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Autor Tema: ¿Toda ecuación o inecuación representa un predicado lógico?  (Leído 1802 veces)
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manooooh
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« : 08/04/2019, 05:02:45 am »

Hola!

Esta pregunta creo que nadie se la ha hecho jamás, o quizás sí pero con la particularidad de que es muy obvia de responder o poco interesante, pero yo creo que es de sumo interés para cualquier estudiante de Lógica y afines :sonrisa_amplia:.

Consideremos la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]. ¿Esta ecuación es equivalente a?: \[\pmb{\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)}\] (o, digamos, cambiar el existe por "para todo [texx]x[/texx]").

Sé que hay mucho contexto puesto y sólo estoy tomando uno de esos, pero quiero que la pregunta se entienda bien.

De ser correcto, ¿tendría algún sentido la siguiente oración?:

Toda ecuación o inecuación de variables [texx]x_1,x_2,\dots,x_n[/texx] que sea válida en producto [texx]A_1\times A_2\times\dots\times A_n[/texx] puede expresarse de la forma \[\exists x_1,x_2,\dots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una ecuación o inecuación a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right).\]
Spoiler: Teoría increíble (click para mostrar u ocultar)

Si no se entiende, consideren el primer ejemplo que es más claro.

Gracias!
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cadoi
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« Respuesta #1 : 08/04/2019, 05:18:04 am »

[texx]\pmb{\exists x\in\Bbb R(\color{red}3\color{black}x-3=1)}[/texx]

Supongo que lo de rojo es un error, ¿no?  :sonrisa_amplia: :guiño:
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manooooh
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« Respuesta #2 : 08/04/2019, 05:21:22 am »

Buen día

[texx]\pmb{\exists x\in\Bbb R(\color{red}3\color{black}x-3=1)}[/texx]

Supongo que lo de rojo es un error, ¿no?  :sonrisa_amplia: :guiño:

Lo que pasa cuando no se usa el copy-paste, que además puede ahorrar tiempo... Así es, gracias por la observación :sonrisa:. ¡Espero una respuesta tuya!

Saludos
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sugata
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« Respuesta #3 : 08/04/2019, 05:31:00 am »

No veo el "para todo x", ya que en una ecuación de orden uno como has puesto, solo una x cumple la igualdad.
¿Qué pasa si la ecuación no tiene solución en los reales?
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manooooh
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« Respuesta #4 : 08/04/2019, 05:48:41 am »

Hola!

No veo el "para todo x", ya que en una ecuación de orden uno como has puesto, solo una x cumple la igualdad.

Bien, es cierto.

Quizás el para todo sirva en ecuaciones/inecuaciones equivalentes: [texx]x=x[/texx] o [texx]-x^2>-x^2-5+5[/texx] donde se pueda usar el para todo, para así no tener que recurrir a explicaciones demasiados complicadas.

¿Qué pasa si la ecuación no tiene solución en los reales?

Pues el enunciado es falso, o si se prueba la equivalencia, que la suposición de que existía tal [texx]x[/texx] en ese conjunto no era tal, pero quizás exista otro conjunto donde sí sea verdadera.

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #5 : 08/04/2019, 07:25:09 am »

Consideremos la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]. ¿Esta ecuación es equivalente a?: \[\pmb{\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)}\] (o, digamos, cambiar el existe por "para todo [texx]x[/texx]").

La ecuación en sí misma no afirma nada. Sobre ella se pueden preguntar muchas cosas. Por ejemplo, la pregunta de si la ecuación tiene solución real es equivalente a la fórmula que planteas, pero si la pregunta es resolver la ecuación, entonces la respuesta es

[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x = 2)[/texx]

También podrías preguntarte únicamente si tiene solución única, si tiene infinitas soluciones, o si un número dado la satisface o no, etc. y las respuestas serían distintas fórmulas. La ecuación en sí misma no es más que un trozo de pregunta que puede aparecer en distintas preguntas.

De ser correcto, ¿tendría algún sentido la siguiente oración?:

Toda ecuación o inecuación de variables [texx]x_1,x_2,\dots,x_n[/texx] que sea válida en producto [texx]A_1\times A_2\times\dots\times A_n[/texx] puede expresarse de la forma \[\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una ecuación o inecuación a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right).\]

Pues no alcanzo a imaginar qué pretende significar eso.
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manooooh
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« Respuesta #6 : 09/04/2019, 03:09:42 am »

Hola

La ecuación en sí misma no afirma nada. Sobre ella se pueden preguntar muchas cosas. Por ejemplo, la pregunta de si la ecuación tiene solución real es equivalente a la fórmula que planteas, pero si la pregunta es resolver la ecuación, entonces la respuesta es

[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x = 2)[/texx]

También podrías preguntarte únicamente si tiene solución única, si tiene infinitas soluciones, o si un número dado la satisface o no, etc. y las respuestas serían distintas fórmulas. La ecuación en sí misma no es más que un trozo de pregunta que puede aparecer en distintas preguntas.

Bien. A esto me refería con lo de "Contexto": yo estaba hablando de "Resuelva la siguiente ecuación para [texx]x[/texx]: (...)" y no de otra cosa, pensé que se entendería.

Entonces, si la manera de "pasarlo" a predicado es esa forma, ¿cómo podríamos generalizarlo para cualquier expresión de la forma [texx]\text{expresión}_1\text{ operador }\text{expresión}_2[/texx]?

De ser correcto, ¿tendría algún sentido la siguiente oración?:

Toda ecuación o inecuación de variables [texx]x_1,x_2,\dots,x_n[/texx] que sea válida en producto [texx]A_1\times A_2\times\dots\times A_n[/texx] puede expresarse de la forma \[\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una ecuación o inecuación a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right).\]

Pues no alcanzo a imaginar qué pretende significar eso.

Sí, yo tampoco ahora lo que vuelvo a leer. Perdón.

Lo que quería decir era \[\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una expresión a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right).\] ¿Se entiende?

Es decir, ¿cómo podríamos definir los conceptos "ecuación" e "inecuación" empleando teoría de predicados?

¿Le ves alguna ventaja/desventaja a esta nueva definición de lo que son una ecuación e inecuación empleando lógica, o da igual decirlo con lenguaje natural o con chirimbolitos?

Digamos, lo que yo haría sería tratarlo como un razonamiento + usar reglas de inferencia:

Si a [texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx] le aplicamos particularización existencial, luego [texx]2x-3=1[/texx], entonces sumando [texx]3[/texx] a ambos miembros, se tiene [texx]2x=1+3[/texx], y por la suma de dos números, el lado derecho queda [texx]4[/texx]. Dividiendo por [texx]2[/texx] (pues no es [texx]0[/texx]), se tiene que [texx]x=\frac42[/texx], de donde [texx]x=2[/texx], y finalmente por generalización existencial, [texx]\exists x\in\Bbb R(x=2)[/texx], lo cual es cierto en el dominio [texx]\Bbb R[/texx]. (Verificación aparte)

Gracias, como siempre.

Saludos
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noisok
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« Respuesta #7 : 09/04/2019, 12:37:39 pm »

Cita
[texx]
\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una expresión a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right)[/texx]

Pienso que esto está mal escrito lo siguiente; [texx]\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n[/texx] ;  Aquí me parece que estas diciendo que cada variable [texx]x_i[/texx] es un elemento del producto cartesiano, cuando lo que se quiere decir seguramente es [texx]\exists x_1\in A_1, \exists x_2\in A_2,..[/texx]

Cita
Es decir, ¿cómo podríamos definir los conceptos "ecuación" e "inecuación" empleando teoría de predicados?
Una ecuación o inecuación solo son relaciones entre términos. Lo que algunos llaman predicados.
Lo que yo entiendo es lo que has escrito es que afirmas que existe solución. Pero no lo demuestras. Lo que yo sospecho que tu preguntas es si puedes aplicar un calculo de inferencia de predicados para llegar a una solución. Supongo que si, pero lo que tu has resuelto yo creo que es un cálculo dando por sentado definiciones y teoremas que todo el mundo entiende, así que en cierto modo, haciendo un cálculo lógico informal. Que igual es lo que corresponde, porque para hacer el calculo de inferiencias correctamente hay que justificar todos los pasos con reglas de inferencia validas y todas las definiciones y teoremas tienen que ser puestas como premisas.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #8 : 09/04/2019, 02:17:49 pm »

Bien. A esto me refería con lo de "Contexto": yo estaba hablando de "Resuelva la siguiente ecuación para [texx]x[/texx]: (...)" y no de otra cosa, pensé que se entendería.

Pues no se entiende porque dices que estás hablando de "resuelva la ecuación", pero luego escribes fórmulas que significan "la ecuación tiene solución". No es lo mismo resolver una ecuación que probar que tiene solución. Y sigue sin estar claro de cuál de las dos cosas hablas en realidad.

Entonces, si la manera de "pasarlo" a predicado es esa forma, ¿cómo podríamos generalizarlo para cualquier expresión de la forma [texx]\text{expresión}_1\text{ operador }\text{expresión}_2[/texx]?

No sé muy bien qué quieres generalizar. Has puesto un ejemplo con una ecuación de una variable con solución única. Sin embargo, si consideras la ecuación:

[texx]x^2+y^2 = 1[/texx]

¿qué entiendes por resolver la ecuación en este caso? ¿Qué entiendes por resolver la inecuación [texx]x>y[/texx], por ejemplo? ¿Te refieres realmente a resolver o a determinar si existe solución?

Lo que quería decir era \[\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n\left(\text{tengamos una expresión a ambos lados de alguno de los símbolos \(\begin{array}{c}>\\=\\<\end{array}\)}\right).\] ¿Se entiende?

Es decir, ¿cómo podríamos definir los conceptos "ecuación" e "inecuación" empleando teoría de predicados?

¿Le ves alguna ventaja/desventaja a esta nueva definición de lo que son una ecuación e inecuación empleando lógica, o da igual decirlo con lenguaje natural o con chirimbolitos?

Pues sigo sin tener muy claro cómo hay que entender lo que pones en el paréntesis gordo. Quiero decir que, sí, claro, se entiende lo que quieres decir, pero no veo en qué sentido puede considerarse eso de "tengamos una expresion etc." como ninguna clase de definición formal de nada.

¿Ventajas de cara a qué? Si tienes que explicarle a un estudiante cómo resolver ecuaciones, no creo que la lógica de predicados le vaya a ayudar en nada. Si quieres estudiar ecuaciones desde un punto de vista más teórico, tienes diversas técnicas matemáticas (la geometría algebraica, el análisis real, etc.) y tampoco creo que la lógica de predicados ayude en nada. Por ejemplo, si quieres saber si un polinomio igualado a 0 tiene soluciones reales, podrás aplicar distintas técnicas algebraicas y analíticas, pero no creo que la lógica de predicados te ayude en nada.

La lógica sí que puede aportar cosas interesantes. Por ejemplo, aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=78021.msg315112#msg315112

tienes una teoría axiomática que, esencialmente, es una formalización de la teoría de ecuaciones sobre un cuerpo ordenado, y sirve para demostrar que la axiomatización de la geometría euclídea de Tarski es completa (toda afirmación geométrica formalizable en ella se puede demostrar o refutar a partir de sus axiomas).

Digamos, lo que yo haría sería tratarlo como un razonamiento + usar reglas de inferencia:

Si a [texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx] le aplicamos particularización existencial, luego [texx]2x-3=1[/texx], entonces sumando [texx]3[/texx] a ambos miembros, se tiene [texx]2x=1+3[/texx], y por la suma de dos números, el lado derecho queda [texx]4[/texx]. Dividiendo por [texx]2[/texx] (pues no es [texx]0[/texx]), se tiene que [texx]x=\frac42[/texx], de donde [texx]x=2[/texx], y finalmente por generalización existencial, [texx]\exists x\in\Bbb R(x=2)[/texx], lo cual es cierto en el dominio [texx]\Bbb R[/texx]. (Verificación aparte)

Pero para llegar a que existe un número real igual a 2 no necesitas partir de ninguna ecuación, ni es algo que afirme nada sobre la ecuación dada. Ahí no estás diciendo que la ecuación dada tiene por solución [texx]x = 2[/texx]. Sólo estás diciendo que existe el número dos. Y (por otro lado) nuevamente no está claro si quieres resolver la ecuación o probar que tiene solución.
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feriva
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« Respuesta #9 : 09/04/2019, 03:11:13 pm »

Hola!

Esta pregunta creo que nadie se la ha hecho jamás, o quizás sí pero con la particularidad de que es muy obvia de responder o poco interesante, pero yo creo que es de sumo interés para cualquier estudiante de Lógica y afines :sonrisa_amplia:.

Consideremos la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]. ¿Esta ecuación es equivalente a?: \[\pmb{\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)}\] (o, digamos, cambiar el existe por "para todo [texx]x[/texx]").


Hola, manooooh.

Traduzco que preguntas esto:

 ¿”Para todo x de un determinado conjunto” = “x variable libre en vez de ligada”?

Si es eso lo que quieres decir, no, lo veo muy distinto; el “para todo” es mucho más restrictivo, en la primera ecuación la x puede ser incluso un calcetín, en la segunda pertenece a un conjunto determinado.

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #10 : 09/04/2019, 08:20:43 pm »

Hola

Pienso que esto está mal escrito lo siguiente; [texx]\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in A_1\times A_2\times\dots\times A_n[/texx] ;  Aquí me parece que estas diciendo que cada variable [texx]x_i[/texx] es un elemento del producto cartesiano, cuando lo que se quiere decir seguramente es [texx]\exists x_1\in A_1, \exists x_2\in A_2,..[/texx]

Ah, es posible.

Yo lo pensaba como algo así: [texx]\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y=3\}[/texx], pero ahora veo que no sé qué estoy pidiendo hacer con ese conjunto, porque el conjunto llamado "Conjunto solución" no tiene sentido en este contexto (porque yo lo pensé como par ordenado), ¿no es cierto?

Una ecuación o inecuación solo son relaciones entre términos. Lo que algunos llaman predicados.
Lo que yo entiendo es lo que has escrito es que afirmas que existe solución. Pero no lo demuestras. Lo que yo sospecho que tu preguntas es si puedes aplicar un calculo de inferencia de predicados para llegar a una solución. Supongo que si, pero lo que tu has resuelto yo creo que es un cálculo dando por sentado definiciones y teoremas que todo el mundo entiende, así que en cierto modo, haciendo un cálculo lógico informal. Que igual es lo que corresponde, porque para hacer el calculo de inferiencias correctamente hay que justificar todos los pasos con reglas de inferencia validas y todas las definiciones y teoremas tienen que ser puestas como premisas.

"Una ecuación o inecuación solo son relaciones entre términos. Lo que algunos llaman predicados.", bueno, si algunos lo llaman predicado es porque es un predicado lógico. Yo pregunto cómo podemos expresar esa ecuación o inecuación empleando signos lógicos ("existe", "para todo" etc.).

Con respecto a lo otro, creo que estás en lo cierto, eso es lo que quiero: escribir de otra manera "Resolver la ecuación [texx]x+2=6[/texx]" usando lógica de primer orden, si es posible.

Traduzco que preguntas esto:

 ¿”Para todo x de un determinado conjunto” = “x variable libre en vez de ligada”?

Si es eso lo que quieres decir, no, lo veo muy distinto; el “para todo” es mucho más restrictivo, en la primera ecuación la x puede ser incluso un calcetín, en la segunda pertenece a un conjunto determinado.

Bien, por eso decidí plantear la dos alternativas a ver qué me decían ustedes, porque yo tengo dudas, aunque eso no es lo más importante ahora, sino de saber si se puede escribir un enunciado de otra manera.

Pregunto:

¿"Resolver la ecuación [texx]x+6=2[/texx] en los reales" = [texx]\exists x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx] (o [texx]\forall x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx])?

Pues no se entiende porque dices que estás hablando de "resuelva la ecuación", pero luego escribes fórmulas que significan "la ecuación tiene solución". No es lo mismo resolver una ecuación que probar que tiene solución. Y sigue sin estar claro de cuál de las dos cosas hablas en realidad.

Pero interpretarlo es entender el enunciado típico de cualquier ejercicio sobre hallar la solución de una ecuación. Eso es lo que he intentado replicar pero tratando de usar lógica de predicados.

No sé muy bien qué quieres generalizar. Has puesto un ejemplo con una ecuación de una variable con solución única. Sin embargo, si consideras la ecuación:

[texx]x^2+y^2 = 1[/texx]

¿qué entiendes por resolver la ecuación en este caso? ¿Qué entiendes por resolver la inecuación [texx]x>y[/texx], por ejemplo? ¿Te refieres realmente a resolver o a determinar si existe solución?

Cuando te ordenan resolver la ecuación [texx]x^2-1=0[/texx], ¿qué es lo que entendés?

Cuando te piden resolver la ecuación [texx]x^2+y^2=1[/texx] en términos de [texx]x[/texx], ¿qué se entiende?

Cuando se pide determinar el conjunto solución ("resolver la ecuación") [texx]x^2=-1[/texx], ¿qué se entiende?

Y así con la mayoría de ecuaciones.



Lo que justamente pregunto es si traducir el enunciado "Resolver [texx]x^2=-1[/texx] en los reales" es equivalente a probar o desmentir [texx]\exists x\in\Bbb R(x^2=-1)[/texx] (el cual es falso, no existe ese [texx]x[/texx]). ¿Estás de acuerdo en que son equivalentes ahora sí teniendo todo el enunciado escrito en lenguaje natural?



¿Ventajas de cara a qué? Si tienes que explicarle a un estudiante cómo resolver ecuaciones, no creo que la lógica de predicados le vaya a ayudar en nada. Si quieres estudiar ecuaciones desde un punto de vista más teórico, tienes diversas técnicas matemáticas (la geometría algebraica, el análisis real, etc.) y tampoco creo que la lógica de predicados ayude en nada. Por ejemplo, si quieres saber si un polinomio igualado a 0 tiene soluciones reales, podrás aplicar distintas técnicas algebraicas y analíticas, pero no creo que la lógica de predicados te ayude en nada.

Entonces no te parece acertado enseñar a sumar dos números usando la aritmética de Peano en vez de usar los dedos o animales para contar.

Estoy proponiendo una manera más de visualizar lo que "Resolver una ecuación en un conjunto dado" significa, no sé por qué es tan malo preguntarlo (entendiendo que mi pregunta no es demasiado clara).

La lógica sí que puede aportar cosas interesantes. Por ejemplo, aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=78021.msg315112#msg315112

tienes una teoría axiomática que, esencialmente, es una formalización de la teoría de ecuaciones sobre un cuerpo ordenado, y sirve para demostrar que la axiomatización de la geometría euclídea de Tarski es completa (toda afirmación geométrica formalizable en ella se puede demostrar o refutar a partir de sus axiomas).

Pero eso, a mi entender, tiene poco que ver con lo que estamos debatiendo.

Todos los bullets de ese mensaje no son ecuaciones propiamente dichas, o sea tu objetivo con esos ítems no es el de despejar una variable o encontrar su valor en función de otra/s, sino el de mostrar alguna propiedad (axioma) de ciertas cosas, como la asociatividad, elemento neutro, etc.

Lo que yo pregunto ya está por encima de eso, aceptamos como válido todo eso.

Pero para llegar a que existe un número real igual a 2 no necesitas partir de ninguna ecuación, ni es algo que afirme nada sobre la ecuación dada. Ahí no estás diciendo que la ecuación dada tiene por solución [texx]x = 2[/texx]. Sólo estás diciendo que existe el número dos. (...)

Es cierto, termino ¿probando? (en vez de "diciendo" según vos) que existe el número dos, cuando lo que realmente quería hacer era mostrar que la solución tiene solución [texx]x=2[/texx]. ¿Podrías indicarme cómo lo harías, por favor?

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #11 : 09/04/2019, 09:27:37 pm »

Pregunto:

¿"Resolver la ecuación [texx]x+6=2[/texx] en los reales" = [texx]\exists x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx] (o [texx]\forall x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx])?

Ni lo uno ni lo otro. Es llegar a que [texx]\forall x\in \mathbb R(x+6=2\leftrightarrow x=-4)[/texx].

Pues no se entiende porque dices que estás hablando de "resuelva la ecuación", pero luego escribes fórmulas que significan "la ecuación tiene solución". No es lo mismo resolver una ecuación que probar que tiene solución. Y sigue sin estar claro de cuál de las dos cosas hablas en realidad.

Pero interpretarlo es entender el enunciado típico de cualquier ejercicio sobre hallar la solución de una ecuación. Eso es lo que he intentado replicar pero tratando de usar lógica de predicados.

Pues por eso te digo que no se entiende lo que planteas, porque dices eso, pero luego escribes fórmulas como [texx]\exists x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx] o [texx]\forall x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx], ninguna de las cuales contiene la respuesta usual al enunciado típico al que te refieres (ninguna contiene la solución de la ecuación que se espera como respuesta, a saber, [texx]x=-4[/texx]).

Cuando te ordenan resolver la ecuación [texx]x^2-1=0[/texx], ¿qué es lo que entendés?

Que la respuesta es [texx]x=\pm 1[/texx].

Cuando te piden resolver la ecuación [texx]x^2+y^2=1[/texx] en términos de [texx]x[/texx], ¿qué se entiende?

Yo no entendería nada. Preguntaría al que pregunta qué espera que responda. Por eso te lo he preguntado a ti, para ver qué quieres decir con eso. Pero me has devuelto la pregunta sin respondérmela.

Cuando se pide determinar el conjunto solución ("resolver la ecuación") [texx]x^2=-1[/texx], ¿qué se entiende?

Que es vacío.

Y así con la mayoría de ecuaciones.

¿Y así qué? Sigo sin saber a qué te refieres con resolver, por ejemplo, la ecuación [texx]x^2+y^2+z^2+w^2-xyzw=100[/texx]. Es una ecuación que cumplirán infinitas cuádruplas de números, y habrá otras infinitas que no. ¿A qué llamas resolverla? La solución sería decir que las soluciones son las que cumplen la ecuación. Pero eso es no decir nada.

Lo que justamente pregunto es si traducir el enunciado "Resolver [texx]x^2=-1[/texx] en los reales" es equivalente a probar o desmentir [texx]\exists x\in\Bbb R(x^2=-1)[/texx] (el cual es falso, no existe ese [texx]x[/texx]). ¿Estás de acuerdo en que son equivalentes ahora sí teniendo todo el enunciado escrito en lenguaje natural?

En ese caso sí porque no hay solución, pero si planteas [texx]x^2=1[/texx] ya no es equivalente a [texx]\exists x\in\Bbb R(x^2=1)[/texx], sino que resolver la ecuación es concluir que

[texx]\forall x\in \mathbb R(x^2=1\leftrightarrow x = 1\lor x = -1)[/texx].

Entonces no te parece acertado enseñar a sumar dos números usando la aritmética de Peano en vez de usar los dedos o animales para contar.

Llevo unos meses enseñando a sumar a un niño de tres años y medio. Primero conseguí que entendiera qué es sumar, luego que se aprendiera algunas sumas sencillas, como [texx]2+2=4[/texx], [texx]3+2=5[/texx], etc., luego que realizara sumas espontáneamente, de modo que al ver tres bolas detrás y dos delante dijera "tres y dos cinco" sin que nadie le hubiera preguntado ninguna suma, luego aprendió a sumar números (pequeños) cualesquiera juntando x objetos con y objetos y contando el resultado. Ahora estoy tratando de que aprenda a sumar mecánicamente x + 2 (mentalmente, sin representarse objetos) para cualquier x dado. Mi idea es que si logro que sepa sumar x+2 y luego x+3, estará a punto para aprender a sumar con los dedos dos números cualesquiera (que quepan en sus dedos). Te aseguro que si alguien se le acercara tratando de hablarle de la aritmética de Peano lo echaría a patadas como si fuera un pederasta.

Estoy proponiendo una manera más de visualizar lo que "Resolver una ecuación en un conjunto dado" significa, no sé por qué es tan malo preguntarlo (entendiendo que mi pregunta no es demasiado clara).

¿Y quién ha dicho que sea malo preguntarlo? ¿Ya empiezas a ver el bien y el mal en todas partes? Yo sólo te estoy diciendo que no veo claro a qué te refieres con resolver una ecuación cuando hay varias variables e infinitas soluciones, que confundes "resolver" con "determinar si existe solución" (que sólo es lo mismo en los casos en los que no existe solución, pero no en los demás), que sólo planteas fórmulas que no contienen la solución y que no sé qué ventajas puede haber en lo que propones.

Pero eso, a mi entender, tiene poco que ver con lo que estamos debatiendo.

Es la ventaja que tienes por saber qué estamos debatiendo.

Todos los bullets de ese mensaje no son ecuaciones propiamente dichas, o sea tu objetivo con esos ítems no es el de despejar una variable o encontrar su valor en función de otra/s, sino el de mostrar alguna propiedad (axioma) de ciertas cosas, como la asociatividad, elemento neutro, etc.

Pero los bullets no son ahí lo más importante. Ahí se define un lenguaje formal cuyo único relator es el signo [texx]=[/texx] y que sólo admite términos construidos con sumas y productos. Las fórmulas atómicas de ese lenguaje formal son precisamente las ecuaciones sobre un cuerpo ordenado arbitrario. Si no te interesan los axiomas, vale, pero esos axiomas son los que vas a necesitar para razonar si una ecuación tiene o no solución y cuáles son las soluciones en caso afirmativo. Por otro lado, era un ejemplo de que utilidad puede tener estudiar las ecuaciones desde ese punto de vista, pues permite llegar a conclusiones no triviales, como la completitud de la geometría. Puse el ejemplo porque si hubiera dicho que estudiar las ecuaciones desde un punto de vista de la lógica formal no tiene ningún interés estaría descartando casos como ése, que sí que lo tienen.

Lo que yo pregunto ya está por encima de eso, aceptamos como válido todo eso.

Sigo sin estar seguro de que no es eso lo que estás tratando de plantear. Ahí se construye un sistema axiomático aislado del resto de la teoría de conjuntos para tratar las ecuaciones y nada más que las ecuaciones. Si no es de eso de lo que hablas, no sé de lo que hablas.

Es cierto, termino ¿probando? (en vez de "diciendo" según vos) que existe el número dos, cuando lo que realmente quería hacer era mostrar que la solución tiene solución [texx]x=2[/texx]. ¿Podrías indicarme cómo lo harías, por favor?

Ya te lo he dicho varias veces, en este mensaje y en el anterior:

[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x=2)[/texx].
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« Respuesta #12 : 09/04/2019, 09:45:10 pm »

Hola

Creo que nos vamos acercando a lo que mi cabeza pensaba la primera vez que ideé la pregunta.

Ni lo uno ni lo otro. Es llegar a que [texx]\forall x\in \mathbb R(x+6=2\leftrightarrow x=-4)[/texx].

Ya te lo he dicho varias veces, en este mensaje y en el anterior:

[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x=2)[/texx].

Esto es lo que estoy preguntando.

O sea, yo pregunto si existe una manera de escribir el enunciado "Resolver la ecuación para [texx]x[/texx]" usando predicados, pero en ese enunciado no se espera dar con la solución, sino ¿para qué lo enunciamos? Yo me refiero a los casos típicos de examen de secundaria, en la que te aparecen un montón de igualdades y desigualdades en donde tenés que hallar UNO o VARIOS (o potencialmente ningún) valores que hacen cierta las mismas.

Pero vos decís que el enunciado "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" (que se espera que el alumno resuelva como todo el mundo lo hace, con coimplicaciones y propiedades conocidas) es equivalente a "[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x=2)[/texx]", pero ¡ahí ya estás diciendo la respuesta ([texx]x=2[/texx])!

De ahí reemplazar la frase "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" por "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]", para que la persona que lea "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]" sepa que debe encontrar el/los valores de [texx]x[/texx] que hacen cierta la igualdad [texx]2x-3=1[/texx], tal como si lo hiciera leyendo "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]". ¿Tiene pies y cabeza lo que pregunto? :¿eh?:.

Gracias por la paciencia.

Saludos
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« Respuesta #13 : 10/04/2019, 04:54:15 am »

O sea, yo pregunto si existe una manera de escribir el enunciado "Resolver la ecuación para [texx]x[/texx]" usando predicados, pero en ese enunciado no se espera dar con la solución, sino ¿para qué lo enunciamos? Yo me refiero a los casos típicos de examen de secundaria, en la que te aparecen un montón de igualdades y desigualdades en donde tenés que hallar UNO o VARIOS (o potencialmente ningún) valores que hacen cierta las mismas.

Ah, pues si lo que pretendes es formalizar "resolver la ecuación...", entonces la respuesta es rotundamente NO, no se puede. Al menos, no con la lógica usual (siempre es posible inventar exotismos), pues la lógica formaliza afirmaciones, no imperativos.

Pero vos decís que el enunciado "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" (que se espera que el alumno resuelva como todo el mundo lo hace, con coimplicaciones y propiedades conocidas) es equivalente a "[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x=2)[/texx]", pero ¡ahí ya estás diciendo la respuesta ([texx]x=2[/texx])!

No. Yo nunca me había planteado formalizar el enunciado porque es imposible. Yo te estaba formalizando la solución, que sí que es una afirmación matemática y, por consiguiente, formalizable.

De ahí reemplazar la frase "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" por "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]", para que la persona que lea "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]" sepa que debe encontrar el/los valores de [texx]x[/texx] que hacen cierta la igualdad [texx]2x-3=1[/texx], tal como si lo hiciera leyendo "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]". ¿Tiene pies y cabeza lo que pregunto? :¿eh?:.

No, no tiene. Lo que escribes significa "La ecuación tiene solución". Y eso no tiene nada que ver con "Estudia si la ecuación tiene solución y, en caso afirmativo, di cuáles son esas soluciones". Lo segundo no es formalizable (en la lógica matemática usual), porque no es una afirmación matemática. La matemática no entiende de mandatos.
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« Respuesta #14 : 10/04/2019, 05:50:51 am »


Hola, manooooh, buenos días.

Entro a saludar y un poco por si tuviera yo la culpa de esta duda; por lo que he dicho por ahí en algún otro hilo.

Si por caso escribes

[texx]\forall x,y\in\mathbb{R}:\, x-y=0
 [/texx]

pues no es cierto en general.

Si lo que qusiéramos decir, vamos a suponer, es que existen todos pero por separado, (para cualquier “x” existe un “y” tal que x-y=0 y viceversa) entonces (para mí) puede ser

por ejemplo

[texx]x,y\in\mathbb{R};\forall x\exists y:x-y=0
 [/texx] (sin perder generalidad)

o, por ejemplo

[texx]\forall x,y\in\mathbb{R}:\, x=y\Rightarrow x-y=0
 [/texx]

y aquí ha bastado con un sólo cuantificador. Lo que no sé es si “me sé entiende”, yo sí me entiendo.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 10/04/2019, 08:31:23 am »

Hola otra vez, manooooh, que no había visto que me habías contestado, perdona.

Pregunto:

¿"Resolver la ecuación [texx]x+6=2[/texx] en los reales" = [texx]\exists x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx] (o [texx]\forall x\in\Bbb R(x+6=2)[/texx])?

Pues para mí es la primera.

La segunda yo la leo así literalmente: “x es cualquier número real, -4 es cualquier número real”. Y así leída como yo la entiendo no puede ser verdad ni rezando a la Virgen de Lurdes; entendida de otra manera pues a lo mejor sí.

Por si las dudas, lo que yo decía en el otro hilo viene a ser esto; imagina que tenemos una serie de sentencias relacionadas por un problema o planteamiento; no sé, cualquier cosa

[texx]\forall x,y\in\mathbb{R}:
 [/texx]

[texx]{\color{red}{\color{red}y\neq}0};\dfrac{x}{y}\in\mathbb{R}
  [/texx]                    (todo “x” y todo “y” menos el cero)

[texx]\exists y=2{\color{red}|}x{\color{red}|}
 [/texx]

[texx]x\cdot y\in\mathbb{R}
  [/texx]

[texx]\exists x=3{\color{red}|}y{\color{red}|}
  [/texx]

Arriba se ha dicho “cualquier x,y,z”. Y mientras lo que se diga después sirva para cualquier real, no hace falta estar poniendo todo el rato “para todo”. Cuando no sirve para todo, se pone para algunos y así ahorramos. Hacer una cosa como ésta sería más pesado, como queda a la vista:

[texx]\exists x,y\in\mathbb{R}:
  [/texx]

[texx]\forall x,y;{\color{red}y\neq0}\in\mathbb{R};\dfrac{x}{y}\in\mathbb{R}
  [/texx]

[texx]\forall x\in\mathbb{R}\exists y\in\mathbb{R};y=2{\color{red}|}x{\color{red}|}
  [/texx]

[texx]\forall x,y\in\mathbb{R};x\cdot y\in\mathbb{R}
  [/texx]

[texx]\exists x\in\mathbb{R}\,\forall y\in\mathbb{R};x=3{\color{red}|}y{\color{red}|}
  [/texx]

Es decir, que se haya puesto un "para todo x" no implica que después no se pueda poner un "para algún x". Ésa es mi forma de verlo; que no tiene nada que ver con intercambiar el "para todo" con el "existe", no son intercambiables en general.

Ah, que había otra pregunta; voy leyendo de rato en rato :cara_de_queso:

Cita
Lo que justamente pregunto es si traducir el enunciado "Resolver [texx]x^2=-1[/texx] en los reales" es equivalente a probar o desmentir [texx]\exists x\in\Bbb R(x^2=-1)[/texx] (el cual es falso, no existe ese [texx]x[/texx]). ¿Estás de acuerdo en que son equivalentes ahora sí teniendo todo el enunciado escrito en lenguaje natural?

Si resuelves la ecuación (como pide el enunciado) pruebas que existe o que no existe; pero el enunciado ya está traducido, traducir no es resolver, si te refieres a eso.
Resolver la ecuación es equivalente a hallar el valor de verdad, eso sí se puede decir quizá; y si es falso, es equivalentemente mentira con el existe que con el "para todo" si no existe solución real, eso también.

Saludos.
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« Respuesta #16 : 10/04/2019, 06:32:42 pm »

Hola

O sea, yo pregunto si existe una manera de escribir el enunciado "Resolver la ecuación para [texx]x[/texx]" usando predicados, pero en ese enunciado no se espera dar con la solución, sino ¿para qué lo enunciamos? Yo me refiero a los casos típicos de examen de secundaria, en la que te aparecen un montón de igualdades y desigualdades en donde tenés que hallar UNO o VARIOS (o potencialmente ningún) valores que hacen cierta las mismas.

Ah, pues si lo que pretendes es formalizar "resolver la ecuación...", entonces la respuesta es rotundamente NO, no se puede. Al menos, no con la lógica usual (siempre es posible inventar exotismos), pues la lógica formaliza afirmaciones, no imperativos.

Pero vos decís que el enunciado "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" (que se espera que el alumno resuelva como todo el mundo lo hace, con coimplicaciones y propiedades conocidas) es equivalente a "[texx]\forall x\in \mathbb R(2x-3=1\leftrightarrow x=2)[/texx]", pero ¡ahí ya estás diciendo la respuesta ([texx]x=2[/texx])!

No. Yo nunca me había planteado formalizar el enunciado porque es imposible. Yo te estaba formalizando la solución, que sí que es una afirmación matemática y, por consiguiente, formalizable.

De ahí reemplazar la frase "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]" por "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]", para que la persona que lea "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]" sepa que debe encontrar el/los valores de [texx]x[/texx] que hacen cierta la igualdad [texx]2x-3=1[/texx], tal como si lo hiciera leyendo "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx]". ¿Tiene pies y cabeza lo que pregunto? :¿eh?:.

No, no tiene. Lo que escribes significa "La ecuación tiene solución". Y eso no tiene nada que ver con "Estudia si la ecuación tiene solución y, en caso afirmativo, di cuáles son esas soluciones". Lo segundo no es formalizable (en la lógica matemática usual), porque no es una afirmación matemática. La matemática no entiende de mandatos.

¡Gracias! Fue duro que no tenga ni pies ni cabeza, es una pobre pregunta deforme :llorando:.

Ya me quedó claro, no se puede pasar "Resolver la ecuación X" a la lógica porque esa oración es un imperativo y no una afirmación. Gracias.

Si resuelves la ecuación (como pide el enunciado) pruebas que existe o que no existe; pero el enunciado ya está traducido, traducir no es resolver, si te refieres a eso.
Resolver la ecuación es equivalente a hallar el valor de verdad, eso sí se puede decir quizá; y si es falso, es equivalentemente mentira con el existe que con el "para todo" si no existe solución real, eso también.

¡Ojo, no caigas en la misma trampa que yo! Carlos ha dicho muy correctamente que frases del tipo "Resuelva la ecuación [texx]x^2+4x+2=0[/texx]" o "Resuelva la inecuación [texx]2x-5>0[/texx]" NO son proposiciones, por lo que no tienen un valor de verdad asociado, como yo creía.

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« Respuesta #17 : 10/04/2019, 06:45:44 pm »



¡Ojo, no caigas en la misma trampa que yo! Carlos ha dicho muy correctamente que frases del tipo "Resuelva la ecuación [texx]x^2+4x+2=0[/texx]" o "Resuelva la inecuación [texx]2x-5>0[/texx]" NO son proposiciones, por lo que no tienen un valor de verdad asociado, como yo creía.

Saludos

Pero la segunda sí, manooooh, la del existe, y si resuelves la ecuación, entonces sabes el valor de verdad de la otra; vale para saber el valor de verdad, lo que no sé con seguridad es si se puede decir es equi-vale, pero valer, vale :sonrisa:

Buenas noches.
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« Respuesta #18 : 10/04/2019, 06:51:34 pm »

Hola, buenas noches

Pero la segunda sí, manooooh, la del existe, y si resuelves la ecuación, entonces sabes el valor de verdad de la otra; vale para saber el valor de verdad, lo que no sé con seguridad es si se puede decir es equi-vale, pero valer, vale :sonrisa:

No. Mirá:

Ah, pues si lo que pretendes es formalizar "resolver la ecuación...", entonces la respuesta es rotundamente NO, no se puede. Al menos, no con la lógica usual (siempre es posible inventar exotismos), pues la lógica formaliza afirmaciones, no imperativos.

Él está diciendo que "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx] en los reales" no se puede traducir en "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]" porque no se está afirmando nada. Ídem para cualquier cosa que incluya [texx]\forall[/texx] o cosas así.

Saludos
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« Respuesta #19 : 11/04/2019, 12:55:32 am »

Hola, buenas noches

Pero la segunda sí, manooooh, la del existe, y si resuelves la ecuación, entonces sabes el valor de verdad de la otra; vale para saber el valor de verdad, lo que no sé con seguridad es si se puede decir es equi-vale, pero valer, vale :sonrisa:

No. Mirá:

Ah, pues si lo que pretendes es formalizar "resolver la ecuación...", entonces la respuesta es rotundamente NO, no se puede. Al menos, no con la lógica usual (siempre es posible inventar exotismos), pues la lógica formaliza afirmaciones, no imperativos.

Él está diciendo que "Resolver la ecuación [texx]2x-3=1[/texx] en los reales" no se puede traducir en "[texx]\exists x\in\Bbb R(2x-3=1)[/texx]" porque no se está afirmando nada. Ídem para cualquier cosa que incluya [texx]\forall[/texx] o cosas así.

Saludos


Buenos y tempranos días aquí, manooooh.

Sí, te he entendido. Sólo que yo había traducido “equivalente”, en este caso, como que resolver la ecuación “vale” o “sirve” para conocer el valor de verdad de la proposición; no digo que el  enunciado tipo “problema” valga por sí mismo, es una cosa distinta. Pero si se atiende a la petición del enunciado, “Resolver...” (o sea, la imposición, “Resuelva usted esto”) entonces se conoce el valor de verdad de la proposición. Si no se atiende al mandato, no (pero lo mismo pasaría con la proposición si no hacemos caso de ella, ambas cosas sugieren contestar o valorar algo, eso sí lo tienen en común).
Eso es lo que quería decir.

Saludos.
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