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Autor Tema: Cómo encontrar el término independiente (Binomio de Newton)  (Leído 607 veces)
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estudiante_PSU
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« : 15/03/2019, 11:58:35 pm »

Hola a todos

¿Hay algún Pitágoras que me pueda explicar cómo puedo encontrar el término independiente de [texx] x [/texx] de este binomio?

[texx]\left(x-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}[/texx]

Muchas Gracias  :sorprendido:
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« Respuesta #1 : 16/03/2019, 04:31:58 am »

Hola a todos

¿Hay algún Pitágoras que me pueda explicar cómo puedo encontrar el término independiente de [texx] x [/texx] de este binomio?

[texx]\left(x-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}[/texx]

Muchas Gracias  :sorprendido:

Hola.

No sé si estoy entendiendo lo que quieres decir, pero si lo expresas así

[texx]\left(\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}\right)^{3n}=\left(x^{3}-1\right)^{3n}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{3n}
 [/texx]

y desarrollas por el binomio el primer paréntesis [texx]\left(x^{3}-1\right)^{3n}
 [/texx], de manera que todos los sumandos queden multiplicados, por la distributiva, por [texx]\left(\dfrac{1}{x^{6n}}\right)
 [/texx], éste cancelaría (si lo hubiera) al sumando cuya x estuviera elevado a 6n.

De todas formas, creo que estás mezclando la idea del desarrollo de Newton con la idea de una ecuación no lineal con una variable, cosas que se pueden usar juntas pero no son lo mismo.

Sencillamente, si pensamos en números y no en variables olvidándonos de las posibles soluciones, y hacemos [texx]a=x
 [/texx] y [texx]b=\dfrac{1}{x^{2}}
 [/texx], y por otra parte, si quieres, [texx]m=3n
 [/texx], tenemos la forma general, que puede expresarse tal cual se desarrolla (son sus números combinatorios, sus puntos suspensivos y tal) y después sustituir por las “equis”.

Esto que te digo es en cuanto a duda teórica; ahora bien, si es un problema donde tienes que hallar valores o lo que sea, ya dependerá del contexto y la metodología.

Saludos.

Veo que, por lo que interpreta Fernando, se trata de un problema y no de una duda que tú mismo te hayas planteado ni de un “desafío” ni nada así (por cómo presentas la pregunta me parecía alguna de esas cosas).

Entonces, te explico lo que te decía al principio de mi contestación por si no se entiende:

Tu binomio es equivalente a [texx]\left(\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}\right)^{3n}
 [/texx] operando las fracciones de dentro.

Y haciendo unas tranformaciónes básicas (que asumo que conoces) se puede expresar como

[texx]\left(\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}}\right)^{3n}=\left(x^{3}-1\right)^{3n}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{3n}=\left(x^{3}-1\right)^{3n}\dfrac{1}{x^{6n}}
 [/texx].

Por lo que, como te dije, el término que queda libre de “x” es el que en el binomio [texx]\left(x^{3}-1\right)^{3n}
 [/texx] esté acompañado del factor [texx]x^{6n}
 [/texx].

Como en este binomio [texx]\left(x^{3}-1\right)^{3n}
 [/texx] la “x” está elevada a 3, usando la regla de las potencias sencillamente tenemos que resolver esta igualdad

[texx]3(3n-k)=9n-3k=6n
 [/texx].

Es decir, la potencia más alta de “x” en este binomio [texx]\left(x^{3}-1\right)^{3n}
 [/texx] es [texx]9n
 [/texx], la siguiente [texx]9n-1
 [/texx], después [texx]9n-2
 [/texx]... hasta [texx]9n-3k
 [/texx], que es donde las “x” se cancelan qudando el término independiente.

Por tanto

[texx]9n-3k=6n\Rightarrow3n-3k=0
 [/texx]; así que [texx]k=n
 [/texx].
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 16/03/2019, 06:41:09 am »

... cómo puedo encontrar el término independiente de [texx] x [/texx] de este binomio? [texx]\left(x-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}[/texx]

Usando la fórmula del binomio de Newton

          [texx]\displaystyle\left(x\color{red}+\color{black}\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-k}x^{-2k}=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-3k}[/texx]

El término independiente se obtiene para [texx]3n-3k=0[/texx] i.e. para [texx]k=n[/texx] y es por tanto [texx]\displaystyle \binom{3n}{n}[/texx].
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hméndez
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« Respuesta #3 : 16/03/2019, 08:44:48 am »

... cómo puedo encontrar el término independiente de [texx] x [/texx] de este binomio? [texx]\left(x-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}[/texx]

Usando la fórmula del binomio de Newton

          [texx]\displaystyle\left(x-\displaystyle\frac{1}{x^2}\right) ^{3n}=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-k}x^{-2k}=\sum_{k=0}^n\binom{3n}{k}x^{3n-3k}[/texx]

El término independiente se obtiene para [texx]3n-3k=0[/texx] i.e. para [texx]k=n[/texx] y es por tanto [texx]\displaystyle \binom{3n}{n}[/texx].

Hola Fernando

¡Ojo con la aternancia de signos en los términos!

Saludos
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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 16/03/2019, 04:16:45 pm »

Hola Fernando ¡Ojo con la aternancia de signos en los términos!

Leí inadvertidamente [texx]+[/texx] y así lo he corregido. Los detalles del cambio de signo se los dejo a estudiante_PSU.  :sonrisa:
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