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Autor Tema: Conjunto característico  (Leído 709 veces)
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Jambo
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« : 10/04/2019, 12:58:45 am »

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Considere el conjunto [texx]V[/texx] de todas las valuaciones y la función [texx] \left\|{}\right\|:PROP\rightarrow{2^V}[/texx] ([texx]2^V[/texx] sería el conjunto de los conjuntos de [texx]V[/texx]...) tal que [texx] \left\|{\alpha}\right\|=\left\{{v\in{V}:v(\alpha)=1}\right\}[/texx] ([texx]\alpha\in{PROP}[/texx] y [texx] \left\|{\alpha}\right\|[/texx] es el conjunto caracteristico de [texx]\alpha[/texx])

Me piden demostrar que [texx] \left\|{\alpha\wedge\beta}\right\|= \left\|{\alpha}\right\|\cup{ \left\|{\beta}\right\|}[/texx]

Aplico la definición de conjunto característico: [texx] \left\|{\alpha\wedge\beta}\right\|=\left\{{v\in{V}:max\left\{{v(\alpha),v(\beta)}\right\}}\right\}[/texx] ¿cómo hago para pasar de ese conjunto al conjunto [texx]\left\{{v\in{V}:v(\alpha)=1}\right\}\cup{\left\{{v\in{V}:v(\beta)=1}\right\}}[/texx]? Lo que yo hice fue ver los casos cuando [texx]max\left\{{v(\alpha),v(\beta)}\right\}[/texx] era 1 y digo que el conjunto resulta en [texx]\left\{{v\in{V}:v(\alpha)=1}\right\}[/texx] ó [texx]\left\{{v\in{V}:v(\beta)=1}\right\}[/texx] ¿esto esta bien? ¿como podría hacerlo de manera "más formal"?

Agradezco cualquier ayuda  :sonrisa:

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 10/04/2019, 05:22:25 am »

Me piden demostrar que [texx] \left\|{\alpha\wedge\beta}\right\|= \left\|{\alpha}\right\|\cup{ \left\|{\beta}\right\|}[/texx]

Para eso has de emplear una técnica conocida como mentir más o menos disimuladamente, porque eso es falso. Será con [texx]\lor[/texx] a la izquierda o con [texx]\cap[/texx] a la derecha.

Aplico la definición de conjunto característico: [texx] \left\|{\alpha\wedge\beta}\right\|=\left\{{v\in{V}:max\left\{{v(\alpha),v(\beta)}\right\}}\right\}[/texx]

Eso no es cierto. Ni siquiera con las definiciones del pdf que adjuntas. En el miembro derecho te falta poner [texx]=1[/texx] y, o bien pones [texx]\lor[/texx] a la izquierda o bien pones min a la derecha.

¿cómo hago para pasar de ese conjunto al conjunto [texx]\left\{{v\in{V}:v(\alpha)=1}\right\}\cup{\left\{{v\in{V}:v(\beta)=1}\right\}}[/texx]?

Demuestra que [texx]\max(v(\alpha),v(\beta))=1\leftrightarrow v(\alpha)=1\lor v(\beta)=1[/texx]. Puedes probarlo distinguiendo los cuatro casos posibles para [texx]v(\alpha), v(\beta)[/texx].
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Jambo
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« Respuesta #2 : 10/04/2019, 09:47:17 am »

Hola,

Si, me confundí, era [texx] \left\|{\alpha\vee\beta}\right\|[/texx], y también me comí el 1, disculpas!  :BangHead:

Aplico lo que me sugerís, gracias!
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manooooh
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« Respuesta #3 : 10/04/2019, 06:16:30 pm »

Para eso has de emplear una técnica conocida como mentir más o menos disimuladamente, porque eso es falso. Será con [texx]\lor[/texx] a la izquierda o con [texx]\cap[/texx] a la derecha.

:sorprendido: :sorprendido: :sorprendido: :sorprendido: jajaja, no es para tanto...

¿Existe algún teorema que, independientemente del contexto diga que [texx]\text{cosa}\cap\text{cosa}\iff\text{cosa}\wedge\text{cosa}[/texx] (ídem para [texx]\cup[/texx] y [texx]\vee[/texx])? No consideres los casos del complemento, como lo es [texx]\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B[/texx]. ¿Cómo "intuiste" que el enunciado estaba mal, por más que conozcas la teoría?

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 11/04/2019, 07:00:38 am »

¿Existe algún teorema que, independientemente del contexto diga que [texx]\text{cosa}\cap\text{cosa}\iff\text{cosa}\wedge\text{cosa}[/texx] (ídem para [texx]\cup[/texx] y [texx]\vee[/texx])? No consideres los casos del complemento, como lo es [texx]\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B[/texx].

Me estás diciendo: ¿Existe un teorema que diga que tal cosa siempre es así? No consideres los casos en los que no es así. Pues tú mismo te has respondido.

De todos modos, las matemáticas serias no funcionan así, a base de recetas de tipo "esto siempre es así". Funcionan entendiendo la situación y razonando a partir de ello, no aplicando recetas sin pensar.

¿Cómo "intuiste" que el enunciado estaba mal, por más que conozcas la teoría?

Pues yo leí la igualdad [texx]\left\|{\alpha\wedge\beta}\right\|= \left\|{\alpha}\right\|\cup{ \left\|{\beta}\right\|}[/texx] y la traduje de forma inmediata: Ahí dice que las valoraciones que hacen que una conjunción sea verdadera son las que hacen verdadera una fórmula o la otra", e inmediatamente me dije: esto es falso, porque para que una conjunción sea verdadera, tienen que serlo las dos fórmulas que la componen, no basta con que lo sea una. Fue un "razonamiento inconsciente" en décimas de segundo desde la lectura hasta la conclusión.

No hace falta apelar a ningún teorema. Basta leer la afirmación, entenderla y darse cuenta de que es descaradamente falsa. Si te quedas dándole vueltas a las barritas verticales y a las letras griegas sin pararte a pensar lo que significa, ya le podrás dar todas las vueltas que quieras que no concluirás nada por muchos teoremas que llames en tu ayuda.

Es lo mismo que si te encuentras la afirmación "All frogs are birds".   No tiene sentido que busques un teorema sobre cómo saber si es verdadera una frase con las palabras frog y bird. Lo que tienes que hacer es entenderla y decir: qué tonteria, pues claro que no.

¿O acaso tú no sabías que para que una conjunción sea verdadera tienen que serlo las dos fórmulas que aparecen en ella? Claro que lo sabías. Luego no necesitas ningún teorema utópico, sólo tienes que traducir la expresión dada a algo inteligible para ver que es falsa, y no hay teoremas traductores.
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« Respuesta #5 : 15/04/2019, 11:29:17 pm »

Hola,

usando la definición de conjunto caracteristico del primer mensaje, me piden demostrar [texx] \models \alpha\rightarrow{\beta}[/texx] si solo si [texx] \left\|{\alpha}\right\|\subseteq{ \left\|{\beta}\right\|}[/texx].

Aplicando la definicion de tautologia, tengo que [texx]v(\alpha\rightarrow{\beta})=1 \forall{v \in{V}}[/texx], luego tengo que [texx]v(\alpha\rightarrow{\beta})=1[/texx] si solo si [texx]max\left\{{1-v(\alpha),v(\beta)}\right\}=1[/texx], y luego no sé como avanzar :triste: intenté seguir la sugerencia de estudiar los casos ([texx]v(\alpha)=1, v(\beta)=1[/texx] y [texx]v(\alpha)=0, v(\beta)=0[/texx] y [texx]v(\alpha)=0 , v(\beta)=1[/texx]) pero no me doy cuenta como concluir. ¿Alguna ayuda?

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« Respuesta #6 : 16/04/2019, 06:43:09 am »

Sea [texx]v \in ||\alpha||[/texx], es decir, [texx]v[/texx] es una valuación con [texx]v(\alpha)=1[/texx]. Tienes que ver que [texx]v \in ||\beta||[/texx], es decir, que [texx]v(\beta)=1[/texx].
Pero por hipótesis tienes, como ya has observado, que [texx]max \{1- v(\alpha), v(\beta) \} = 1[/texx]. Teniendo en cuenta que [texx]v(\alpha)=1[/texx], obtienes que [texx]v(\beta)=1[/texx], que es lo que queríamos ver.

Te dejo a ti hacer la implicación hacia el otro lado.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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