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Autor Tema: Compacidad de B(0,1) de X* con la topología débil*  (Leído 400 veces)
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Eparoh
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« : 08/04/2019, 15:20:25 »

Hola, estoy intentando demostrar el siguiente teorema:

Sea [texx]X[/texx] un espacio normado y [texx]B_{X^*}[/texx] la bola unidad en su dual, entonces el espacio [texx]\left( B_{X^*}, \sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}} \right)[/texx] es compacto, siendo [texx]\sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}}[/texx] la topología relativa a [texx]B_{X^*}[/texx] de la topología débil* sobre el dual de [texx]X[/texx].

Estoy siguiendo ciertas pautas, y en primer lugar he demostrado que dado el espacio compacto con la topología producto [texx]\left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right)[/texx], donde

[texx][-1,1]^{B_X}=\{f:B_x \longrightarrow{} [-1,1]\}[/texx]

la aplicación

[texx]\varphi: \left( B_{X^*}, \sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}} \right) \longrightarrow{} \left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right)[/texx]

dada por [texx]\varphi(f)=f|_{B_X}[/texx] esta bien definida, es inyectiva y continua.

Tras esto, he visto que esta aplicación es un homeomorfismo en su imagen, y el último paso es ver que dicha imagen, [texx]\varphi(B_{X^*})[/texx] es cerrado en [texx]\left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right)[/texx] con lo cual será compacto, y lo será pues el espacio deseado.

El último paso es el que no consigo demostrar, lo que he intentado ha sido tomar una red [texx]\{\varphi(f_d)\}_{d \in D}[/texx] en [texx]\varphi(B_{X^*})[/texx] convergente en la topología producto a cierta [texx]g \in [-1,1]^{B_X}[/texx] y si veo que [texx]g[/texx] está realmente en [texx]\varphi(B_{X^*})[/texx] entonces será cerrado.
Así, por la convergencia de redes en la topología producto, se que para cada [texx]x \in B_X[/texx] se tiene que la red [texx]p_x\left( \varphi(f_d)\right)[/texx] converge en [texx]\mathbb{R}[/texx] a [texx]p_x(g)[/texx] siendo [texx]p_x[/texx] la proyección canónica para el elemento [texx]x[/texx]. Y, por la definición de [texx]\varphi[/texx] y de las proyecciones, llego a que

[texx]f_d(x) \xrightarrow[d \in D]\,{}g(x), \forall x \in B_X[/texx]

A partir de aquí he intentado hallar alguna aplicación [texx]f[/texx] en [texx]B_{X^*}[/texx] tal que restringida a [texx]B_X[/texx] sea [texx]g[/texx] empleando la información de la convergencia en [texx]B_X[/texx] pero no he logrado nada.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 09/04/2019, 05:26:21 »

Hola

 Mira la página 121 de aquí:

http://www.ugr.es/~jcabello/Analisis%20funcional.pdf

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 09/04/2019, 16:41:16 »

Hola, muchas gracias por la respuesta.
Ya miré le pdf que pusiste y creo que lo entiendo todo, aunque me han surgido algunas dudas y he demostrado ciertos lemas que no se si son del todo correctos y sería de mucha ayuda si pudieras echarles un vistazo  :rodando_los_ojos:

En primer lugar, cuando dice que la compacidad no depende del espacio ambiente, se refiere a que dado un un espacio topológico [texx](X , \tau)[/texx] un subconjunto [texx]K \subset X[/texx] es compacto si, y solo si, lo es con la topología relativa a [texx]K[/texx], ¿verdad?

El subconjunto [texx]V[/texx] de [texx]\displaystyle\prod_{x \in X}{D_x}[/texx] es un abierto en la topología producto en este conjunto pues podemos expresarlo como [texx]V=\displaystyle\prod_{z \in X}{V_z}[/texx] siendo

[texx]V_z=\begin{cases} D_z & \text{si}& z \not \in \{x, y, \alpha x+y\}\\\left( f(z)-\varepsilon, f(z)+\varepsilon \right) \cap D_z & \text{si}& z \in \{x, y, \alpha x+y\}\end{cases}[/texx]

¿Ésto es correcto?

Respecto a los lemas que comenté, son los siguientes:

Sea [texx](X, \tau)[/texx] un espacio topológico donde [texx]\tau[/texx] es la topología inducida por una familia de aplicaciones [texx]\{f_\alpha: X \longrightarrow{} (Y_\alpha, \tau_\alpha)\}[/texx], entonces  dado [texx]Y \subset X[/texx] la topología relativa de [texx]Y[/texx], [texx]\tau_Y[/texx], es la topología inducida por la familia de aplicaciones  [texx]\{f_\alpha|_Y: Y \longrightarrow{} (Y_\alpha, \tau_\alpha)\}[/texx].

Demostración:

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Sea [texx]\left(X_i, \tau_i \right)_{i \in I}[/texx] una familia de espacios topológicos y [texx]\left( \displaystyle\prod_{i \in I} {X_i}, \tau_p \right)[/texx] el espacio topológico producto, entonces si consideramos un subconjunto [texx]\displaystyle\prod_{i \in I} {Y_i} \subset \displaystyle\prod_{i \in I} {X_i}[/texx] con la topolgía relativa, se tiene que está coincide con la topología producto para la familia [texx]\left(Y_i, {\tau_i}_Y \right)_{i \in I}[/texx].

Demostración:

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Un saludo y muchísimas gracias por tu ayuda y tiempo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/04/2019, 06:44:13 »

Hola

 De acuerdo en todo.  :guiño:

Saludos.
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