26/01/2020, 22:29:59 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Distinguir o no vectores de escalares, el debate definitivo  (Leído 1965 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.547


Ver Perfil
« : 02/04/2019, 14:06:14 pm »

Hola

Hace poco me surgió una controversia interna de si los vectores debían ir con flecha encima o no.

Para responder esta cuestión hace falta un poco de contexto, porque todos sabemos que cualquier notación, si es consistente, bien está.

La adición de una flecha/barra/cambio de color es para diferenciar especialmente los vectores de los escalares, como varios de ustedes afirman. Por otra parte, es un recurso pedagógico para los estudiantes que no necesitan avanzar en matemática. Este contexto amerita diferenciar un vector de un escalar.

Así que ese el contexto: estudiantes que no están avanzados en matemáticas.

Próximo paso: consistencia.

Soy consciente de lo que es un vector (segmento orientado). Ahora bien, ¿todos los alumnos que no somos avanzados en matemáticas somos consistentes con la notación? Parece que la respuesta es no.

Las explicaciones se las dejo a ustedes, pero por ejemplo hay varios casos en donde no denotamos con nada lo que es un vector, pero que lo son:

  • Números complejos.
  • Elementos de un grupo.
  • El conjunto vacío.

A todos ellos, por su definición, habría que distinguirlos de lo que NO es vector, aunque no se hace: no se les pone flechita ni se les cambio de color ni nada de eso.



Como se puede observar hay una clara inconsistencia: ¿hasta cuándo se decide que un vector lleva flecha y cuándo no?

Mi pregunta es: ¿la inconsistencia es un argumento válido para "tirar abajo" una notación?

Si es así entonces ya no debería haber flechita ni cambio de color ni nada de eso, dentro de este contexto habría que homogeneizar todo en la notación: [texx]v_1,\emptyset,x+yi[/texx] etc., ¿es correcto?

Distinguir vectores, el debate definitivo

Gracias!!
Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.801


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 03/04/2019, 07:26:06 am »

Hola

Hace poco me surgió una controversia interna de si los vectores debían ir con flecha encima o no.

Pues no empieza muy bien la cosa, porque ese difícilmente se puede concebir como un "deber" el elegir colocar una flecha o no encima de un vector.

Cita
La adición de una flecha/barra/cambio de color es para diferenciar especialmente los vectores de los escalares, como varios de ustedes afirman. Por otra parte, es un recurso pedagógico para los estudiantes que no necesitan avanzar en matemática. Este contexto amerita diferenciar un vector de un escalar.

Bien. De acuerdo. El querer enfatizar el carácter de vector de un objeto bien sea por motivos pedagógicos o de claridad puede ser motivamente para ponerles una flecha encima; pero igualmente otra persona podría pensar que no, que pedagógicamente es mejor que se acostumbren a no poner flecha alguna porque verán que ese es el uso en muchos libros de matemáticas. Es decir, de acuerdo, pero no dejan de ser criterios totalmente subjetivos.

Cita
Soy consciente de lo que es un vector (segmento orientado). Ahora bien, ¿todos los alumnos que no somos avanzados en matemáticas somos consistentes con la notación?


Tengo ciertas dudas del significado exacto que estás dando a "ser consistente en la notación". Pero estoy casi seguro de que eres innecesariamente exigente con lo que entiendes por ser consistente.

Cita
Las explicaciones se las dejo a ustedes, pero por ejemplo hay varios casos en donde no denotamos con nada lo que es un vector, pero que lo son:

  • Números complejos.
  • Elementos de un grupo.
  • El conjunto vacío.

A todos ellos, por su definición, habría que distinguirlos de lo que NO es vector, aunque no se hace: no se les pone flechita ni se les cambio de color ni nada de eso.

De hecho es fácil usando la noción de grupo abeliano libre, hacer que cualquier conjunto forme parte de un espacio vectorial, o dicho de otra manera, en ciertas circunstancias cualquier objeto matemático podría ser un vector.

Pero eso no quita ni pone nada a la hora de decidir en cada caso particular si nos conviene, nos gusta, nos aporta algo usar o no la flechita.

Cita
Como se puede observar hay una clara inconsistencia: ¿hasta cuándo se decide que un vector lleva flecha y cuándo no?

No se exactamente de que inconsistencia hablas. No se si consistente o no; es perfectamente razonable y tiene porqué crear confusión alguna que una misma persona (estudiante o profesor) decida que es oportuno diferenciar vectores con una flecha en un determinado desarrollo matemático y en la página siguiente en otro desarrollo decidir no colocar la flecha.

Cita
Mi pregunta es: ¿la inconsistencia es un argumento válido para "tirar abajo" una notación?

No contesto muy convencido a falta de saber exactamente que estás entendiendo por inconsistencia. En general lo que tira abajo una notación es que sea confusa. Y digo esto consciente de lo poco preciso que es la palabra "confusa".

Saludos.
En línea
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.384


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 03/04/2019, 07:34:00 am »

Sean [texx]u, v[/texx] vectores y [texx]k\in \mathbb{R}[/texx]..... Patatín patatán.....
¿Dónde ves la inconsistencia de no poner la flecha?

Cuando llevas tiempo viendo vectores sabes que [texx]u, v, w[/texx] son vectores y [texx]k[/texx] un escalar.....
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.547


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 03/04/2019, 20:36:20 pm »

Hola

Pues no empieza muy bien la cosa, porque ese difícilmente se puede concebir como un "deber" el elegir colocar una flecha o no encima de un vector.

Pero lo entiendo eso, lo que está mal es adoptar una notación y luego no ser consistente con ella.

Bien. De acuerdo. El querer enfatizar el carácter de vector de un objeto bien sea por motivos pedagógicos o de claridad puede ser motivamente para ponerles una flecha encima; pero igualmente otra persona podría pensar que no, que pedagógicamente es mejor que se acostumbren a no poner flecha alguna porque verán que ese es el uso en muchos libros de matemáticas. Es decir, de acuerdo, pero no dejan de ser criterios totalmente subjetivos.

Es que estoy poniendo sobre la mesa el hecho de que todos los profesores y sus séquitos los estudiantes que no pertenecemos a un ámbito matemático puro hemos sidos inconsistentes toda la vida.

Tengo ciertas dudas del significado exacto que estás dando a "ser consistente en la notación". Pero estoy casi seguro de que eres innecesariamente exigente con lo que entiendes por ser consistente.

Es muy simple entender qué es ser consistente. Mirá:

En primer lugar entendamos que la consistencia o inconsistencia es una cuestión que debe ser adoptada explícitamente por el autor (debe saber lo que hace). Cuando uno se propone caminar todos los días por el mismo camino (sea por el motivo que fuere) uno está adoptando una convención, y mientras lo mantenga y no se salga del camino estará siendo consistente, pero a la vez consciente de lo que hace.

Pero muchas veces nos damos cuenta de que en algo podemos mejorar, y es entonces cuando decidimos cambiar de notación. Del ejemplo, cuando uno quiere probar ir por otro camino y se da cuenta de que recorre lo mismo pero en menos tiempo (y teniendo las variables a su favor, que uno no elige caminar por un descampado sin luz sólo porque "es más rápido") es entonces cuando elegimos ese nuevo camino (notación).

Ahora bien, siempre hay excepción a las reglas. Del ejemplo, una es probar si otro camino es más rápido o no, o si antes de ir por el mismo camino de siempre para comprar algo se tiene que salir del camino, pues bien estará, siempre y cuando se de aviso y no ocurra todos los días.

En matemáticas supongo que pasa lo mismo.

Cuando un profesor explica vectores y les pone flechita encima es para denotar "No confundas un vector de un escalar", pero en el fondo está adoptando una notación. El problema es cuando otro profesor explica un número complejo: todos sabemos que los números complejos son vectores, pero ese profesor (que no tiene por qué adoptar la misma notación que el otro) no escribe con flecha los complejos. Ahora bien, cuando a un estudiante se le pregunta si un complejo es un vector te va a decir "No", porque para él tiene sentido, porque hubo dos profesores que han sido inconsistentes con la notación.



Por tanto, y en vista de que es peor darse cuenta de que muchos objetos matemáticos son vectores y por tanto deben distinguirse de los escalares, los profesores deben escribir sin flechas (exceptuando casos muy puntuales, porque en otro caso se afirmaría "Un número complejo no es un vector" que está mal).

No se exactamente de que inconsistencia hablas. No se si consistente o no; es perfectamente razonable y tiene porqué crear confusión alguna que una misma persona (estudiante o profesor) decida que es oportuno diferenciar vectores con una flecha en un determinado desarrollo matemático y en la página siguiente en otro desarrollo decidir no colocar la flecha.

Eso es una inconsistencia que no tiene nada que ver con el contexto, como ocurría con llamar a dos cosas distintas de la misma manera.

Si el profesor X escribe un vector con una flecha pero el profesor Y deja de escribir al vector número complejo con una flecha encima se incurre en una inconsistencia.

Digamos, una transformación lineal es un vector que cumple determinadas condiciones, pero no deja de ser vector, por ende en álgebra, física o teoría cuántica aquella definición de vector que se mantenga invariante con el paso del tiempo tiene que escribirse con una flecha.

Está bien ser estricto con la notación, porque sino sería un desfile de flechas y no flechas que no lleva al entendimiento de nada.

Es una crítica que me hago hacia mí como impulsor de la rigidez en la notación, pero que me gusta hacer ver a ustedes de que no debe existir la inconsistencia.

Sean [texx]u, v[/texx] vectores y [texx]k\in \mathbb{R}[/texx]..... Patatín patatán.....
¿Dónde ves la inconsistencia de no poner la flecha?

Cuando llevas tiempo viendo vectores sabes que [texx]u, v, w[/texx] son vectores y [texx]k[/texx] un escalar.....

Yo soy creyente de que las palabras "vectores" y "escalar" (que no está pero se sobreentiende) están muy bien puestas en tu definición de ejemplo, sugata. Lo que está mal es definir un vector y ponerle una notación y luego en un número complejo no se le ponga :¿eh?:.

Saludos
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 03/04/2019, 21:09:46 pm »

manooooh,

me parece bien tratar de escribir lo más estándar posible, pero me parece que la "consistencia" que propones sólo sirve para casos simples. Te doy un ejemplo:

Si los elementos de un espacio vectorial [texx]V[/texx] son funciones, uno suele denotarlo por [texx]f[/texx], como cualquier función de toda la vida, así [texx]f\in V[/texx]. ¿O quieres ponerle flechita? ¿Eso no te haría inconsistente? (porque dudo que le pongas flechitas a las funciones continuas por ser elementos de un espacio vectorial).

Pero cuando se tiene el producto cartesiano podrías denotarlo [texx]\vec{f}\in V\times V[/texx] para resaltar que [texx]\vec{f}=(f_1,f_2)[/texx] con [texx]f_1,f_2\in V[/texx]. Nota que tanto [texx]V[/texx] como [texx]V\times V[/texx] serían espacios vectoriales.

Los libros suelen preferir dejar en negrita los vectores, pero en un cuaderno sería poco práctico escribir letras en negrita.

He visto en muchos libros que, para un espacio vectorial [texx]X[/texx] usan [texx]A\in X[/texx], [texx]{\bf A}\in X^n[/texx] y [texx]\mathbb{A}\in X^{n\times n}[/texx]. Es una convención muy cómoda en algunos contextos. Nota que el espacio [texx]X[/texx] puede ser lo que quieras, un espacio de vectores, de matrices cuyos elementos son funciones... Pero esto no obliga a que en cada curso que dictes o cada libro o apunte que hagas debas escribir las matrices en la forma [texx]\mathbb{A}[/texx], normalmente basta [texx]A[/texx].

Como ves, todo depende de lo que quieras explicar, pero no es más que una convención del momento.

Así que todo depende del contexto, y gustos. No hay "debate definitivo".
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.547


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 03/04/2019, 21:27:13 pm »

Hola

Si los elementos de un espacio vectorial [texx]V[/texx] son funciones, uno suele denotarlo por [texx]f[/texx], como cualquier función de toda la vida, así [texx]f\in V[/texx]. ¿O quieres ponerle flechita? ¿Eso no te haría inconsistente? (porque dudo que le pongas flechitas a las funciones continuas por ser elementos de un espacio vectorial).

Me lo han dicho miles de veces. Es por eso que ahora quiero adoptar una única notación para que no haya inconsistencias, porque tu ejemplo es uno de ellos, o cuando yo escribo un vector con flecha pero un complejo no, etcétera.

Pero cuando se tiene el producto cartesiano podrías denotarlo [texx]\vec{f}\in V\times V[/texx] para resaltar que [texx]\vec{f}=(f_1,f_2)[/texx] con [texx]f_1,f_2\in V[/texx]. Nota que tanto [texx]V[/texx] como [texx]V\times V[/texx] serían espacios vectoriales.

Hasta hace un tiempo te hubiera dicho "Seguí así", pero ahora te digo "Decidite por alguna notación y sé consistente" (si insistimos con que toda función es un vector y lo que hacemos es no ponerle flecha) :risa:.

Los libros suelen preferir dejar en negrita los vectores, pero en un cuaderno sería poco práctico escribir letras en negrita.

He visto en muchos libros que, para un espacio vectorial [texx]X[/texx] usan [texx]A\in X[/texx], [texx]{\bf A}\in X^n[/texx] y [texx]\mathbb{A}\in X^{n\times n}[/texx]. Es una convención muy cómoda en algunos contextos. Nota que el espacio [texx]X[/texx] puede ser lo que quieras, un espacio de vectores, de matrices cuyos elementos son funciones... Pero esto no obliga a que en cada curso que dictes o cada libro o apunte que hagas debas escribir las matrices en la forma [texx]\mathbb{A}[/texx], normalmente basta [texx]A[/texx].

Ah, sí, da igual cómo quieras distinguirlo, la cuestión pasa por la consistencia de distinguir o no algo de otro algo.

Como ves, todo depende de lo que quieras explicar, pero no es más que una convención del momento.

Pero eso está muy bien. Lo que critico del sistema educativo y de nuestra forma de pensar es que hemos sidos inconsistentes toda la vida, y eso no está bien.

Así que todo depende del contexto, y gustos. No hay "debate definitivo".

¡¿Y cuál es el contexto distinto que hay que considerar al principio de que se explica lo que es un vector y luego una transformación lineal, que es un vector, deja de usarse la notación para el vector?! Eso se llama inconsistencia.

A ver, yo no cuestiono que la persona quiera elegir todos los días un camino distinto, porque esa persona debería tener algún criterio para hacerlo, pero está mal denotar algo y dejar de denotar algo similar sólo porque "es más cómodo", porque primero viene la inconsistencia del acto, luego el acto ("Pienso, luego existo").

Saludos
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 03/04/2019, 21:55:00 pm »

Hola

Si los elementos de un espacio vectorial [texx]V[/texx] son funciones, uno suele denotarlo por [texx]f[/texx], como cualquier función de toda la vida, así [texx]f\in V[/texx]. ¿O quieres ponerle flechita? ¿Eso no te haría inconsistente? (porque dudo que le pongas flechitas a las funciones continuas por ser elementos de un espacio vectorial).

Me lo han dicho miles de veces. Es por eso que ahora quiero adoptar una única notación para que no haya inconsistencias, porque tu ejemplo es uno de ellos, o cuando yo escribo un vector con flecha pero un complejo no, etcétera.


Los números reales son escalares y también vectores. Los números complejos son reales y también vectores. Así que depende del contexto, y la elección del momento si quieres ponderle flechitas a alguno.

Tu profe puede decir que x=1, y 5 minutos depués x=3. No hay inconsistencia, sólo está hablando de otra cosa.
Tampoco mi amiga Ximena pasará a llamarse 1imena o 3imena.




Pero cuando se tiene el producto cartesiano podrías denotarlo [texx]\vec{f}\in V\times V[/texx] para resaltar que [texx]\vec{f}=(f_1,f_2)[/texx] con [texx]f_1,f_2\in V[/texx]. Nota que tanto [texx]V[/texx] como [texx]V\times V[/texx] serían espacios vectoriales.

Hasta hace un tiempo te hubiera dicho "Seguí así", pero ahora te digo "Decidite por alguna notación y sé consistente" (si insistimos con que toda función es un vector y lo que hacemos es no ponerle flecha) :risa:.


Me sorprende que no notes que [texx]f\in V[/texx] sería un vector y [texx](f_1,f_2)\in V^2[/texx] también sería un vector. Si le pones flecha a todo la notación pierde sentido.


Los libros suelen preferir dejar en negrita los vectores, pero en un cuaderno sería poco práctico escribir letras en negrita.

He visto en muchos libros que, para un espacio vectorial [texx]X[/texx] usan [texx]A\in X[/texx], [texx]{\bf A}\in X^n[/texx] y [texx]\mathbb{A}\in X^{n\times n}[/texx]. Es una convención muy cómoda en algunos contextos. Nota que el espacio [texx]X[/texx] puede ser lo que quieras, un espacio de vectores, de matrices cuyos elementos son funciones... Pero esto no obliga a que en cada curso que dictes o cada libro o apunte que hagas debas escribir las matrices en la forma [texx]\mathbb{A}[/texx], normalmente basta [texx]A[/texx].

Ah, sí, da igual cómo quieras distinguirlo, la cuestión pasa por la consistencia de distinguir o no algo de otro algo.


He sido claro indicándote que -si uno se pone pesado- todos: reales, complejos, funciones, matrices...   pertenecen a espacios vectoriales, así que denotarlos con flecha a todos carecería de sentido. Puedes tener vectores cuyos elementos son vectores...

Uno elige la notación más simple para el contexto en el que esté. Y el "más simple" es una elección del que está escribiendo.


Como ves, todo depende de lo que quieras explicar, pero no es más que una convención del momento.

Pero eso está muy bien. Lo que critico del sistema educativo y de nuestra forma de pensar es que hemos sidos inconsistentes toda la vida, y eso no está bien.

El "sistema educativo" no existe como ente regulador. El sistema educativo en este caso serían profesores, de física, matemática...  cada uno queriendo explicar cosas distintas, y pudiendo elegir la notación que les parezca más clara en el momento.


Así que todo depende del contexto, y gustos. No hay "debate definitivo".

¡¿Y cuál es el contexto distinto que hay que considerar al principio de que se explica lo que es un vector y luego una transformación lineal, que es un vector, deja de usarse la notación para el vector?! Eso se llama inconsistencia.


Creo que he sido claro. Los reales, los complejos, las matrices, los vectores...   si uno se pone pesado, entonces son todo es un vector (podrás considerar un espacio vectorial al cual pertenecen). ¿Qué sentido le ves a ponerle flechitas a todos?



A ver, yo no cuestiono que la persona quiera elegir todos los días un camino distinto, porque esa persona debería tener algún criterio para hacerlo, pero está mal denotar algo y dejar de denotar algo similar sólo porque "es más cómodo", porque primero viene la inconsistencia del acto, luego el acto ("Pienso, luego existo").

Saludos

No está mal. En un capítulo una notación puede ser clara, y en otro otra la más clara puede ser otra.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.547


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 03/04/2019, 22:37:54 pm »

Hola

Los números reales son escalares y también vectores. Los números complejos son reales y también vectores. Así que depende del contexto, y la elección del momento si quieres ponderle flechitas a alguno.

Pero técnicamente todo real es un complejo, con parte imaginaria nula. Como los complejos son vectores, por transitividad se tiene que los reales son vectores, pero uno no va toda la vida escribiendo los reales con flechas o en negrita.

Me sorprende que no notes que [texx]f\in V[/texx] sería un vector y [texx](f_1,f_2)\in V^2[/texx] también sería un vector. Si le pones flecha a todo la notación pierde sentido.

Eso es justamente lo que sucede cuando uno decide emplear una notación: ser consistente. Pero la consistencia implica ponerse tiquismiquis con la notación.

Por ello, lo mejor sería olvidarse de todas las formas de diferenciar un vector de un escalar.

El "sistema educativo" no existe como ente regulador. El sistema educativo en este caso serían profesores, de física, matemática...  cada uno queriendo explicar cosas distintas, y pudiendo elegir la notación que les parezca más clara en el momento.

Cada profesor puede elegir lo que tenga ganas, pero mientras sea consistente. Si me enseñan que un vector va con flecha y un complejo (vector) no la tiene, le digo de todo menos que qué buena enseñanza me está dando.

La inconsistencia no se puede avalar en ningún grado de rigidez.

No está mal. En un capítulo una notación puede ser clara, y en otro otra la más clara puede ser otra.

No. Los símbolos son símbolos y las palabras son palabras.

En computación el desigual es [texx]!=[/texx] o [texx]<>[/texx] u otra, pero en matemática es [texx]\neq[/texx]. Pero no es por una cuestión de inconsistencia, sino por una cuestión de capacidad y/o de no poder representar un igual con una línea oblicua computacionalmente. Nada más.

Saludos
En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 03/04/2019, 23:50:18 pm »

Hola

Los números reales son escalares y también vectores. Los números complejos son reales y también vectores. Así que depende del contexto, y la elección del momento si quieres ponderle flechitas a alguno.

Pero técnicamente todo real es un complejo, con parte imaginaria nula. Como los complejos son vectores, por transitividad se tiene que los reales son vectores, pero uno no va toda la vida escribiendo los reales con flechas o en negrita.

No es algo técnico. Los reales y los complejos son espacios vectoriales porque satisfacen todas las propiedades de espacios vectoriales. Pero también pueden ser el cuerpo que define un espacio vectorial. Así que ¿en algunos casos los reales llevarían flechita y en otros no? Me parece una distinción perfecta cuando queremos probar, por ejemplo, que el conjunto de los reales con el cuerpo de los reales es efectivamente un espacio vectorial, ya que lo mejor será hacer una notación para distinguir uno de otro (cuales son reales vectores y cuales son reales cuerpo).

Yo sólo uso flechita para enseñar a alguien que está recién aprendiendo, porque así queda más claro visualmente. De hecho, a menos que un libro sea donde se enseñan vectores, los libros no suelen usar flechitas para denotar vectores, con suerte usan negritas.

De hecho, cosas importantes las escribo en rojo (como las restricciones en una desigualdad), pero sólo un par de veces, luego ya no. Y a nadie se le vuela la cabeza.

Me sorprende que no notes que [texx]f\in V[/texx] sería un vector y [texx](f_1,f_2)\in V^2[/texx] también sería un vector. Si le pones flecha a todo la notación pierde sentido.

Eso es justamente lo que sucede cuando uno decide emplear una notación: ser consistente. Pero la consistencia implica ponerse tiquismiquis con la notación.

Por ello, lo mejor sería olvidarse de todas las formas de diferenciar un vector de un escalar.


De acuerdo, no usemos las flechitas. ¿Pero no te parece que enseñar vectores a alguien es más fácil usando las flechitas? Sin duda, y no se le quebrará la cabeza si a las dos semanas le decimos que ya no usaremos flechas.



El "sistema educativo" no existe como ente regulador. El sistema educativo en este caso serían profesores, de física, matemática...  cada uno queriendo explicar cosas distintas, y pudiendo elegir la notación que les parezca más clara en el momento.

Cada profesor puede elegir lo que tenga ganas, pero mientras sea consistente. Si me enseñan que un vector va con flecha y un complejo (vector) no la tiene, le digo de todo menos que qué buena enseñanza me está dando.

La inconsistencia no se puede avalar en ningún grado de rigidez.

No es inconsistente llamar a la incógnita [texx]x[/texx] y a veces [texx]y[/texx]. Tampoco es inconsistente ponerle flecha a un vector o no.

No está mal. En un capítulo una notación puede ser clara, y en otro otra la más clara puede ser otra.

No. Los símbolos son símbolos y las palabras son palabras.

En computación el desigual es [texx]!=[/texx] o [texx]<>[/texx] u otra, pero en matemática es [texx]\neq[/texx]. Pero no es por una cuestión de inconsistencia, sino por una cuestión de capacidad y/o de no poder representar un igual con una línea oblicua computacionalmente. Nada más.

Saludos

En computación puedes usar ~=. !=, .NEQ. y quizás cuantos para denotar que dos expresiones son distinta. ¿Es necesario que todos los lenguajes de programación tengan un "debate definivo" sobre el tema? No. De hecho, en lenguajes de programación con más años, como Fortran, hay muchas cosas que pueden escribirse de muchas maneras. Por ejemplo, puedes escribir /=  ó  .NEQ., son exactamente lo mismo, y nadie explota. Así que tu ejemplo con lenguajes de programación que te parecía válido para confirmar lo que decías espero que te parezca igualmente válido para confirmar lo contrario.
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.547


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 04/04/2019, 00:54:53 am »

Hola

Yo sólo uso flechita para enseñar a alguien que está recién aprendiendo, porque así queda más claro visualmente. De hecho, a menos que un libro sea donde se enseñan vectores, los libros no suelen usar flechitas para denotar vectores, con suerte usan negritas.

De hecho, cosas importantes las escribo en rojo (como las restricciones en una desigualdad), pero sólo un par de veces, luego ya no. Y a nadie se le vuela la cabeza.

Está bien, lo podés pensar como un recurso pedagógico, pero la realidad que en un artículo matemático y una editorial seria, no se deberían aceptar inconsistencias, a menos que explícitamente el autor quiera cambiar alguna notación, cosa que me parece poco seria para un artículo matemático.

Dentro del ámbito educativo ""poco serio"" está todo bien, porque es ""poco serio"", aunque con este criterio qué le deparará al alumno que tenga verdaderas ganas de aprender cualquier cosa, si hay pocas cosas que son verdaderamente serias, como la consistencia de una notación.

De acuerdo, no usemos las flechitas. ¿Pero no te parece que enseñar vectores a alguien es más fácil usando las flechitas? Sin duda, y no se le quebrará la cabeza si a las dos semanas le decimos que ya no usaremos flechas.

Peor aun: que el profesor te diga que los complejos no son vectores. Sí, me tocó escucharlo.....

No es inconsistente llamar a la incógnita [texx]x[/texx] y a veces [texx]y[/texx]. Tampoco es inconsistente ponerle flecha a un vector o no.

Si eso pasa constantemente en todo el documento yo diría que hay una falta de seriedad en el asunto.

En programación no vas redefiniendo una variable una y otra vez. ¿Quién va a entender ese crudo más tarde?

En computación puedes usar ~=. !=, .NEQ. y quizás cuantos para denotar la desigualdad. ¿Es necesario que todos se pongan de acuerdo? No. De hecho, lenguajes de programación antigüos, como Fortran, hay muchas cosas que pueden escribirse de muchas maneras. Por ejemplo, puedes escribir /= o .NEQ., son exactamente lo mismo, y nadie explota.

Porque lenguajes como Fortran son del siglo pasado, y aggionarlo al 2019 cuesta más que descargarse un lenguaje más moderno.

Pero esos lenguajes de programación son consistentes, no tenés 5 maneras de hacer un condicional: hay uno. No tenés 3 maneras distintas de hacer un loop: tenés uno solo. Etcétera. Y como dije, muchos caracteres de los lenguajes de programación se basan en solamente algunos comandos de ASCII, donde por su antiguedad o porque han querido definir todo de nuevo no incluyen símbolos operables como [texx]\neq[/texx], o [texx]\leq[/texx] o [texx]\Longrightarrow[/texx] etc.

Saludos
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 8.728



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 04/04/2019, 03:50:41 am »

Buenos días manooooh.


Cita
Soy consciente de lo que es un vector (segmento orientado). Ahora bien, ¿todos los alumnos que no somos avanzados en matemáticas somos consistentes con la notación?.

Seguramente no, pero esa “inconsistencia” no es tan grave, siempre y cuando no llegue a un extremo. La inconsistencia grave es cuando en un planteamiento matemático existe alguna contradicción. El que haya un par de notaciones distintas, o tres... tampoco es para tanto y, además, supongo que es inevitable. Piénsalo como con los sinónimos, palabras que tienen el mismo significado; ayudan a que la lectura y la escritura, el lenguaje en general, no se haga aburrido, pesado, monótono... Y dentro de las palabras polisémicas hay a quien le gustan más unas y a quien le gustan más otras; por distintas razones, por sonoridad, porque gusto, porque las recuerdan mejor... Considera las distintas notaciones y cosas así como sinónimos, simplemente.
En cuanto a que a veces pueda lugar a equívocos... pues sí, es inevitable; pero nunca vamos a ser perfectos, nunca vamos a ser como el ordenador, no somos máquinas; y yo prefiero que sea así. Por supuesto, sin que esto que digo llegue a un extremo de confusión, evitando eso.

Saludos.
En línea

geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 892



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 04/04/2019, 04:14:39 am »

Hay que ver como de una tontería formas unas discusiones eternas, manooooh.
Cuando en el otro hilo te dije que todo conjunto se puede ver como elemento de algún espacio vectorial, luego en particular el conjunto vacío, no quería decir ni mucho menos que para ser consistente con la notación de la flechita había que ponerselo a todo, ni que la notación de la flechita fuera una aberración que nunca hay que usar.

Lo que quería decir es que no hay que preguntarse "qué objetos son vectores" en abstracto (pues la respuesta es que cualquier objeto se puede pensar como vector en algún espacio vectorial), sino "en el espacio vectorial en el que estoy trabajando, qué es un vector y qué es un escalar". Normalmente esta notación se usa en álgebra lineal cuando trabajas con un espacio vectorial fijado [texx]V[/texx] o a lo sumo con dos y una transformación lineal entre ellos. En ese contexto, con el espacio vectorial fijado, hay una distinción bien definida entre "vector" y "escalar", luego puedes usar flechitas para los vectores y nada para los escalares.

Por seguir la analogía con los lenguajes de programación, tiene sentido usar la notación de la flechita en un entorno local donde tienes definido un espacio vectorial concreto, pero no lo tiene tanto en un entorno global donde no te has fijado en ningún espacio vectorial en particular. Por eso esta notación se suele usar en mecánica elemental, donde siempre se trabaja con el espacio vectorial [texx]\mathbb{R}^3[/texx] o [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Pero esto pasa en todas partes, incluso en las notaciones más establecidas. Por ejemplo, el neutro de un grupo muchas veces se denota por [texx]e[/texx]. Pero cuando se usa esta notación se sobreentiende que hablas de algún grupo concreto, porque de nuevo cualquier conjunto se puede ver como el neutro de algún grupo. Si usaras la notación [texx]e[/texx] para todo objeto que es neutro de algún grupo te verías obligado a llamar [texx]e[/texx] a absolutamente todo, lo que es obviamente absurdo.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 04/04/2019, 13:53:10 pm »

Hola

Yo sólo uso flechita para enseñar a alguien que está recién aprendiendo, porque así queda más claro visualmente. De hecho, a menos que un libro sea donde se enseñan vectores, los libros no suelen usar flechitas para denotar vectores, con suerte usan negritas.

De hecho, cosas importantes las escribo en rojo (como las restricciones en una desigualdad), pero sólo un par de veces, luego ya no. Y a nadie se le vuela la cabeza.

Está bien, lo podés pensar como un recurso pedagógico, pero la realidad que en un artículo matemático y una editorial seria, no se deberían aceptar inconsistencias, a menos que explícitamente el autor quiera cambiar alguna notación, cosa que me parece poco seria para un artículo matemático.


Te sorprenderías de ver que un autor cambia su notación de paper en paper. Eso es normal, porque un paper seminal puede abordar un caso bien particular, pero los papers sucesivos serán gradualmente más generales, por lo que se hace imprescindible aumentar la notación. O más aún, piensa que la persona que hizo su paper en 1990 ahora tiene nuevos resultados...   te apuesto que la notación ha ido evolucionando. Pero al revés, si alguien quiere trabajar con un caso particular, no tiene sentido usar en su paper una notación sobrecargada si no se justifica.

Así que eso de ponerse de acuerdo con la notación sólo tiene sentido para matemática ya desarrollada, o sea, para un curso básico de cálculo en unas varias variables (es decir, en el contexto pedagógico) pero no en matemática seria.

Y creo que ya estamos de acuerdo que en el contexto pedagógico, si queda más claro escribir con rojo al principio está ok, porque se está aprendiendo.

Pero en matemática seria uno no se puede adelantar a la "notación definitiva", porque no sabe cómo evolucionará el campo en los próximos años.

No quiero sonar pesado, pero creo que tu forma de pensar es porque crees que no hay más matemática que la que aparece en el libro de cálculo. Quizás te sorprenda saber que hay distintas integrales (la de Rienman no es la única) y todas las denotamos igual, o hay distintos tipos de infinitos, y a todos los llamamos infinitos hasta que es necesario hacer una distintión mayor. Sólo por poner un par de ejemplos. Espero no te tomes a mal este párrafo, lo digo con la mejor intención.


Dentro del ámbito educativo ""poco serio"" está todo bien, porque es ""poco serio"", aunque con este criterio qué le deparará al alumno que tenga verdaderas ganas de aprender cualquier cosa, si hay pocas cosas que son verdaderamente serias, como la consistencia de una notación.


Complementando a lo ya respondido, no sé porqué el ámbito educativo te parece poco serio. Para un estudiante de primeria o segundaria lo que está viendo es serio y profundo. Al igual que para un alumno de la universidad que llega a cursos de cálculo y que ve lo que enseñan en la secundaria y le parece sencillo. O el alumno de master o doctorado, que ve lo que aprende el estudiante de ingeniería de primer o segundo año como algo "básico", o el investigador senior que ve al doctorando como alguien que da sus primeros pasos.

Así que "poco serio" también es subjetivo.


De acuerdo, no usemos las flechitas. ¿Pero no te parece que enseñar vectores a alguien es más fácil usando las flechitas? Sin duda, y no se le quebrará la cabeza si a las dos semanas le decimos que ya no usaremos flechas.

Peor aun: que el profesor te diga que los complejos no son vectores. Sí, me tocó escucharlo.....


Como te hemos dicho, todo es un vector si definimos el espacio vectorial apropiado donde pertence. Pero si escribes [texx](V,\mathbb{C},+,\cdot)[/texx], se entiende que el espacio vectorial (donde pertenecen los vectores) es [texx]V[/texx], y el cuerpo es [texx]\mathbb{C}[/texx]. Tiene sentido en este caso denotar a los elementos de [texx]V[/texx] con flechita y a los de [texx]\mathbb{C}[/texx] sin flechita. Como ves, esta notación puede depender del ejemplo en particular y luego cambiar. Para el siguiente ejemplo puede ser [texx]V=\mathbb{C}[/texx] también.

¿Te das cuenta que los números reales son vectores también? Y no creo que quieras ponerle flecha a todos los reales.


No es inconsistente llamar a la incógnita [texx]x[/texx] y a veces [texx]y[/texx]. Tampoco es inconsistente ponerle flecha a un vector o no.

Si eso pasa constantemente en todo el documento yo diría que hay una falta de seriedad en el asunto.


Haha, no hay caso. Depende el problema la incógnita puede llamarse "A" (porque era el número de autos) o n (porque era un natural). A menos que estén en matemática 0, las incógnitas serán múltiples y tendrás que usar todo el abecedario y aún así te quedarás corto, esto para ser ordenado y claro. Y ser "ordenado" y "claro" es tan subjetivo como se oye.

Siguiendo con tu ejemplo de lenguaje de programación: Lo recomendable, es que si tienes una variable que son el número de manzanas la llames numero_manzanas. Esto porque un buen programa debe poder ser leído sin necesidad de comentarios. Así que denotar siempre [texx]x[/texx] a tu incógnita, por ser "consistente", no es buena idea (lo que no quiere decir que esté mal), porque ¿te imaginas como leerías un programa largo con puras variables con nombres así? Sería una tortura y llevaría a errores. Y esta elección es para que el programa quede "ordenado" y "claro", así de subjetivo como estime su autor, y el mismo autor puede elegir otra cosa en otro programa, no habría problema, porque dependerá de lo que está haciendo.

En programación no vas redefiniendo una variable una y otra vez. ¿Quién va a entender ese crudo más tarde?

En computación puedes usar ~=. !=, .NEQ. y quizás cuantos para denotar la desigualdad. ¿Es necesario que todos se pongan de acuerdo? No. De hecho, lenguajes de programación antigüos, como Fortran, hay muchas cosas que pueden escribirse de muchas maneras. Por ejemplo, puedes escribir /= o .NEQ., son exactamente lo mismo, y nadie explota.

Porque lenguajes como Fortran son del siglo pasado, y aggionarlo al 2019 cuesta más que descargarse un lenguaje más moderno.

Pero esos lenguajes de programación son consistentes, no tenés 5 maneras de hacer un condicional: hay uno. No tenés 3 maneras distintas de hacer un loop: tenés uno solo. Etcétera. Y como dije, muchos caracteres de los lenguajes de programación se basan en solamente algunos comandos de ASCII, donde por su antiguedad o porque han querido definir todo de nuevo no incluyen símbolos operables como [texx]\neq[/texx], o [texx]\leq[/texx] o [texx]\Longrightarrow[/texx] etc.

Saludos

Haha (risa 2), Fortran es súper usando, y seguirá siendo muy usado por muchas décadas más. El tema que se utiliza cada vez menos, es porque hay lenguajes más nuevos para cosas particulares, pero para cálculo científico está C y Fortran, no hay más opción.

¿Has notado que el while es lo mismo que el for? En un contexto queda más claro poner un while, y en otro for, y nadie explota. Incluso en python existen muchos (demasiadas) formas de hacer lo mismo, y tampoco nadie explota. Se elige por comodidad del programador, así que "inconsistente". Así que si los ejemplos en computación para sostener tu idea te parecían apropiados, espero que el mismo ejemplo que muestra lo contrario a lo que dices te haga considerar lo contrario.


En lo que sí estoy de acuerdo contigo, es que hay que ser lo más consistentes con la notaciones que sea posible. Es odioso que cambien las notaciones, pero también es odioso sobrecargar la notación cuando no se justifica.
En línea
argentinator
Consultar la FIRMAPEDIA __________________________________________________________________________________________________________________
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 7.283

Vean mis posts activos en mi página personal


Ver Perfil WWW
« Respuesta #13 : 04/04/2019, 15:30:37 pm »

En computación el desigual es [texx]!=[/texx] o [texx]<>[/texx] u otra, pero en matemática es [texx]\neq[/texx]. Pero no es por una cuestión de inconsistencia, sino por una cuestión de capacidad y/o de no poder representar un igual con una línea oblicua computacionalmente. Nada más.


Pues a mí me resulta difícil poner negritas en una pizarra.
En línea

mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #14 : 04/04/2019, 16:14:48 pm »

Porque lenguajes como Fortran son del siglo pasado, y aggionarlo al 2019 cuesta más que descargarse un lenguaje más moderno.

Pero esos lenguajes de programación son consistentes, no tenés 5 maneras de hacer un condicional: hay uno. No tenés 3 maneras distintas de hacer un loop: tenés uno solo. Etcétera. Y como dije, muchos caracteres de los lenguajes de programación se basan en solamente algunos comandos de ASCII, donde por su antiguedad o porque han querido definir todo de nuevo no incluyen símbolos operables como [texx]\neq[/texx], o [texx]\leq[/texx] o [texx]\Longrightarrow[/texx] etc.

Saludos

Tampoco es verdad que la notación es única en un lenguaje de programación nuevo.

Por ejemplo, en el lenguaje julia, un lenguaje que apareció el 2012 para tener las mejores virtudes para cálculo científico tomando lo mejor de Fortran, Python, Matlab y C. Hace pocos meses apareció la versión 1.0 y ya tiene dos opciones para escribir el "not equal": 1!=2, 1≠2 (asimismo, aguanta caracteres ascii). Puedes ver la documentación oficial aquí: https://docs.julialang.org/en/v0.4.7/manual/mathematical-operations/



Te parecía un buen argumento eso de los lenguajes de programación porque creías que confirmaban tu punto. Pero ahora que te enteras que no es así, ¿es un buen argumento para confirmar lo contrario?

* Screenshot_from_2019-04-04_161217.png (21.15 KB - descargado 129 veces.)
En línea
nia
Pleno*
*****

Karma: +0/-2
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 172


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 14/04/2019, 09:24:32 am »


mathtruco:

Estoy de acuerdo con tu exposición, que quiero remarcar desde la teoría de conjuntos básica, en que aparecen dos o tres pisos de pertenencias, que podemos colorear a nuestro antojo. Claro que pueden aparecer mas pisos u otros distintos de aplicación, o incluso pisos nuevos de mezclas de unos pisos con otros, pero que serian susceptibles de aplicarles las reglas generales obtenidas, como lo hacen todas las teorías, que pueden manejar lotes de pisos con el mismo entramado o armazón. Esto es: hasta el color, como cualquier otra puntuación, depende de su posición local, no es absoluta, unas veces puede ser "elemento", otras simple conjunto o mezcla, por lo cual los colores son de quita y pon (pudiendo ser aplicadas las regletas incluso de varias formas en una misma expresión, como pueda ser la asociativa en a+b+c+d).

Nota a un comentario marginal:
No estoy de acuerdo en llamar "numero_manzanas" al número de manzanas, en el orden práctico, a poco mas de seis o siete variables que por el estilo se traten, que es mas útil darles nombres muy cortos y del mismo largo como en matemáticas, por no decir que, directamente, emplear nombres matriciales. Y la documentación a la que te refieres, bien puede darse en la cabecera del programa, donde se explicite el significado de las variables, del estilo F08=número de manzanas. Se que no es lo usual, pero con decenas o cientos de variables se convierte la programación en algo parecido a una novela insufrible, como en el cobol, donde cualquier "opereta" se llevaba un párrafo, por no seguir con los inconvenientes mas serios y radicales de concepto que arrastra a la práctica.

En línea
mathtruco
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 4.904

El gran profesor inspira


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 14/04/2019, 14:08:10 pm »


mathtruco:

(...)

Nota a un comentario marginal:
No estoy de acuerdo en llamar "numero_manzanas" al número de manzanas, en el orden práctico, a poco mas de seis o siete variables que por el estilo se traten, que es mas útil darles nombres muy cortos y del mismo largo como en matemáticas, por no decir que, directamente, emplear nombres matriciales. Y la documentación a la que te refieres, bien puede darse en la cabecera del programa, donde se explicite el significado de las variables, del estilo F08=número de manzanas. Se que no es lo usual, pero con decenas o cientos de variables se convierte la programación en algo parecido a una novela insufrible, como en el cobol, donde cualquier "opereta" se llevaba un párrafo, por no seguir con los inconvenientes mas serios y radicales de concepto que arrastra a la práctica.
}

Creo que estamos de acuerdo en que en este caso: es una cosa de gustos (como le hemos tratado de hacer ver a manooooh en muchos temas).

Mezclando tu opinión con la mía: debe haber un equilibrio entre el largo del nombre de la variable y que su nombre sea descriptivo de lo que representa. Quizás un mejor nombre que numero_manzanas puede ser n_apple.

Pero para programas grandes (miles de líneas) donde trabaja mucha gente en su desarrollo hay ciertas sugerencias, o reglas en la práctica. Una de ellas es que un programa debe poder leerse sin necesidad de comentarios. Imagina un proyecto donde trabaja mucha gente, a veces despiden a alguien, contratan a otro...   no puede programarse como quiera cada uno, sino que hay que seguir ciertas normas, de lo contrario cuando la persona que hizo el código se va, el programa podría ser tan complicado de descifrar al punto de hacer impráctico seguir desarrollándolo. En cambio, un programa hecho con buenas prácticas de programación debiera poder tomarlo cualquier experto y desarrollarlo a partir del punto que esté.
En línea
nia
Pleno*
*****

Karma: +0/-2
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 172


Ver Perfil
« Respuesta #17 : 15/04/2019, 05:00:28 am »

mathtruco:

Creo que no es una cuestión de gustos, el poder aplicar una simple regleta de vectores sobre ciertos escalares, porque hay que distinguir quien es quien, que hasta vectores y escalares pueden ser el mismo conjunto pero actuar distinto, como tu has indicado claramente.

Una cuestión es determinar quien actúa en un momento como vector y escalar, que es necesario, y otra que no se presente a confusión normalmente, menos cuando ambos no se mezclan o son constantes. Y, en casos liaditos, seguirá que estar claro a que porciones de una misma expresión asignamos roles, que puede ser varias las opciones, como aplicar la integral por partes o la simple asociativa.

Si, hay que distinguir en cada momento quien hace de vector, pero, como le puede cambiar el rol a no se sabe que papel, no interesa ponerle la flechita encima para siempre, que puede tener propiedades de cuna o de herencia.

Con respecto a la programación, mas si constan de miles de instrucciones, mucho mas si las comparamos con otras análogas, es de donde saco las conclusiones (que te doy por marginales, sin entrar a saco).

Si entramos en materia, justo para evitar la hidra de siete cabezas que se forma al programar, es por lo que te comento la cuestión de los tipos de variables matriciales, por lo menos que los nombres las recuerden.

Cuando haces una programación compacta, tipo Appel supongo, puedes gastar muchas veces menos líneas de código, por ejemplo observando que los términos "manzanas", "naranjas" o "toronjas", en general los datos específicos de una aplicación, solo intervienen en los formularios de entrada o listados de salida, constando en el núcleo de cálculo o manipulación por el tipo a crear al que pertenece, que será ajeno al nombre y depende de su estructura.

Por ejemplo, los gastos_de_locomoción, sabemos lo que son, pero actúan como un placebo al verlos en un programa, ya que no intervienen por igual en todas las aplicaciones en las que los veamos, que van clasificados en el lote (matricial) que corresponda, que si tributa en hacienda o a la seguridad o en ambas o bajo cuerda o mixtos o con topes, a saber.

En general, si aparece en todas partes la manzana de la discordia, afirmo que la aplicación suele gastar muchas mas veces líneas y que no sirve para una ferretería, sin hacer un trabajo que casi todo sobra, porque el placebo anterior actuaría en su contra.

El caso de la contabilidad es mas claro, que es mas reflejo del tratamiento de una red, mas matemático, que sirve para manzanas o tornillos sin explicitarlos.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!