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Autor Tema: Elección del número e como base del logaritmo natural  (Leído 659 veces)
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Marta Balaguer
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« : 24/04/2019, 02:00:57 pm »

Buenas tardes, me gustaría saber si hay algún motivo por el cual elegimos concretamente el número e como base del logaritmo natural y no 2, [texx]\pi[/texx] o cualquier otro número, ya que si no estoy equivocada, podríamos definir perfectamente [texx]a^b=2^{b\cdot\ln a}[/texx] si escogemos 2 como base de [texx]\ln = \log_{2}[/texx], pero tal vez haya algún motivo que no esté teniendo en cuenta.

Muchas gracias.
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« Respuesta #1 : 24/04/2019, 03:31:01 pm »

Buenas tardes, me gustaría saber si hay algún motivo por el cual elegimos concretamente el número e como base del logaritmo natural y no 2, [texx]\pi[/texx] o cualquier otro número, ya que si no estoy equivocada, podríamos definir perfectamente [texx]a^b=2^{b\cdot\ln a}[/texx] si escogemos 2 como base de [texx]\ln = \log_{2}[/texx], pero tal vez haya algún motivo que no esté teniendo en cuenta.

Muchas gracias.

El logaritmo nepeariano es la función inversa de la exponencial, y ambas funciones son fundamentales en análisis matemático.

La exponencial no sólo tiene la propiedad de ser igual a su derivada (sin embargo no es la única función con esa propiedad sino que también tenemos que las funciones del tipo [texx]c\cdot e^x[/texx] también son iguales a sus derivadas) sino que además permite definir las funciones trigonométricas más básicas, que nacen de manera natural de la geometría, y también permiten representar de manera sencilla los números complejos.

Yo veo ése el motivo principal del apodo "natural", aunque habrá otros motivos también.
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feriva
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« Respuesta #2 : 24/04/2019, 03:35:42 pm »

Buenas tardes, me gustaría saber si hay algún motivo por el cual elegimos concretamente el número e como base del logaritmo natural y no 2, [texx]\pi[/texx] o cualquier otro número, ya que si no estoy equivocada, podríamos definir perfectamente [texx]a^b=2^{b\cdot\ln a}[/texx] si escogemos 2 como base de [texx]\ln = \log_{2}[/texx], pero tal vez haya algún motivo que no esté teniendo en cuenta.

Muchas gracias.

Hola.

Mas que un motivo, hay una larga historia. Te en cuenta que antiguamente no había calculadoras, los logaritmos se buscaban en tablas que había que escribir; hasta después se inventó la regla de cálculo (que era una regla con marco de cristal deslizante y también un brazo deslizante y con eso se podían buscarlos logaritmos de forma medianamente aproximada).  El número "e" puede parecer caprichoso pero resultó ser cómodo como base y además fue apareciendo de forma espontánea con la construcción de las tablas para calcular logaritmos.

Mira este PDF, aquí te cuenta.

Saludos.

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf

 
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 24/04/2019, 04:06:01 pm »

Editado
Una motivación podría ser que en la construcción de la función exponencial [texx]f(x) = a^x [/texx] donde [texx]a \in \mathbb{R}^{\color{red} + \color{black}}\setminus \{1\} [/texx], hay un momento que se busca la inversa (sin haber construido la función exponencial ) y queda algo como [texx]\displaystyle \log_a(x) = \int_1^x \dfrac{dx}{\alpha \cdot x} [/texx] donde:
[texx]\displaystyle \alpha = \lim_{h \to 0} \dfrac{a^h -1}{h} [/texx], el candidato más "natural" sería toma [texx]\alpha=1[/texx] que se da justo para [texx]a = e[/texx].

Si por el contrario construyes directamente la función exponencial para [texx] a \in \mathbb{R}^{\color{red} + \color{black}}\setminus\{1\} [/texx] al derivar la inversa te queda:
[texx]\displaystyle (\log_a(x)) = \dfrac{1}{x} \cdot \log_a(e) [/texx] es más natural no cargar con [texx] \log_a(e) [/texx] haciendo [texx]a = e [/texx].

Supongo que los tiros deben ir por ahí también.
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Samir M.
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« Respuesta #4 : 24/04/2019, 10:29:04 pm »

La respuesta de JP es muy buena. Se podrían dar argumentos similares (como intentar resolver [texx]y'=y[/texx] con [texx]y(0)=1[/texx], pensar de manera cualtitiva que el crecimiento de la exponencial es proporcional a su magnitud) pero que en el fondo se reducen a su respuesta. De manera similar, nos podríamos preguntar por qué las funciones trigonométricas se miden "naturalmente" en radianes (similarmente, [texx]\dfrac{d}{d\theta}  \sin(\pi\frac{\theta}{180})=  \cos(\pi\frac{\theta}{180})\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}\cos_{g}\theta = \mbox{constante} \cdot \cos_{g}\theta[/texx] donde [texx]\cos_{g}[/texx] es el coseno con argumento en grados. Si el argumento se midiese en radianes, entonces constante = 1).

Saludos.
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Lo escrito en azul significa que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.
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« Respuesta #5 : 25/04/2019, 03:38:29 am »

Hay una razón histórica más poderosa que creo que es la correcta. El mérito del descubrimiento del numero [texx]e[/texx] se debe a Euler, y fijaros que he dicho descubrimiento y no invento porque realmente fue eso, un descubrimiento. Si os molestáis en leer algo sobre la historia del número [texx]e[/texx] ahí debería explicarse el porqué. Resultó que durante bastante tiempo Euler y otros matemáticos trataron del resolver un problema complicado y no daban con la solución, el problema en cuestión era hallar la expresión matemática del área bajo la hipérbola. Ya se había resuelto el problema del área bajo la parábola, pero la hipérbola se resistía. Traducido a formulas matemáticas de hoy en día, el problema consistía en resolver la siguiente integral:

[texx]\displaystyle\int_{1}^{x}\displaystyle\frac{dt}{t}=ln(x)[/texx]

problema del que todos conocéis la solución supongo, pero en la época de Euler, siglo XVII, no se conocían aún los logaritmos neperianos. Euler sabia por cuestiones que no vienen al caso que la expresión de dicha área era un logaritmo, ya que sí eran conocidas las propiedades de los logaritmos decimales, no hacia mucho que se habían descubierto e investigado, pero el área bajo la hipérbola era un logaritmo desde luego pero su base no se correspondía con ningún número natural. El mérito de Euler estuvo precisamente en determinar la base del logaritmo que resolvía el problema, precisamente el numero [texx]e[/texx].

Leer un poco de historia de la matemática, la vida de Euler es apasionante, ya que fue en mi opinión el más grande matemático que nos ha dado la historia.

Chao.
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« Respuesta #6 : 25/04/2019, 06:20:20 am »



Un siglo y medio antes de Euler, Bürgi usó como base el valor

[texx]\left(1+\dfrac{1}{10^{4}}\right)^{10^{4}}=2,7184...
 [/texx] (el número “e” difiere en poco 2,7184...)

Pero por lo visto él no sabía que ése era el término general. Es de suponer (yo al menos no lo sé a ciencia cierta) que por alguna razón era la base que le resultaba más cómoda para calcular logaritmos en general. Antes de esto, Arquímedes ya había hecho tablas de logaritmos para las potencias de 2 y después también se hicieron tablas en base 10 (pequeñas tablas, no como las de Vázquez Queipo, ya muy completas, que yo llegué a usar en el colegio).

También Napier, contemporáneo de Bürgi, hizo sus tablas (de hecho al número “e” se le conoce como constante de Napier, constante Neperiana) siglo y medio antes de que naciera Euler. Lo que sí creo que es exclusivamente de Euler es la letra “e” (la inicial de su nombre) y el haber encontrado una relación más profunda con el cálculo infinitesimal.

En el enlace que puse en la otra respuesta se cuenta la historia de todo eso

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf

Por otra parte, cualquier base, 2, 10... dada por un número natural resulta demasiado particular, son números primos concretos o productos concretos de números primos; en cambio, el número “e” parece estar relacionado (de hecho creo que está comprobado que lo está) con todos los primos y no sólo con unos pocos.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 25/04/2019, 09:38:21 am »

Si pero la clave del asunto fue la resolución del problema del área bajo la hipérbola, y ese es el único que conduce al valor exacto del número [texx]e[/texx], aunque en ese momento se sabia ya bastante sobre las propiedades de los logaritmos, las tablas de logaritmos decimales se usaron entre otras cosas para resolver los problemas de la navegación que hasta ese momento eran largos y engorrosos. La verdad es que la historia del numero [texx]e[/texx] junto con la historia del numero [texx]\pi[/texx] forman dos de los grandes capítulos de la historia de las matemáticas.

Creo que esta formula:

[texx]e=\displaystyle\lim_{n \to\infty}(1+ \displaystyle\frac{1}{n})^n[/texx]

es de Euler.
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