Demostrar que un sistema dinámico tiene únicamente un punto crítico

[Juan Sánchez]

Sea el sistema dinámico $$\begin{cases}x'=P_n(x,y)\\y'=Q_n(x,y)\end{cases}$$
Donde [texx]P_n[/texx] y [texx]Q_n[/texx] son polinomios homogeneos de grado [texx]n[/texx], cómo puedo demostrar que, en el caso de que exista, el único punto crítico aillado del sistema es el origen y es único?

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

[martiniano]

Hola.

No sé como demostrar la unicidad. He intentado suponer que hay 2 puntos críticos y llegar a alguna contradicción pero no lo consigo.

Es que no tienes que demostrar que [texx](0,0)[/texx] es el único punto crítico, sinó el único aislado.

Si [texx](a,b)\neq{(0,0)}[/texx] es un punto crítico, entonces se cumple para todo [texx]k\in{\mathbb{R}}[/texx]:

[texx]P_n(ka,kb)=k^nP_n(a,b)=0[/texx]
[texx]Q_n(ka,kb)=k^nQ_n(a,b)=0[/texx]

Luego [texx] (a,b)[/texx] no está aislado.

[Luis Fuentes]

Hola

 En este hilo se preguntó lo mismo... y algo mas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=108321.0

Saludos.