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Autor Tema: Problema sobre integral  (Leído 223 veces)
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juanc
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« : 07/04/2019, 09:38:56 pm »

Hola, de antemano agradezco la ayuda en lo siguiente:
Sea [texx]k\in{[\displaystyle\frac{1}{4},1]}[/texx] una constante. Demuestre que se cumple
[texx]\displaystyle\frac{2}{e}\leq{\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{(x^2+1)e^{-x^2}}{\sqrt{x^4+x^2+k}}}dx\leq{2+\sqrt{2}\arctan (\sqrt{2}})[/texx].
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 08/04/2019, 01:08:49 am »

Observa que la integral es simétrica respecto del cero, por tanto la desigualdad puede escribirse también como

[texx]\displaystyle \frac1e\le\int_0^1\frac{(x^2+1)e^{-x^2}}{\sqrt{x^4+x^2+k}}dx\le 1+\frac1{\sqrt2}\arctan (\sqrt2)\tag1[/texx]

Ahora bien, es fácil demostrar que la función definida por [texx]g:[0,1]\to\Bbb R,\,x\mapsto e^{-x^2}[/texx] tiene un mínimo absoluto en [texx]x=1[/texx], y que [texx]x^2+1\ge\sqrt{x^4+x^2+k}[/texx] para todo [texx]x\in[0,1][/texx] y para todo [texx]k\in[1/4,1][/texx], por lo que la primera desigualdad es evidente.

Para la segunda desigualdad es suficiente con demostrar que

[texx]\displaystyle\int_0^1\frac{x^2+1}{\sqrt{x^4+x^2+1/4}}dx\le 1+\frac1{\sqrt 2}\arctan(\sqrt2)\tag2[/texx]

que es lo mismo que


[texx]\displaystyle\int_0^1\frac{x^2+1}{x^2+1/2}dx\le 1+\frac1{\sqrt 2}\arctan(\sqrt2)\tag3[/texx]

lo cual también es fácil de demostrar.
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