13/12/2019, 01:45:02 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Semántica? Cardinalidad de conjuntos  (Leído 603 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Jambo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 160


Ver Perfil
« : 09/04/2019, 09:43:44 pm »

Hola, me piden indicar la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

[texx]A_1=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{\alpha\in{PROP})(\exists{i\in{\mathbb{N}}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=1)}}\right\}[/texx]
[texx]A_2=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{\alpha\in{PROP})(\exists{i\in{\mathbb{N}}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=0)}}\right\}[/texx]
[texx]A_3=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{i\in{\mathbb{N}})(\exists{\alpha\in{PROP}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=0)}}\right\}[/texx]

Me parece que todos tienen cardinalidad infinita, pero no sé como justificarlo ( y tampoco creo que este bien  :indeciso:)

Agradezco cualquier ayuda :sonrisa:!

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.449


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 09/04/2019, 09:54:26 pm »

Hola

¿Me ayudarías a entender el enunciado, por favor?

¿Con [texx]PROP[/texx] te referís a que la letra [texx]\alpha[/texx] es una "propiedad"?

¿Con [texx]v(\alpha\to p_i)=1[/texx] estás diciendo que "El valor de verdad de la proposición/implicación con hipótesis [texx]\alpha[/texx] y tesis [texx]p_i[/texx] ([texx]i\in\Bbb N[/texx]) es verdadero"?

Gracias.

Saludos

Spoiler: Mods (click para mostrar u ocultar)
En línea
Jambo
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 160


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 09/04/2019, 10:03:13 pm »

Hola

¿Me ayudarías a entender el enunciado, por favor?

¿Con [texx]PROP[/texx] te referís a que la letra [texx]\alpha[/texx] es una "propiedad"?

¿Con [texx]v(\alpha\to p_i)=1[/texx] estás diciendo que "El valor de verdad de la proposición/implicación con hipótesis [texx]\alpha[/texx] y tesis [texx]p_i[/texx] ([texx]i\in\Bbb N[/texx]) es verdadero"?

Gracias.

Saludos

Spoiler: Mods (click para mostrar u ocultar)

Hola

Justo estaba editando el mensaje aclarando que es [texx]PROP[/texx]  :sonrisa_amplia:

Respecto a lo otro, si, defino valuación como una funcion [texx]v:PROP\rightarrow{\left\{{0,1}\right\}}[/texx] que "trasmite" valores de verdad.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.449


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 09/04/2019, 10:19:33 pm »

Hola

Justo estaba editando el mensaje aclarando que es [texx]PROP[/texx]  :sonrisa_amplia:

Respecto a lo otro, si, defino valuación como una funcion [texx]v:PROP\rightarrow{\left\{{0,1}\right\}}[/texx] que "trasmite" valores de verdad.

Jajaja, qué bueno.

No tengo ni idea, pero te dejo mi interpretación para que veas cómo piensa alguien que entiende poco y nada:

Concentrémonos en el primer caso. Nos piden hallar la cardinalidad del conjunto, o sea que nos piden contar cuántas funciones [texx]v[/texx] llamadas valuaciones existen de manera que, para todo elemento-proposición [texx]\alpha[/texx] perteneciente al conjunto [texx]PROP[/texx] existe un número [texx]i[/texx] natural tal que se cumple que [texx]v(\alpha\to p_i)=1[/texx].

Usando el apartado d) de "Valuaciones", sabemos que [texx]v(\alpha\to p_i)=\max\{1-v(\alpha),v(p_i)\}=1[/texx], de donde debe cumplir [texx]v(p_i)=1\vee1-v(\alpha)=1[/texx], de donde [texx]v(p_i)=1\vee v(\alpha)=0[/texx].

Ahora bien, gracias a la disyunción (que además es exclusiva), sabemos que [texx]v(p_i)=1[/texx] es cierto para todo [texx]p_1[/texx], pues para todo [texx]\alpha\in PROP[/texx] siempre va a existir un [texx]i\in\Bbb N[/texx] tal que [texx]v(p_i)=1[/texx], lo que da cuenta de que existen infinitas funciones [texx]v[/texx], por lo que la respuesta es [texx]|A_1|=\infty[/texx], tal como suponías.

Para el resto de casos es similar.



Debí haber metido la pata, así que mejor esperá a alguien más.

Saludos

EDITADO
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #4 : 10/04/2019, 05:12:16 am »

Hola, me piden indicar la cardinalidad de los siguientes conjuntos:

[texx]A_1=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{\alpha\in{PROP})(\exists{i\in{\mathbb{N}}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=1)}}\right\}[/texx]
[texx]A_2=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{\alpha\in{PROP})(\exists{i\in{\mathbb{N}}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=0)}}\right\}[/texx]
[texx]A_3=\left\{{v:valuaciones/ (\forall{i\in{\mathbb{N}})(\exists{\alpha\in{PROP}})(v(\alpha\rightarrow{p_i})=0)}}\right\}[/texx]

El segundo conjunto es vacío, mientras que los otros dos son infinitos.

El primero contiene a todas las valoraciones [texx]v[/texx] que cumplen [texx]v(p_i)=1[/texx] para algún índice [texx]i[/texx] (que son infinitas), pues si una valoración [texx]v[/texx] cumple esto, entonces, para toda proposición [texx]\alpha[/texx] se cumple [texx]v(\alpha\rightarrow p_i)=1[/texx].

El segundo es vacío, porque ninguna valoración [texx]v[/texx] cumple lo pedido para [texx]\alpha = \bot[/texx], ya que no existe ningún [texx]i[/texx] para el cual [texx]v(\bot\rightarrow p_i)=0[/texx].

El tercer conjunto contiene a todas las valoraciones [texx]v[/texx] que cumplen [texx]v(p_i)=0[/texx] para algún índice [texx]i[/texx] (que son infinitas), pues cumplen la condición tomando [texx]\alpha = \top[/texx], es decir, cumplen que [texx]v(\top\rightarrow p_i)=0[/texx].
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.586


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 10/04/2019, 05:20:58 am »

Hola

El primero contiene a todas las valoraciones [texx]v[/texx] que cumplen [texx]v(p_i)=1[/texx] para algún índice [texx]i[/texx] (que son infinitas), pues si una valoración [texx]v[/texx] cumple esto, entonces, para toda proposición [texx]\alpha[/texx] se cumple [texx]v(\alpha\rightarrow p_i)=1[/texx].

¿Cabe precisar más? Me explico. Apenas se sobre valoraciones lo que leí en el enlace de más arriba. Pero entiendo que una valoración queda determinada asignando [texx]0[/texx] o [texx]1[/texx] a cada [texx]p_i[/texx]. Por tanto el cardinal del conjunto de valoraciones es [texx]2^{\Bbb N}[/texx] valoraciones, no numerable. Si es así todavía cabría precisar si esos cardinales [texx]A_1,A_3[/texx] son numerables o no.

Saludos.
En línea
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.067


Ver Perfil WWW
« Respuesta #6 : 10/04/2019, 06:54:28 am »

¿Cabe precisar más? Me explico. Apenas se sobre valoraciones lo que leí en el enlace de más arriba. Pero entiendo que una valoración queda determinada asignando [texx]0[/texx] o [texx]1[/texx] a cada [texx]p_i[/texx]. Por tanto el cardinal del conjunto de valoraciones es [texx]2^{\Bbb N}[/texx] valoraciones, no numerable. Si es así todavía cabría precisar si esos cardinales [texx]A_1,A_3[/texx] son numerables o no.

Sí. No había entrado en eso porque parece que Jambo se conforme con una respuesta del tipo "son infinitos", y no sabía si realmente el problema pretendía entrar en una cuestión de cálculo de cardinales, que tal vez se aleje de la discusión de los conceptos involucrados, pero, en cualquier caso, el cardinal del primer y el tercer conjunto es [texx]2^{\aleph_0}[/texx], pues, como indicas, es el máximo cardinal posible y, por otra parte, contienen al conjunto de las valoraciones que toman alguna vez el valor [texx]1[/texx] (resp. [texx]0[/texx]), el cual también tiene cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx].

Para ver esto último basta ver que el conjunto [texx]X_i[/texx] de las valoraciones que cumplen [texx]v(p_1)=i[/texx] (para [texx]i=0,1[/texx]) también tiene cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx], ya que este conjunto está contenido en el de las valoraciones que toman alguna vez el valor [texx]1[/texx] (resp. [texx]0[/texx])

Y para esto basta considerar la biyección [texx]\phi:2^{\mathbb N\setminus\{0\}}\longrightarrow X[/texx] dada por

[texx]\phi(f)(p_k)=\begin{cases} i & \text{si}& k=1,\\ f(k-1) & \text{si}& k\neq 1.\end{cases}[/texx]
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.586


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 10/04/2019, 07:24:10 am »

Hola

Sí. No había entrado en eso porque parece que Jambo se conforme con una respuesta del tipo "son infinitos", y no sabía si realmente el problema pretendía entrar en una cuestión de cálculo de cardinales, que tal vez se aleje de la discusión de los conceptos involucrados, pero, en cualquier caso, el cardinal del primer y el tercer conjunto es [texx]2^{\aleph_0}[/texx], pues, como indicas, es el máximo cardinal posible y, por otra parte, contienen al conjunto de las valoraciones que toman alguna vez el valor [texx]1[/texx] (resp. [texx]0[/texx]), el cual también tiene cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx].

Para ver esto último basta ver que el conjunto [texx]X_i[/texx] de las valoraciones que cumplen [texx]v(p_1)=i[/texx] (para [texx]i=0,1[/texx]) también tiene cardinal [texx]2^{\aleph_0}[/texx], ya que este conjunto está contenido en el de las valoraciones que toman alguna vez el valor [texx]1[/texx] (resp. [texx]0[/texx])

Y para esto basta considerar la biyección [texx]\phi:2^{\mathbb N\setminus\{0\}}\longrightarrow X[/texx] dada por

[texx]\phi(f)(p_k)=\begin{cases} i & \text{si}& k=1,\\ f(k-1) & \text{si}& k\neq 1.\end{cases}[/texx]

Ok. Gracias.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!