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Autor Tema: Consecuencia lógica  (Leído 850 veces)
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Jambo
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« : 30/03/2019, 12:35:48 am »

Hola, estoy teniendo problemas entendiendo consecuencias lógicas... espero alguien pueda ayudarme :sonrisa:

Tengo que demostrar lo siguiente: [texx](\alpha \land \beta),(\beta \land \gamma)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] donde [texx]\alpha , \beta[/texx] y [texx]\gamma[/texx] son fórmulas proposicionales pertenecientes a [texx]PROP[/texx] (donde [texx]PROP[/texx] lo definimos así)

No sé exactamente como empezar, había pensado en hacer [texx](\alpha \land \beta)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] y [texx](\beta \land \gamma)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] pero no estoy segura si es lo mismo... (Si no lo es, ¿por qué no lo es? :¿eh?:)

Agradezco cualquier ayuda!
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Juan Pablo Cardona Buitra
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« Respuesta #1 : 30/03/2019, 04:59:08 am »

Bueno, en primer lugar se debería especificar con que axiomas para la lógica se esta trabajando. Sin embargo, comúnmente se toman los siguientes tres axiomas y la regla de inferencia del Modus Ponens (MP):

(A1) [texx]\alpha\Rightarrow({\beta\Rightarrow{\alpha}}) [/texx].

(A2) [texx](\alpha\Rightarrow({\beta\Rightarrow{\gamma}}))\Rightarrow((\alpha\Rightarrow\beta)\Rightarrow(\alpha\Rightarrow\gamma))[/texx].

(A3) [texx](\neg\beta\Rightarrow\neg\alpha)\Rightarrow(\alpha\Rightarrow\beta)[/texx].

(MP) [texx]\alpha, \alpha\Rightarrow\beta\vdash \beta [/texx].

Ahora pásese a la demostración:

(1) [texx]\alpha\wedge\beta [/texx] (Hipótesis).
(2) [texx]\beta\wedge\gamma [/texx] (Hipótesis).
(3) [texx]\alpha[/texx] (Eliminación de la conjunción en (1)).
(4) [texx]\gamma[/texx] (Eliminación de la conjunción en (2)).
(5) [texx]\alpha\wedge\gamma [/texx] (Introducción de la conjunción en (3) y (4)).

Demostrando así que en efecto [texx]\alpha\wedge\beta, \beta\wedge\gamma\vdash \alpha\wedge\gamma[/texx].

En caso de dudas de lo presentado acá, puede consultar el libro de Lógica del profesor Carlos Ivorra, de la página 57 a 62 está todo lo que necesita al respecto en caso de dudas: https://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica2.pdf

Y la forma en como usted había pensado en empezar no es correcta, ya que como se tienen proposiciones arbitrarias [texx]\alpha,\beta,\gamma[/texx], para introducirlas en la conjunción tendría que tenerse a [texx]\gamma[/texx] como hipótesis en el primer caso y a [texx]\beta[/texx] como hipótesis en el segundo caso.
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« Respuesta #2 : 30/03/2019, 06:38:15 am »



Agradezco cualquier ayuda!

Hola. Yo no sé escribir estas cosas ni lo he estudiado, pero lo principal es que te fijes en que beta es, digamos, el “pivote”, es común en las dos conjunciones; luego si se da la condición beta, también se dan alfa y gamma.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 30/03/2019, 08:48:59 am »

Bueno, en primer lugar se debería especificar con que axiomas para la lógica se esta trabajando.

No. Al parecer el problema no tiene nada que ver con deducciones lógicas, sino con inferencias semánticas.

había pensado en hacer [texx](\alpha \land \beta)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] y [texx](\beta \land \gamma)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] pero no estoy segura si es lo mismo... (Si no lo es, ¿por qué no lo es? :¿eh?:)

Imagina que tienes que demostrar lo siguiente:

Todos mis gatos son blancos [texx]\land[/texx] todos los gatos blancos son pequeños [texx]\models[/texx] todos mis gatos son pequeños.

Eso es cierto, pero ¿también lo es esto otro?

Todos mis gatos son blancos [texx]\models[/texx] todos mis gatos son pequeños.

No. Esto es falso. Por el mismo motivo, no puedes separar las dos hipótesis de tu problema para tratar de llegar a la conclusión con cada una de ellas por separado. Es necesario trabajar con las dos a la vez.

Lo que tienes que hacer es suponer que [texx]\alpha\land \beta[/texx] y [texx]\beta\land \gamma[/texx] son verdaderas y razonar que [texx]\alpha\land\gamma[/texx] también es verdadera.

¿Qué puedes decir de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] si sabes que  [texx]\alpha\land \beta[/texx] es verdadera?

¿Qué necesitas concluir para asegurar que  [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadera?
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Juan Pablo Cardona Buitra
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« Respuesta #4 : 31/03/2019, 09:32:24 pm »

Bueno, en primer lugar se debería especificar con que axiomas para la lógica se esta trabajando.

No. Al parecer el problema no tiene nada que ver con deducciones lógicas, sino con inferencias semánticas.

¿Pero acaso si se tiene sintácticamente, no se tiene semánticamente también?
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Jambo
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« Respuesta #5 : 01/04/2019, 01:11:52 am »

Hola, gracias a todos por contestar :sonrisa:


...

había pensado en hacer [texx](\alpha \land \beta)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] y [texx](\beta \land \gamma)\models (\alpha \land \gamma)[/texx] pero no estoy segura si es lo mismo... (Si no lo es, ¿por qué no lo es? :¿eh?:)

Imagina que tienes que demostrar lo siguiente:

Todos mis gatos son blancos [texx]\land[/texx] todos los gatos blancos son pequeños [texx]\models[/texx] todos mis gatos son pequeños.

Eso es cierto, pero ¿también lo es esto otro?

Todos mis gatos son blancos [texx]\models[/texx] todos mis gatos son pequeños.

No. Esto es falso. Por el mismo motivo, no puedes separar las dos hipótesis de tu problema para tratar de llegar a la conclusión con cada una de ellas por separado. Es necesario trabajar con las dos a la vez.

Lo que tienes que hacer es suponer que [texx]\alpha\land \beta[/texx] y [texx]\beta\land \gamma[/texx] son verdaderas y razonar que [texx]\alpha\land\gamma[/texx] también es verdadera.

¿Qué puedes decir de [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] si sabes que  [texx]\alpha\land \beta[/texx] es verdadera?

¿Qué necesitas concluir para asegurar que  [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadera?

Gracias por ese ejemplo, aclaró bastante.

¿Esto esta bien justificado? Como [texx]\alpha\land\beta[/texx] es verdadero, puedo decir que [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] son verdaderas, y lo mismo puedo decir de [texx]\gamma[/texx] porque [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadero. Entonces concluyo que [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadero.


...

Demostrando así que en efecto [texx]\alpha\wedge\beta, \beta\wedge\gamma\vdash \alpha\wedge\gamma[/texx].

...


Todavía no había estudiado consecuencia sintáctica, así que no debería usarlo...
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« Respuesta #6 : 01/04/2019, 01:43:12 am »

Está correcto.
La semántica no es necesaria en la lógica. Si fuese necesario deberías saber el contenido de [texx]\alpha, \beta, \gamma[/texx]. No van unidas, es más, una misma sintaxis lógica puede dar origen a diferentes semánticas; si decidiésemos cambiar el significado de las palabras al español, ¿no tendríamos otra semántica?
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #7 : 01/04/2019, 04:25:13 am »

¿Esto esta bien justificado? Como [texx]\alpha\land\beta[/texx] es verdadero, puedo decir que [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] son verdaderas, y lo mismo puedo decir de [texx]\gamma[/texx] porque [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadero. Entonces concluyo que [texx]\alpha\land\gamma[/texx] es verdadero.

Es correcto.

¿Pero acaso si se tiene sintácticamente, no se tiene semánticamente también?

Sí, es equivalente. Pero cuando pusiste tu respuesta sintáctica, Jambo te contestó que no sabía nada de eso, y lo que te dije no es que tu respuesta no sea correcta (que lo es), sino que no era la respuesta que le pedían a Jambo.
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