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Autor Tema: Bases  (Leído 367 veces)
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YeffGC
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« : 17/03/2019, 03:12:08 am »

Me ayudan a resolver este problema
Sea [texx]V[/texx]  un subespacio de funciones [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] generado por las funciones de [texx]B=\left\{x,x\longmapsto{\sin(2x)},\:x\longmapsto{\cos(2x)}\right\}[/texx]
pruebe que B es una base para V
pruebe que [texx]x\longmapsto{\sin^2 x}[/texx] es una función en [texx]V[/texx] y escríbala como una combinación lineal de elementos de B
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delmar
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« Respuesta #1 : 17/03/2019, 03:35:38 pm »

Hola

¿Estas seguro de que los elementos de B son las funciones [texx]f(x)=x, \ \ g(x)=sen (2x), \ h(x)=cos (2x)[/texx]?

En caso fuera cierto, en efecto esas funciones son linealmente independientes y en consecuencia por ser V la envolvente lineal de esas tres funciones son una base de V. Entonces hay que demostrar que son linealmente independientes, esto equivale a decir que la terna [texx](c_1,c_2,c_3)[/texx] tal que :

[texx]c_1f(x)+c_2g(x)+c_3h(x)=0, \ \ \forall{x}\in{R}[/texx] es única e igual a [texx](0,0,0)\Rightarrow{c_1=0, \ c_2=0, \ c_3=0}[/texx]

Se demuestra al considerar que la ecuación [texx]c_1f(x)+c_2g(x)+c_3h(x)=0[/texx], se cumple para [texx]x=0\Rightarrow{c_3=0}, \ x=\pi/2\Rightarrow{c_1=0}[/texx] y a ver si pones de tu parte y consideras un tercer x en la ecuación,  que conduzca a que [texx]c_2=0[/texx]

Ahora  intenta la segunda parte del problema y da tu conclusión.


Saludos
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YeffGC
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« Respuesta #2 : 17/03/2019, 04:32:24 pm »

y a ver si pones de tu parte y consideras un tercer x en la ecuación,  que conduzca a que [texx]c_2=0[/texx]

Ahora  intenta la segunda parte del problema y da tu conclusión.


Saludos
Delmar diria que [texx]x=\displaystyle\frac{3\pi}{4}, \displaystyle\frac{\pi}{4}[/texx] me equivoco?  y no comprendi la parte de envolvente ya que no he visto ese concepto como afirmo que B genera a V
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delmar
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« Respuesta #3 : 17/03/2019, 10:42:08 pm »

Sí con [texx]x=\displaystyle\frac{\pi}{4}[/texx] o con [texx]x=\displaystyle\frac{3 \ \pi}{4}[/texx] se llega a que [texx]c_2=0[/texx] y en consecuencia las funciones que constituyen a B son linealmente independientes. La envolvente lineal  de un conjunto de elementos como B es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de B, es eiempre un subespacio y es igual  al conjunto generado por B. En consecuencia V es la evolvente de B y por ser los elementos de B linealmente independientes, por definición, B es una base de V.

Saludos
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« Respuesta #4 : 18/03/2019, 05:54:57 pm »

Hola

¿Estas seguro de que los elementos de B son las funciones [texx]f(x)=x, \ \ g(x)=sen (2x), \ h(x)=cos (2x)[/texx]?

En caso fuera cierto, en efecto esas funciones son linealmente independientes y en consecuencia por ser V la envolvente lineal de esas tres funciones son una base de V. Entonces hay que demostrar que son linealmente independientes, esto equivale a decir que la terna [texx](c_1,c_2,c_3)[/texx] tal que :

Hola estaban corrigiendo que en realidad [texx]f(x)=1, \ \ g(x)=sen (2x), \ h(x)=cos (2x)[/texx] Cambia el primer termino alli si no me da que es base
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delmar
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« Respuesta #5 : 18/03/2019, 11:48:46 pm »

Hay que aplicar el mismo método que en el caso anterior, es decir averiguar si hay una única terna [texx](c_1,c_2,c_3)=(0,0,0)[/texx] tal que se cumpla la condición :

[texx]c_1f(x)+c_2g(x)+c_3h(x)=0, \ \forall{x}\in{R}\Leftrightarrow{c_1 \ (1)+c_2\ sen (2x)+c_3 \ cos(2x)=0 \ \forall{x}\in{R}}[/texx] Ec. 1

Toda terna de constantes que cumpla la Ec. 1, implica que la Ec. 1 se cumple para [texx]x=0, \ x=\displaystyle\frac{\pi}{2}, \ x=\displaystyle\frac{\pi}{4}[/texx], en consecuencia :

[texx]x=0[/texx] implica  [texx]c_1+c_2 \ sen (0)+c_3 \ cos (0)=0\Rightarrow{c_1+c_3=0}[/texx] Ec. 2

[texx]x=\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] implica [texx]c_1+c_2 \ sen ( \pi)+c_3 \ cos ( \pi)=0\Rightarrow{c_1-c_3=0}[/texx] Ec. 3


[texx]x=\displaystyle\frac{\pi}{4}[/texx] implica [texx]c_1+c_2 \ sen (\displaystyle\frac{\pi}{2} )+c_3 \ cos (\displaystyle\frac{\pi}{2})=0\Rightarrow{c_1+c_2=0}[/texx] Ec. 4

Toda terna de constantes que cumpla la Ec. 1, cumple necesariamente las Ec. 2, 3 y 4. Es decir cumple el sistema de ecuaciones lineales Ec. 2,3 y 4. Resuelve el sistema y saca conclusiones.

Resolviendo




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