22/09/2019, 03:20:03 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1] 2 3   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Cambio de variable en integrales  (Leído 1088 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« : 25/04/2019, 12:19:13 pm »

Hola, estaba viendo métodos de sustitución en integrales y me gustaría entenderlos sin usar el concepto de diferencial, ya por lo que se para que tenga sentido habría que definir los números hiperreales

Hay un cambio de variable que es

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du = F(u) +c = F(g(x)) +c[/texx]
, donde u=g(x)

Que se puede entender fácilmente aplicando la regla de la cadena


Pero luego está este cambio de variable

[texx]\displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du = F(g(u)) + c = F(x) + c[/texx]

, donde x=g(u) y por tanto  [texx]u = g^{-1} (x) [/texx]

Y este cambio de variable no lo comprendo sin el uso de diferenciales. No se si el problema es que veo a u como una función y en la integral actúa como una variable, ya que no si u actúa como función, [texx][g(u)]' = g'(u) u' [/texx] y u' solo es 1 si u es una variable (o si [texx]g^{-1}(x)=x+c[/texx])
Pero si es así no entiendo como una función puede actuar como variable


En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Conectado Conectado

España España

Mensajes: 1.587


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 25/04/2019, 12:55:00 pm »

Los dos casos que pones son iguales, lo que haces en el segundo es buscar un [texx]g[/texx] que te sirva, pero es exactamente lo mismo. No necesitas ni el concepto de diferencial ni a los hiperreales para eso, te basta con la regla de la cadena y comprobar su validez usando el teorema fundamental del cálculo.

Es decir, esa fórmula de cambio de variable es un teorema que se verifica con el teorema fundamental del cálculo, ya que tienen las mismas primitivas, teniendo en cuenta que [texx]g(u)=x[/texx].

AÑADO: he interpretado el contexto de una integral de Riemann en la recta real. Para integrales en variedades o más generales sí que necesitarías el concepto de diferencial.
En línea
ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 25/04/2019, 02:04:31 pm »

Pero ... ¿quien te ha dicho que para trabajar con diferenciales necesitas entender los números hiperreales? Eso es totalmente falso. Yo llevo toda mi vida trabajando con diferenciales, los entiendo y jamas he estudiado los números hiperreales. Falso, no se de donde te has sacado eso.
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 25/04/2019, 02:19:06 pm »

Los dos casos que pones son iguales, lo que haces en el segundo es buscar un [texx]g[/texx] que te sirva, pero es exactamente lo mismo. No necesitas ni el concepto de diferencial ni a los hiperreales para eso, te basta con la regla de la cadena y comprobar su validez usando el teorema fundamental del cálculo.


Pero para aplicar la regla de la cadena u tiene que ser una variable y como x=g(u), x es una función.

Y este cambio de que la variable x pase a ser una función de otra variable es el que no entiendo.


Pero ... ¿quien te ha dicho que para trabajar con diferenciales necesitas entender los números hiperreales? Eso es totalmente falso. Yo llevo toda mi vida trabajando con diferenciales, los entiendo y jamas he estudiado los números hiperreales. Falso, no se de donde te has sacado eso.

Para trabajar con ellos no tengo por qué entenderlos, pero si quiero entender el cambio de variable usando diferenciales tendría que entender primero los diferenciales.
En línea
ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 25/04/2019, 02:23:32 pm »

Claro, pero para entender los diferenciales no hace falta saber absolutamente nada sobre los números hiperreales, ¿quien te ha dicho eso? Los diferenciales, el calculo diferencial y el calculo integral se estudian habitualmente en el campo de los numeros reales, y no tienen absolutamente nada que ver con los numeros hiperreales.
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Conectado Conectado

España España

Mensajes: 1.587


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 25/04/2019, 02:33:03 pm »

Los dos casos que pones son iguales, lo que haces en el segundo es buscar un [texx]g[/texx] que te sirva, pero es exactamente lo mismo. No necesitas ni el concepto de diferencial ni a los hiperreales para eso, te basta con la regla de la cadena y comprobar su validez usando el teorema fundamental del cálculo.


Pero para aplicar la regla de la cadena u tiene que ser una variable y como x=g(u), x es una función.

Y este cambio de que la variable x pase a ser una función de otra variable es el que no entiendo.

Empiezo a entender por dónde van los tiros. El valor [texx]x[/texx] es la imagen de la función [texx]g[/texx] en [texx]u[/texx], siendo [texx]u[/texx] un punto del dominio de [texx]g[/texx]. Se puede expresar así también [texx]u\overset{g}{\mapsto} x[/texx], donde la flechita significa mapa o función.

Entonces lo que ocurre es que estás mapeando los valores de [texx]x[/texx] a través de una función [texx]g[/texx], a eso también se le llama parametrizar. Fíjate que [texx]x[/texx], como variable, representa los valores de la región de integración. Para que lo veas más claro podemos usar una integral definida, sea

[texx]\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx[/texx]

entonces ahí [texx]x[/texx] toma los valores que van desde [texx]a[/texx] hasta [texx]b[/texx], ambos inclusive (entendiendo que estamos usando una integral de Riemann). Por tanto el mapa [texx]g[/texx] lo que hace es hacer que se tomen esos valores a través de otra región distinta dentro del dominio de ese mapa, pero se toman los mismos valores.

Lo que la regla de la cadena nos muestra es que no es suficiente con integrar [texx]f(g(u))[/texx] sino que hay que multiplicar también por la derivada de [texx]g[/texx] que representa la forma en la que se van dando los valores [texx]g(u)[/texx]. No sé si ahora lo ves más claro.

Cuando decía que no necesitas los diferenciales o los infinitesimales es porque, con la definición clásica de la integral de Riemann no necesitas complicarte tanto. La definición clásica de la integral de Riemann es el límite de una sucesión de sumas de Riemann, donde cada suma de Riemann representa una aproximación del valor del área bajo la gráfica de [texx]f[/texx] aproximada por rectángulos. En ese contexto no hace falta darle un significado al símbolo [texx]dx[/texx] más que el de señalar la variable independiente que toma valores en la región de integración.
En línea
ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 25/04/2019, 02:47:03 pm »

La integral de Rieman esta bien para calcular integrales definidas, pero los diferenciales no tienen nada que ver con dicha integral, si quiere aprender sobre cálculo diferencial tendrá que entender que cosa son los diferenciales, pero ninguna de las dos cosas tienen relación alguna con los números hiperrales, que pertenecen a una rama de las matematicas que se llama análisis no estandard, y que esta completamente fuera del análisis estandard, que es el que se utiliza en el cálculo. Por favor, estas cosas confunden a los principiantes y hacen mucho daño, aunque no lo parezca.

El analisis estandard utiliza la lógica matemática, la del tercero excluido, la de Aristóteles, la que han utilizado los matemáticos toda la vida. El análisis no estandar tuvo que desarrollar una nueva lógica para poder sacarse de la manga los números hiperreales, y sacarlos a colación en el estudio del cálculo solo demuestra un gran desconocimiento por parte de quien habla de ello, mucho más si lo hace ante un auditorio de gente que esta empezando a estudiar cálculo.

Por favor un poco de sensatez, proporción y medida.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.367



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 25/04/2019, 05:25:04 pm »



[texx]\displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du = F(g(u)) + c = F(x) + c[/texx]

, donde x=g(u) y por tanto  [texx]u = g^{-1} (x) [/texx]

Y este cambio de variable no lo comprendo sin el uso de diferenciales.


Hola.

Si tienes

[texx]\int f(g(u))g'(u)du
 [/texx]

[texx]g^{\prime}(u)=\dfrac{d(g(u))}{du}
 [/texx] es simplemente una derivada, como cuando tienes [texx]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(f(x))}{dx}
 [/texx], sólo son otras letras.

Entonces, lo podemos escribir así

[texx]\int f(g(u))g'(u)du=\int f(g(u))\dfrac{d(g(u))}{du}du
 [/texx]

Donde “du”, que aparece en el numerador y en el denominador, es un valor que tiende a cero. Pero como es el mismo “du” arriba que abajo, el limite es [texx]\dfrac{du}{du}=1
 [/texx] (igual que cuando x tiende a cero y tienes [texx]\dfrac{x}{x}=1
 [/texx]; por muy pequeño que sea el número, si son iguales, el cociente es 1, es independiente del valor del número o la “cosa” que sea eso. Y 1 es un número real que no te da ningún problema; y aún menos que otros, porque es el neutro).

Por tanto queda

[texx]\int f(g(u))d(g(u))\cdot1=\int f(g(u))d(g(u))
 [/texx]

Así pues

[texx]x=g(u)
 [/texx] y, como no podía ser de otra manera, [texx]dx=d(g(u))
 [/texx].

O sea, que es lo mismo que esto [texx]\int f(x)dx
 [/texx] escrito con otros garabatos

La letra x ahí imagino que puede tener una representación muy general, puede ser simplemente “x” o en otro caso a lo mejor podría estar representando lo que en una primitiva concreta podría ser, por ejemplo, [texx]x^{2}
 [/texx] (o cualquier otra función) de forma que “u” sería “x” en ese caso; está escrito de forma muy general, las letras dan mucho de sí. No te preocupes por eso porque en los problemas de verdad no te va a causar ningún contratiempo.

Saludos.

En línea

DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 25/04/2019, 06:03:05 pm »

si quiere aprender sobre cálculo diferencial tendrá que entender que cosa son los diferenciales, pero ninguna de las dos cosas tienen relación alguna con los números hiperrales, que pertenecen a una rama de las matematicas que se llama análisis no estandard, y que esta completamente fuera del análisis estandard

A ver yo lo de los hiperreales lo digo porque dx no es un número real, sino uno infinitesimal y esos números sólo se estudian con los hiperreales. Ahora el concepto de diferencial lo entiendo. Informalmente, dx es un intervalo muy pequeño de x y dy es el intervalo pequeño de y que se forma en el intervalo dx.





Para que lo veas más claro podemos usar una integral definida, sea

[texx]\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx[/texx]

entonces ahí [texx]x[/texx] toma los valores que van desde [texx]a[/texx] hasta [texx]b[/texx], ambos inclusive (entendiendo que estamos usando una integral de Riemann). Por tanto el mapa [texx]g[/texx] lo que hace es hacer que se tomen esos valores a través de otra región distinta dentro del dominio de ese mapa, pero se toman los mismos valores.


Entonces aquí el dominio de x debe ser igual al rango de g(u)

Osea si x debe escoger valores entre a y b, g(u) debe escoger valores entre a y b y u tiene que coger valores de forma que se cumpla que g(u) está entre a y b.

Pero al tomar la derivada de g(u) se toma de forma que u está ordenada (en este ejemplo u tomaría los valores entre a y b) y no de forma que la que está ordenada es g(u)

Hay algo que no comprendo y no se el qué






Si tienes

[texx]\int f(g(u))g'(u)du
 [/texx]

[texx]g^{\prime}(u)=\dfrac{d(g(u))}{du}
 [/texx] es simplemente una derivada, como cuando tienes [texx]\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(f(x))}{dx}
 [/texx], sólo son otras letras.

Entonces, lo podemos escribir así

[texx]\int f(g(u))g'(u)du=\int f(g(u))\dfrac{d(g(u))}{du}du
 [/texx]

Donde “du”, que aparece en el numerador y en el denominador, es un valor que tiende a cero. Pero como es el mismo “du” arriba que abajo, el limite es [texx]\dfrac{du}{du}=1
 [/texx] (igual que cuando x tiende a cero y tienes [texx]\dfrac{x}{x}=1
 [/texx]; por muy pequeño que sea el número, si son iguales, el cociente es 1, es independiente del valor del número o la “cosa” que sea eso. Y 1 es un número real que no te da ningún problema; y aún menos que otros, porque es el neutro).

Por tanto queda

[texx]\int f(g(u))d(g(u))\cdot1=\int f(g(u))d(g(u))
 [/texx]

Así pues

[texx]x=g(u)
 [/texx] y, como no podía ser de otra manera, [texx]dx=d(g(u))
 [/texx].

O sea, que es lo mismo que esto [texx]\int f(x)dx
 [/texx] escrito con otros garabatos



Aquí lo único que tendría que aceptar la definición de derivada como división de diferenciales.

Y por otra parte, sigo con el problema de no entender como u puede ser una variable y g(u) [=x] ser otra variable.(De hecho, creo que ese problema es la clave de mi falta de entendimiento)
En línea
ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 25/04/2019, 06:11:29 pm »

¿Quien dice que [texx]dx[/texx] no es un número real? es tan real como puedan serlo el numero [texx]8[/texx] ó [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] y lo mismo pasa con [texx]dy[/texx] son funciones o variables definidas en el campo real y por supuesto que toman valores reales. Estás muy confundido con los diferenciales. Tienes un error de concepto y grave, debes tratar de corregirlo, si no nunca vas a aprender cálculo diferencial.

Te pongo aqui un texto extraido de Wilkipedia:

En matemática, el término diferencial posee varios significados:

1.- En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa un cambio en la linealización de una función.
2.- Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...) es interpretado como un infinitesimal.
3.- La diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rn en Rm (especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).


El segundo punto lo dice muy claramente, son infinitésimos. Concretamente:

[texx]dx[/texx] es un infinitésimo equivalente a [texx]\Delta x[/texx]
[texx]dy[/texx] es un infinitésimo equivalente a [texx]\Delta y[/texx]

y por supuesto que todos ellos definidos en el campo de los números reales.

etc.
En línea
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Conectado Conectado

España España

Mensajes: 1.587


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 25/04/2019, 06:19:17 pm »


Para que lo veas más claro podemos usar una integral definida, sea

[texx]\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx[/texx]

entonces ahí [texx]x[/texx] toma los valores que van desde [texx]a[/texx] hasta [texx]b[/texx], ambos inclusive (entendiendo que estamos usando una integral de Riemann). Por tanto el mapa [texx]g[/texx] lo que hace es hacer que se tomen esos valores a través de otra región distinta dentro del dominio de ese mapa, pero se toman los mismos valores.

Entonces aquí el dominio de x debe ser igual al rango de g(u)

Más bien que [texx][a,b][/texx] esté contenida en el rango de [texx]g[/texx]. O si vemos la [texx]x[/texx] como una función entonces diríamos que [texx][a,b][/texx] debería estar contenido en el dominio de la función.

Cita
Osea si x debe escoger valores entre a y b, g(u) debe escoger valores entre a y b y u tiene que coger valores de forma que se cumpla que g(u) está entre a y b.

Exactamente.

Cita
Pero al tomar la derivada de g(u) se toma de forma que u está ordenada (en este ejemplo u tomaría los valores entre a y b) y no de forma que la que está ordenada es g(u)

¿A qué te refieres con que [texx]u[/texx] esté "ordenada"?

Cita
Hay algo que no comprendo y no se el qué

Creo que quieres ver la integral de una manera determinada, que no está muy clara aún, pero yo no sé qué más puedo decirte. Simplemente observa, como te dije al principio, que ambos casos que ponías al inicio son exactamente el mismo caso, si entiendes uno entiendes el otro, ya que es el mismo.



Por otro lado el símbolo [texx]dx[/texx] puede representar muchas cosas. En el cálculo clásico de Leibniz se veía como un valor infinitesimal, que en aquella época no creo que estuviese formalmente definido. Actualmente eso no es lo común, lo común es el concepto moderno de diferencial que es un funcional en el espacio tangente asociado a cada punto de la región de integración.

Por otro lado se ha formalizado la idea de infinitesimal con los números hiperreales, en el llamado análisis no estándar, pero no conozco ese contexto ni sabría decirte como aplicarlo a la integral de Riemann (o al símil dentro de esa teoría).

Pero en el caso de la teoría de integración de Riemann en la recta real son ambos conceptos innecesarios. El concepto de diferencial es necesario inicialmente al generalizar la integral de Riemann a espacios de mayor dimensión.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.367



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 25/04/2019, 06:22:35 pm »


Aquí lo único que tendría que aceptar la definición de derivada como división de diferenciales.

División no es buena palabra. Pero piensa en dos partículas muy pequeñas, todo lo que quieras; ¿hay impedimento en que una sea el doble de grande que la otra? En ese caso el cociente será 2 o 1/2, según la colocación en la fracción, sin importar el valor; mientras se pueda resolver el límite no habrá problema. Y en otros casos te dará otro número, 5 ó 6,5 o lo que sea, pero un número real, la derivada siempre es un número real.


Cita
Y por otra parte, sigo con el problema de no entender como u puede ser una variable y g(u) [=x] ser otra variable.(De hecho, creo que ese problema es la clave de mi falta de entendimiento)

Pues yo no puedo profundizar ahí, pero personalmente no le doy importancia, son cosas "gráficas", lo importante es su significado.

Saludos.
En línea

DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #12 : 25/04/2019, 06:36:27 pm »

¿Quien dice que [texx]dx[/texx] no es un número real? es tan real como puedan serlo el numero [texx]8[/texx] o [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] y lo mismo pasa con [texx]dy[/texx] son funciones o variables definidas en el campo real y por supuesto que toman valores reales. Estás muy confundido con los diferenciales. Tienes un error de concepto y grave, debes tratar de corregirlo, si no nunca vas a aprender cálculo diferencial.


Wikipedia. Dice que dx es un número infinitesimal y que los números hiperreales permiten incluirlos.
También dice que un infinitesimal en análisis estándar se define como
[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)}=0[/texx]
y significa que x tiene un infinitesimo en x=a



Simplemente observa, como te dije al principio, que ambos casos que ponías al inicio son exactamente el mismo caso, si entiendes uno entiendes el otro, ya que es el mismo.

El problema es que en la que entendía la entendía pensando en u como una función y no una variable, así que tecnicamente entiende como funciona, pero no como funciona esa sustitución




¿A qué te refieres con que [texx]u[/texx] esté "ordenada"?


Pues basicamente que en la grafica los valores esten en orden, como si fuera la variable x. Pero eso llevaría a que las gráficas f(x) = f(u). Pero entonces f(u) = f(g(u))


Pero como u debe escoger valores para que g(u) =x los valores de la variable u serían los mismo que los de la funcion [texx]g^{-1}(x)[/texx]



División no es buena palabra. Pero piensa en dos partículas muy pequeñas, todo lo que quieras; ¿hay impedimento en que una sea el doble de grande que la otra? En ese caso el cociente será 2 o 1/2, según la colocación en la fracción, sin importar el valor; mientras se pueda resolver el límite no habrá problema. Y en otros casos te dará otro número, 5 ó 6,5 o lo que sea, pero un número real, la derivada siempre es un número real.


Eso lo entiendo, más formalmente sería el intervalo de y entre el de x cuando el de x tiende a 0.osea la definición de derivada. Lo que decía es que al multiplicar y dividir estos valores se opera con diferenciales, que son valores infinitesimales. Pero si consigo entender esto con el concepto de diferencial no me importa. Aun así el problema en ambos casos es lo que he dicho, que si u es variable no entiendo como g(u) también lo es.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.367



Ver Perfil
« Respuesta #13 : 25/04/2019, 06:58:34 pm »

Aun así el problema en ambos casos es lo que he dicho, que si u es variable no entiendo como g(u) también lo es.

Pues seguro, seguro, no te puedo decir, pero pienso que es lo que comentaba.

Si [texx]\int xdx
 [/texx], donde x es una simple variable que toma números reales, [texx]x=g(u)
 [/texx] no significa más que x en ese caso, la “u” quedará para cuando exista una variable “u” que se pueda conocer al igual que la función “x”. Eso es lo que creo, que es simplemente una notación “elástica” interpretable según los casos, pero espera a ver qué dice alguien que lo sepa.

Saludos.
En línea

feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.367



Ver Perfil
« Respuesta #14 : 25/04/2019, 09:02:53 pm »


A ver yo lo de los hiperreales lo digo porque dx no es un número real, sino uno infinitesimal y esos números sólo se estudian con los hiperreales.


Cuidado aquí, todos los los infinitesimales son el mismo número real, el cero. Por eso no son un conjunto aparte y se dice que son una extensión de los reales. Cero es el único valor que podemos manejar de estos números; luego, sí nos dan noticias de que unos son más grandes o más pequeños que otros, como con la derivada, pero no podemos manejar esos valores; se conocen entre ellos nada más, para nosotros cualquier infinitesimal es el cero.

Buenas noches.
En línea

ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #15 : 26/04/2019, 03:31:45 am »

Los infinitésimos, y los números infinitesimales son cosas distintas, vamos por partes.

Los infinitésimos son funciones de números reales que se contemplan en un proceso de paso al límite, en el que tienden a 0. Lo mismo ocurre con los infinitos pero estos son cuando su límite es infinito.

Los números infinitesimales son otra cosa y éstos si tienen relación con los números hiperreales, pero no hay que confundir una cosa con la otra.

En cálculo se supone que siempre estamos en el conjunto de los números reales, se habla siempre de los  infinitésimos, es decir, [texx]dx[/texx] y [texx]dy[/texx] representan sendos infinitésimos, por lo que son siempre funciones de números reales que tienden a 0 en el proceso de paso al límite en el que se contemplan, que puede ser el cálculo de una derivada o de una integral, sin más.

Hay mucha confusión en este asunto por lo visto.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.777


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 26/04/2019, 05:20:47 am »

Hola

 mmmmm... se han dicho muchas cosas en este hilo. Casi no se ni por donde empezar.

Hola, estaba viendo métodos de sustitución en integrales y me gustaría entenderlos sin usar el concepto de diferencial, ya por lo que se para que tenga sentido habría que definir los números hiperreales

¿Cuándo dices "entenderlos", te refieres a ver una demostración rigurosa? ¿Saber aplicarlos? ¿Tener una idea intuitiva de por qué funcionan?.

Cita
Hay un cambio de variable que es

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du = F(u) +c = F(g(x)) +c[/texx]
, donde u=g(x)

Que se puede entender fácilmente aplicando la regla de la cadena

Pero luego está este cambio de variable

[texx]\displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du = F(g(u)) + c = F(x) + c[/texx]

¡Y qué diferencia hay entre uno y otro!.

En el primero tienes la igualdad:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du[/texx]

en el segundo:

[texx]\displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du[/texx]

¿Es distinto escribir [texx]a=b[/texx] que [texx]b=a[/texx]?. No, es lo mismo. Entonces el segundo es lo mismo que:

[texx] \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx[/texx]

¿Y ahora cambia el sentido de la expresión por cambiar el nombre de las variables? ¿Ves alguna diferencia en estas expresiones?.

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du[/texx]

[texx] \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx[/texx]

[texx] \displaystyle\int f(g(romeo)) g'(romeo) d(romeo)=\displaystyle\int_{}f(julieta) d(julieta)[/texx]

Incluso sería correcto escribir:

[texx]\displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(x) dx[/texx]



En cuanto al dx que aparece al final de las integrales; en principio y para la integral de Riemann, es un garabato esencialmente inncesario. Si acaso sirve de notación para recordar cuál es la variable de la función que estamos integrando si está tuviese varios parámetros. Y punto. No hace falta el garabato para enunciar y demostrar el Teorema de Cambio de variable. Mira aquí como está enunciado y demostrado (para funciones continuas) sin tal garabato:

https://ocw.unican.es/pluginfile.php/608/course/section/577/MCP7-CV-w.pdf

Para otras integrales que generalizan la de Riemann es una notación que puede recordar respecto a que medida estamos integrando (Lebesgue) o respecto a que función integradora operamos (Riemann-Stieltjes); incluso específicandolo antes tampoco sería imprescindible.

Finalmente cuando se estudia la integrales en variedades y se usan para ellos formas diferenciales, ahora si esos [texx]dx[/texx] cobran protagonismo y significan algo.

Otra cosa es que ese simbolito "evoque" algo "pequeñito" que recuerde que la integral de Riemann es un límite de sumas de rectangulitos con altura la función y base cada vez más "chiquita" o que esa notación sea útil para recordar ciertas fórmulas relacionadas con cambio de variable o por partes. Pero no dejan de ser cuestiones de utilidad subjetiva y secundaria.

Respecto a eso que hizo feriva de "dividir" diferenciales... olvídalo. Es decir intuitivamente puede ayudarte a entender (subjetivo), pero formalmente ese tipo de razonamientos te puede llevar a error.

Sobre el concepto de diferencial se ha discutido mucho en el foro (con cierto calor a veces  :cara_de_queso:). Te remito a este hilo donde a su vez se enlazan otros:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=51685.0

Saludos.
En línea
ciberalfil
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 170



Ver Perfil
« Respuesta #17 : 26/04/2019, 06:09:33 am »

Por aportar algo mas a este hilo, aunque ya se ha dicho quizás demasiado.

Podemos suponer que las notaciones:

[texx] \displaystyle\frac{dy}{dx}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle\int_{a}^{b}y(x)dx[/texx]

son simplemente símbolos que representan ciertas operaciones bien definidas con límites, concretamente el concepto de derivada y la integral de Riemman. Puede aceptarse esa interpretación, pero entonces cabe una pregunta:

1.- ¿que es lo que estamos diciendo cuando escribimos lo siguiente?

[texx]dy=y'(x)dx=?[/texx]

Desde luego eso es una expresión matemática y debe poder tomar valores numéricos, ahora bien que tipo de valores toma, toma valores en el campo real, complejo, hiperreal, otro tipo que no alcanzo a ver?

¿Alguien sabe contestar a esa pregunta?

Pondré aquí mi respuesta, que es la primera, en mi modesta opinión toma valores en el campo real, pero imagino que habrá otras opiniones.

Y aún hay una segunda pregunta

2.- ¿es un número o una variable?

es decir toma un único valor numérico, representa un número o puede tomar mas de uno, es decir es una función de algún tipo.

Mi respuesta a esta segunda pregunta es que puede tomar infinitos valores en el campo rea, pero igual hay otras opiniones mas autorizadas que la mía.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.367



Ver Perfil
« Respuesta #18 : 26/04/2019, 07:34:39 am »

Por aportar algo mas a este hilo, aunque ya se ha dicho quizás demasiado.

Podemos suponer que las notaciones:

[texx] \displaystyle\frac{dy}{dx}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle\int_{a}^{b}y(x)dx[/texx]

son simplemente símbolos que representan ciertas operaciones bien definidas con límites, concretamente el concepto de derivada y la integral de Riemman. Puede aceptarse esa interpretación, pero entonces cabe una pregunta:

1.- ¿que es lo que estamos diciendo cuando escribimos lo siguiente?

[texx]dy=y'(x)dx=?[/texx]

Desde luego eso es una expresión matemática y debe poder tomar valores numéricos, ahora bien que tipo de valores toma, toma valores en el campo real, complejo, hiperreal, otro tipo que no alcanzo a ver?

¿Alguien sabe contestar a esa pregunta?


Hola, ciberalfil; doy mi opinión, que viene a ser lo que dije en la última respuesta.

Por lo que tengo visto y oído por aquí (no soy matemático ni científico ni nada) eso es 0=0; pero el factor “y prima” puede ser cualquier real (también cero) éste variará según varíen “dy” y “dx” en su “segundo mundo”, que no es el mundo de los reales, en el de los reales todos tienen el mismo valor constante, cero.

Pero puede que no lo tenga entendido del todo bien, no digo que no; no obstante, no me preocupa decir qué es lo que entiendo, porque cuando digo algo mal siempre me corrige alguien y así voy aprendiendo :sonrisa:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
En línea

Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.777


Ver Perfil
« Respuesta #19 : 26/04/2019, 08:27:40 am »

Hola

1.- ¿que es lo que estamos diciendo cuando escribimos lo siguiente?

[texx]dy=y'(x)dx=?[/texx]

Te remito al enlace que puse antes. Si no quieres leer todo en lo siguiente está explícitamente contestada tu pregunta:

Hola Jabato, Igual me da gusto  :sonrisa_amplia:.

El precio que se paga al  responder a esta pregunta, sin la rigurosidad que se requiere para ser 100% claro y no dejar ambigüedades, es, precisamente, que se dejan ambigüedades, Y estas cuestan caro...


Trataré, sin embargo, de dar una respuesta a tus preguntas.  Ojalá lo logre.

1) dx es una función, pero no una función de los reales a los reales, es una función lineal  de un espacio vectorial a los reales, es lo que se llama, un funcional linea.   

Centremonos en  el conjunto [texx]\mathbb{R}^3[/texx], tomemos un punto [texx]p\in \mathbb{R}^3[/texx]    y consideremos todos los vectores en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] que tienen base en el punto [texx]p[/texx]. En términos geométricos esto es considerar [texx]R^3[/texx] pero poniendo el origen en el punto [texx]p[/texx].  Este es el espacio tangente a [texx]p[/texx] que denotaré por [texx]\mathbb{R}^3_p[/texx].

Nota que en realidad [texx]\mathbb{R}^3 \cong \mathbb{R}^3_p[/texx] como espacios vectoriales.

Un elemento  [texx]v_p\in \mathbb{R}^3_p[/texx] se puede escribir en sus coordenadas (en la base canónica) como [texx]v= (v_x,v_y,v_z) [/texx] donde los [texx]v-x, v_y, v_z[/texx] son números reales.  Por ejemplo si [texx]v=(1,\sqrt 2,3)[/texx] entonces [texx]v_y=\sqrt 2[/texx].

Ahora define [texx]dx_p: \mathbb{R}^3_p \to \mathbb R  [/texx] por [texx]dx_p(v)= v_x[/texx]
 y análogamente [texx]dy_p[/texx] y [texx]dz_p[/texx].   (Es ni mas ni menos la base  dual de la báse canónica del espacio vectorial [texx]\mathbb{R}^3_p[/texx].

Geométricamente este [texx]dx_p[/texx] me regresa el valor de la coordenada [texx]x[/texx] de un segmento de recta dirigido que tiene base en el punto [texx]p[/texx].

Así por ejemplo si tengo una recta [texx]L[/texx] que pasa por [texx]p[/texx] y tiene vector director [texx]v[/texx] puedo escribir [texx]v=(dx_p(v),dy_p(v),dz_p(v))=(a,b,c)[/texx] y entonces la recta se parametriza como [texx]p+t((dx_p(v),dy_p(v),dz_p(v)))[/texx].

Ahora, definimos [texx]dx [/texx] como la función que a cada [texx]p\in \mathbb{R}^3[/texx] y a cada vector [texx]v\in \mathbb{R}^3[/texx] le asocia lel valor  [texx]dx_p(v)[/texx] (una vez que hemos identificado [texx]v\in \mathbb{R}^3[/texx] con su respectivo [texx]v\in \mathbb{R}^3_p[/texx].

Es decir
[texx]dx: \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}; \quad  dx(p, v)= dx_p(v)[/texx]

Fijate ahora, que como estamos trabajando con puntos [texx]p\in \mathbb {R}^3[/texx] entonces la función [texx]dx[/texx] no depende realmente del punto [texx]p[/texx], y sólo depende del vector [texx]v\in \mathbb{R}^3[/texx], así que se puede considerar (pero sólo en casos como este) que [texx]dx[/texx] es una función que le asocia a cada vector [texx]v\in \mathbb {R}^3[/texx] su coordenada [texx]x[/texx] (en la base adecuada). Esto es
[texx]dx(v)=v_x[/texx]

Bien, esto responde, en el caso de [texx]\mathbb R^3[/texx] lo que significa [texx]dx[/texx] (y análogmanete [texx]dy, dz[/texx].  Es una función que toma valores en "vectores" y no en puntos, y regresa reales.

Así tenemos que podemos interpretar a la terna [texx]dx, dy, dz[/texx] como una base del espacio dual [texx]\Omega_1:= (\mathbb R^3)^*[/texx], es decir, los elementos de [texx]\Omega_1[/texx] son las llamadas 1-formas y se escriben como:
 
[texx]w= adx+bdy+cdz[/texx]

Ejemplo:  Sea [texx]w=3dx-4dz[/texx] entonces puedo tomar el vector [texx]v=(1,1,2)[/texx] y evaluar [texx]w(v)= 3-4(2)= -3[/texx].

Ahora vemos qué tiene que ver todo esto con lo que se  enseña  en cálculo:

Primero en [texx]\mathbb {R}[/texx]., Queda claro que lo que hicimos para [texx]\mathbb {R}^3[/texx] también lo podemos hacer para [texx]\mathbb {R}[/texx] y de hecho para [texx]\mathbb R^n[/texx].

Dada una función diferenciable  [texx]y=f(x)[/texx]. Queremos calcular  la mejor aproximación lineal a la curva en el punto [texx]p=(x_0,y_0)[/texx].  ¿Qué hacemos?  pues calculamos su derivada [texx]f'(p)[/texx] que sabemos que es la pendiente de la recta tangente en ese punto
y entonces uso a la recta tangente por ese punto:
[texx]y=  y_0 + f'(p)(x-x_0)  [/texx]

para calcular un valor "cercano" al punto [texx]p[/texx] podemos mejor calcular el valor correspondiente en la recta, y obtener una buena aproximación.

La cosa aquí es justo eso. "¿qué quiere decir valor cercano?"  Eso lo explicamos normalmente diciendo que nos tomamos un incremento [texx]\Delta x[/texx]  de [texx]x[/texx] y calculamos  valor sobre la recta tangente en el punto [texx]x_0+\Delta x[/texx] y obtenemos un valor aproximado de [texx]y=f(x_0+\Delta x)[/texx], al que denotamos por [texx]y_0+\Delta y[/texx] y entonces:

[texx]y \sim  y_0+\Delta y = y_0+ f'(p)(\Delta x ) [/texx] De donde conluimos que [texx]\Delta y = f'(p) \Delta x[/texx].

Ahora bien, ¿Qué cosa es esto de [texx]\Delta x[/texx] y [texx]\Delta y[/texx]? 
Ah! pues [texx]\Delta x[/texx] es la coordenada en [texx]\mathbb R[/texx] de un vector tangente (de dimensión 1)  a [texx]x_0[/texx]. En otras palabras.  si dibujo una flechita, basada en [texx]x_0[/texx] de longitud [texx]\Delta x[/texx] y en la dirección en que quiero incrementar [texx]x_0[/texx], obtengo un vector [texx]v=(\Delta x)[/texx] en el espacio tangente a [texx]x_0[/texx].

Usando lo anterior vemos que entonces [texx]dx(v) = \Delta x[/texx]  y esto me da la relación que querías entre [texx]dx[/texx]  y [texx]\Delta x[/texx], al menos para el caso [texx]\mathbb R^1[/texx].

Luego [texx]\Delta y[/texx] lo obtengo aplicando la tansromación linea que denotaré por [texx]df[/texx] o por [texx]dy[/texx] dada por
 
[texx]df: \mathbb R \to \mathbb R; \quad  t \mapsto (f'(p))t[/texx] al vector [texx](\Delta x) [/texx].

En otras palabras [texx]df =dy[/texx] es la aplicación lineal tal que [texx]dy= f'(p)dx[/texx].

Esto deja ver que toda función [texx]f:\mathbb R \to \mathbb R[/texx] induce una aplicación lineal entre el espacio vectorial de 1-formas [texx]df: \Omega_1 \to \Omega_1[/texx]. Se tiene que
[texx]\Delta y = dy(\Delta x)= f'(p)dx((\Delta x))=f'(p)\Delta x. [/texx]

Bueno, fue mucho por hoy... regreso a trabajar, pero sigo por aquí para continuar luego....

Con esto ya algo se deja ver, la relación entre lo que se enseña en cálculo y lo que formalmente significa [texx]dx[/texx]...  Lamentablemente, como dije anteriormente, entender bien esto, requiere saber un poquito más de otras cosas, que en general un estudiante de cálculo aún no sabe.... por eso es que la definición queda tan ambigua en un primer encuentro...

Saludos. 

Cita
2.- ¿es un número o una variable?

[texx]dx[/texx] es una función (está explicado en lo anterior).

Saludos.
En línea
Páginas: [1] 2 3   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!