_0[/texx] como [texx]\lnot p_0[/texx] son subfórmulas de [texx]\alpha_1[/texx].

¿Hay forma de resolverlo sólo usando la definicion de consecuencia lógica?

Por supuesto, todo argumento deductivo es equivalente a un argumento semántico, y semánticamente suele ser todo más fácil. En este caso el argumento es el que ya te he dicho: tienes que [texx]v(p_2)=v(\lnot p_0)=1[/texx], y eso implica [texx]v(\alpha_3)=1[/texx].

2. Acá me quedé trancada con [texx]\not\models \beta\rightarrow{\alpha_3}[/texx] (con la otra parte no sé que hacer :triste: )
Decidí demostrar que existe un [texx]\beta[/texx], entonces apliqué la definición de consecuencia lógica para este caso, diciendo que [texx](\forall{v\in{V}})(v(\beta\rightarrow{\alpha_3})=0)[/texx] ([texx]V[/texx] es el conjunto de todas las valuaciones), y no estoy segura si eso esta bien aplicado... ¿sería [texx]\forall{}[/texx] o con un [texx]\exists{}[/texx] alcanza?

Sólo tienes que poner un ejemplo de [texx]\beta[/texx] y comprobar que cumple lo pedido. Prueba con [texx]\beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2[/texx].
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« Respuesta #2 : 27/04/2019, 04:06:45 pm »

Hola, gracias por contestar :sonrisa:

1. Entonces además de que tenga que [texx]v(p_2)=v(\neg p_0)=1[/texx] , ¿puedo decir que es verdadero porque las premisas son contradictorias?

2. ¿Me podrías explicar como construir ese ejemplo?  :¿eh?:
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 27/04/2019, 07:03:38 pm »

1. Entonces además de que tenga que [texx]v(p_2)=v(\neg p_0)=1[/texx] , ¿puedo decir que es verdadero porque las premisas son contradictorias?

En efecto, puedes decir que como las subfórmulas de [texx]\alpha_1[/texx] son contradictorias, cualquier fórmula es consecuencia de ellas.

2. ¿Me podrías explicar como construir ese ejemplo?  :¿eh?:

Para que [texx]\beta[/texx] cumpla [texx]\alpha_1,\alpha_2\models \beta\rightarrow \alpha_3[/texx] necesitas que cuando [texx]\alpha_1, \alpha_2,\beta[/texx] sean verdaderas, también lo sea [texx]\alpha_3[/texx], pero no es difícil ver que si [texx]\alpha_1,\alpha_2[/texx] son verdaderas, entonces [texx]\alpha_3[/texx] es falsa, luego [texx]\beta[/texx] tiene que ser falsa siempre que [texx]\alpha_1[/texx] y [texx]\alpha_2[/texx] sean verdaderas.

Por otra parte, para que se cumpla [texx]\not\models \beta\rightarrow \alpha_3[/texx], es necesario que [texx]\beta[/texx] sea verdadera en algún caso en el que [texx]\alpha_3[/texx] sea falsa.

En resumen, las condiciones requeridas son [texx]\beta[/texx] tiene que ser verdadera en un caso en el que sean falsas [texx]\alpha_3[/texx] y alguna de las dos fórmulas [texx]\alpha_1[/texx] y [texx]\alpha_2[/texx], y sea falsa siempre que [texx]\alpha_1[/texx] y [texx]\alpha_2[/texx] sean verdaderas.

El caso más simple consiste en que [texx]\beta[/texx] sea verdadera exactamente en un caso en que  sean falsas [texx]\alpha_3[/texx] y alguna de las dos fórmulas [texx]\alpha_1[/texx] y [texx]\alpha_2[/texx] y que sea falsa en todos los demás casos. Esto nos lleva a definir [texx]\beta = *p_0\land *p_1\land *p_2[/texx], donde los asteriscos indican que hay que poner un [texx]\lnot[/texx] o nada.

Es fácil ver que si [texx]p_0[/texx] es verdadera, entonces [texx]\alpha_1[/texx] y [texx]\alpha_2[/texx] son verdaderas, luego tiene que ser [texx]\beta = \lnot p_0\land *p_1\land *p_2[/texx]. Pero si [texx]p_2[/texx] es verdadera, tenemos [texx]\lnot p_0\land p_2[/texx], luego [texx]\alpha_3[/texx] es verdadera, junto lo contrario de lo que queremos, luego tiene que ser [texx]\beta = \lnot p_0\land *p_1\land \lnot p_2[/texx].

Así sólo quedan dos opciones, y es fácil ver que [texx]\beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2[/texx] cumple todos los requisitos.

Si no quieres ir tanteando así, puedes hacerte la tabla de verdad de [texx]\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3[/texx] con las ocho posibilidades para las tres variables y comprobar que el único caso que hace falsa a [texx]\alpha_3[/texx] y a una de las otras dos fórmulas es precisamente [texx]v(p_0)=0, v(p_1)=1, v(p_2)=0[/texx].

De todos modos, ten presente que no necesitas explicar nada de esto en una solución del problema. Basta con que digas: tomamos [texx]\beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2[/texx]  y vamos a comprobar que cumple lo requerido.
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« Respuesta #4 : 27/04/2019, 07:21:02 pm »


De todos modos, ten presente que no necesitas explicar nada de esto en una solución del problema. Basta con que digas: tomamos [texx]\beta = \lnot p_0\land p_1\land \lnot p_2[/texx]  y vamos a comprobar que cumple lo requerido.

Bien, pero queria saberlo para tener una idea en futuros ejercicios  :sonrisa_amplia:

¡Gracias!
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