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Autor Tema: Integral nula  (Leído 322 veces)
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Estoesesparto
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« : 03/04/2019, 04:13:21 pm »

Buenas tardes, si tengo que [texx] \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\, dt [/texx] = 0 [texx] \forall{x}\in{[0,1]} [/texx] con f continua en [0,1] ¿entonces f es la función nula?
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« Respuesta #1 : 03/04/2019, 07:15:26 pm »

Hola Estoesesparto.

Podemos proceder por reducción al absurdo. Supongamos que

    [texx]\Big(\forall x\in[0,1]\Big)[/texx]   [texx]\displaystyle\int_0^xf(t)dt=0[/texx],

y supongamos por el contrario que [texx]f[/texx] no se anula en todo el intervalo [texx][0,1][/texx].


Como [texx]f[/texx] no se anula en todo [texx][0,1][/texx] y es continua, podemos elegir un intervalo [texx]]x_1,x_2[\subset ]0,1[[/texx] donde

    [texx]\Big(\forall x\in ]x_1,x_2[\Big)[/texx]   [texx]f(x)>0[/texx]   [texx]\vee[/texx]   [texx]f(x)<0[/texx].

Se sigue que

    [texx]\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\neq 0[/texx].



Luego, por hipótesis

    [texx]\displaystyle\int_0^{x_1}f(t)dt=0[/texx]   y   [texx]\displaystyle\int_0^{x_2}f(t)dt=0[/texx]

de donde

    [texx]\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=\int_0^{x_2}f(t)dt-\int_0^{x_1}f(t)dt=0[/texx]

lo que es una contradicción, y por tanto la función debe anularse en todo [texx][0,1][/texx].
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« Respuesta #2 : 03/04/2019, 07:56:50 pm »

Hola

Solamente para complementar, la correcta demostración de mathtruco, al suponer que f no se anula en el intervalo [texx][0,1][/texx], se esta suponiendo que [texx]\exists{x_0}\in{[0,1]} \ / \ f(x_0)\neq{0}[/texx], en esas condiciones hay dos alternativas, que se excluyen :

1) [texx]f(x_0)>0[/texx]   ó     2) [texx]f(x_0)<0[/texx]

Considerando la alternativa 1), el Teorema de Conservación de Signo para las funciones continuas dice que [texx]\exists{\delta}>0 \ / \ f(x)>0, \ si \ x\in{]x_0-\delta,x_0+\delta[}[/texx], denominando [texx]x_1=x_0-\delta, \ \ x_2=x_0+\delta[/texx], se tiene el intervalo [texx]]x_1,x_2[\subset{[0,1]}[/texx], donde bajo la alternativa 1) [texx]f(x)>0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[}[/texx]. Lo mismo ocurre para la alternativa 2) con la única diferencia que [texx]f(x)<0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[}[/texx]


Saludos
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« Respuesta #3 : 04/04/2019, 04:16:14 pm »

Puede que haya varias maneras de abordar la demostración.
A la prueba de mathtruco me gustaría ponerla en otros términos.
Por ejemplo, agregar que en el intervalo abierto [texx](x_1, x_2) [/texx] 
es posible tomar un intervalo cerrado [texx][\alpha, \beta][/texx], tal que [texx]\alpha < \beta[/texx].
¿Para qué?
Para usar que se sabe que en un intervalo cerrado una función continua alcanza un mínimo, digamos en un punto [texx]c[/texx].
De ahí que, si se considera el caso en que [texx]f(x) > 0[/texx], entonces tendríamos que [texx]f(c) > 0[/texx], y entonces:

[texx]\int_{\alpha}^\beta f(x) \,dx  \geq \int_{\alpha}^\beta f(c)\,dx=f(c)(\beta-\alpha)=:\gamma.[/texx]

Luego:

[texx]0<\gamma\leq \int_{\alpha}^\beta f(x)\,dx=\int_0^\beta - \int_0^\alpha = 0-0 = 0[/texx]

contradicción.

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« Respuesta #4 : 04/04/2019, 06:08:49 pm »

Otra manera sería recurriendo al teorema fundamental del cálculo: tenemos que [texx]f[/texx] es continua, por tanto [texx]F(x):=\int_0^x f(t)\, dt[/texx] es una primitiva de [texx]f[/texx], y por tanto [texx]F'=f[/texx]. Como [texx]F=0[/texx] entonces necesariamente [texx]f=0[/texx].

(Si es una integral de Lebesgue lo anterior sigue siendo válido, ya que la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden en este caso.)
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