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Autor Tema: \(\mathrm d/\mathrm dx\{f(x)\}\) y \(\mathrm d/\mathrm dx(f(x))\), ¿es lo mismo?  (Leído 662 veces)
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manooooh
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« : 15/03/2019, 01:40:33 am »

Hola!

En la "simple" prueba de que [texx]\pi[/texx] es irracional (Niven, Ivan; 1947) el autor hace alusión a la siguiente derivada:

[texx]\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\{F'(x)\sin x-F(x)\cos x\}.[/texx]

Como ven, el autor utiliza unas llaves para encerrar al argumento de lo que se derivará.

La utilización que yo siempre le di a la derivada fue encerrar al argumento con los delimitadores habituales, por ejemplo [texx]()[/texx] o [texx][][/texx].

Mi pregunta es: ¿es lo mismo escribir [texx]\pmb{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))}[/texx] y [texx]\pmb{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\{f(x)\}}[/texx]? ¿Representan lo mismo?

Esa notación me hace acordar al operador [texx]\max[/texx] y a [texx]\min[/texx]. Por ejemplo, se estila utilizar [texx]\max\{2,5\}=5[/texx] y así.

Así que en realidad pregunto si tanto los tres operadores tienen algo llamado argumento. De ser así, a todo lo deberíamos encerrar entre llaves o a todo lo deberíamos encerrar con [texx]()[/texx] o [texx][][/texx], porque en matemáticas es condición ser consistente. Porque está mal decir que todo es un argumento y luego cambiar la notación, si el caso fuera de que la derivada se compone de, entre otras cosas, un argumento.

Naturalmente, una pregunta aparte me surge: para ser consistente con la notación actual, ¿no deberíamos denotar por ejemplo [texx]\pmb{\max(2,5)}[/texx] si escribiésemos [texx]\pmb{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))}[/texx]?

Gracias!
Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 15/03/2019, 03:47:32 am »

Hola

Mi pregunta es: ¿es lo mismo escribir [texx]\pmb{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))}[/texx] y [texx]\pmb{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\{f(x)\}}[/texx]? ¿Representan lo mismo?

Es lo mismo. Mi percepción también es que suele usarse más el paréntesis. De todas formas ninguna de las tres notaciones que has citado (,[,{ se presta a confusión sobre lo que se quiere denotar. Así que no tiene gran importancia.

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #2 : 15/03/2019, 04:42:48 am »

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta

Es lo mismo. Mi percepción también es que suele usarse más el paréntesis. De todas formas ninguna de las tres notaciones que has citado (,[,{ se presta a confusión sobre lo que se quiere denotar. Así que no tiene gran importancia.

¿Estás de acuerdo en que los paréntesis representan "agrupamiento"?

Con esa misma idea, podríamos suponer que lo que aparece dentro de [texx]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(f(x))[/texx] es de hecho igual a denotarlo [texx]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)[/texx]. Y efectivamente estamos en lo cierto, porque hemos supuesto que los paréntesis nos hablan de "agrupar cosas" y no hay dudas de que lo que se considera a derivar es [texx]f(x)[/texx], puesto que es precisamente así cómo hemos definido la derivada de una función (que depende de en este caso [texx]x[/texx]), no cosas como [texx](\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f)(x)[/texx] o cosas así.

Spoiler: Observación menor (click para mostrar u ocultar)

Ahora bien, intuyo que esta misma idea NO ocurre con los operadores máximo y mínimo, puesto que necesariamente ha de entenderse que, usando notación no americana, [texx]\max(5,2)[/texx] no representa "El máximo del número DECIMAL [texx]5.2[/texx]" (porque estamos bajo el supuesto de que los paréntesis agrupan al NÚMERO [texx]5.2[/texx]). Por tanto, lo conveniente es escribir [texx]\max\{5,2\}[/texx], que representa sin ningún tipo de laguna lógica "El máximo entre [texx]5[/texx] y [texx]2[/texx]".

Con esto en mente, pregunto. ¿No será que por ahí escribir la derivada con paréntesis pudiese llegar a fallar en algunas circunstancias?

Pongo otro ejemplo, que creo es más claro.

Supongamos que queremos hallar

[texx]\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{x+1}x\right).[/texx]

Como claramente estás de acuerdo en que los paréntesis significan "Agrupamiento" (e incluso sin paréntesis también funciona, como lo dicho en el spoiler), podríamos decir sin ningún temor que lo anterior equivale a

[texx]\displaystyle\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x+1)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)}=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)+\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)}=\frac{1+0}{1}=1,[/texx]

y ya lo único que falta es que haya gente tirándose por la ventana gritando "¡Quién es éste que dice semejantes barbaridades!" :risa: :risa:.

Así que mi propuesta (y con esto abro el debate), ¿por qué el uso de [texx]\pmb{\{\ldots\}}[/texx] se lo considera "igual de bien" que los paréntesis/corchetes? Claramente nadie va a tener dudas que si decimos

[texx]\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left\lbrace\frac{x+1}x\right\rbrace[/texx]

significará que debemos usar la derivada de un cociente, y no que si usamos paréntesis (o ni siquiera) eso significará "Distribuí la derivada en el numerador y denominador sin problemas".

Otro ejemplo aun más claro.

Supongamos que queremos hallar

[texx]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}[/texx]   (obsérvese la omisión de delimitadores).

Aplicando la misma idea de antes, distribuimos el límite en el numerador y denominador y llegamos a la conclusión de que el resultado de ese límite no es ni más ni menos que [texx]\infty/\infty[/texx]. Si usásemos siempre

[texx]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left\lbrace\frac{x+1}{x}\right\rbrace[/texx]

creo yo que no habrá lugar a dudas.

¿Qué opinan: acaso siguen argumentando que las dos formas son "igualmente correctas", "no hay distinción alguna", o por el contrario ven un mayor aprovechamiento al uso de las llaves?


Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 15/03/2019, 06:46:02 am »

Hola

¿Estás de acuerdo en que los paréntesis representan "agrupamiento"?

Acepto esa frase, que no deja de ser coloquial. Pero no le doy mayor trascendencia. No es ninguna afirmación demasiado precisa.

Cita
Puesto que por ejemplo si uno quiere escribir [texx]\frac12(1+3)[/texx], puede pasar el segundo factor "arriba de la fracción", lo que equivale a [texx]\frac{(1+3)}2[/texx], pero sabemos que los paréntesis están ahí produciendo redundancia. Lo anterior equivale a [texx]\frac{1+3}2[/texx] y así no hemos abusado de la notación.

Cuando se trabaja con operaciones binarias, los paréntesis sirven para indicar que operación se está haciendo primero.

Cuando pasamos de [texx]\dfrac{1}{2}(1+3)[/texx] a  [texx]\dfrac{1+3}{2}[/texx] lo que estamos es usando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Es decir una propiedad muy específica de la suma y el producto.

Cita
Ahora bien, intuyo que esta misma idea NO ocurre con los operadores máximo y mínimo, puesto que necesariamente ha de entenderse que, usando notación no americana, [texx]\max(5,2)[/texx] no representa "El máximo del número DECIMAL [texx]5.2[/texx]" (porque estamos bajo el supuesto de que los paréntesis agrupan al NÚMERO [texx]5.2[/texx]). Por tanto, lo conveniente es escribir [texx]\max\{5,2\}[/texx], que representa sin ningún tipo de laguna lógica "El máximo entre [texx]5[/texx] y [texx]2[/texx]".

Para mi ahí el diferenciar entre el decimal [texx]5.2[/texx] y entre el par de números [texx]5[/texx] y [texx]2[/texx] no tiene nada que ver con usar paréntesis, sinó con el convenio que se utilice para indicar la "coma" o "punto" decimal.

A mi no me gusta mucho poner la coma abajo porque efectivamente ahí si puede prestarse a confusión. Pero insisto que todo ello sin relación alguna con paréntesis o llaves. Si usamos para separar los decimales la "coma abajo", podría confundirse por ejemplo el conjunto formado el [texx]5.3[/texx] con el conjunto formado por el [texx]5[/texx] y el [texx]3[/texx] escribiendo en ambos casos [texx]\{5,3\}[/texx]

Cita
Con esto en mente, pregunto. ¿No será que por ahí escribir la derivada con paréntesis pudiese llegar a fallar en algunas circunstancias?

No, desde mi punto de vista no da ningún problema.

Cita
Pongo otro ejemplo, que creo es más claro.

Supongamos que queremos hallar

[texx]\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{x+1}x\right).[/texx]

Como claramente estás de acuerdo en que los paréntesis significan "Agrupamiento" (e incluso sin paréntesis también funciona, como lo dicho en el spoiler), podríamos decir sin ningún temor que lo anterior equivale a

[texx]\displaystyle\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x+1)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)}=\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)+\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(x)}=\frac{1+0}{1}=1,[/texx]

y ya lo único que falta es que haya gente tirándose por la ventana gritando "¡Quién es éste que dice semejantes barbaridades!" :risa: :risa:.

El que alguien cometa ese error no tiene nada que ver conque se usen parénteis o corchetes o llaves. Tiene que ver con que se desconozca las propiedades de la derivada; no es lineal (perdón si es lineal  :cara_de_queso:), pero es falso que la derivada de un cociente sea el cociente de las derivadas.

O tiene que ver con que alguien piense que por el hecho de usar paréntesis necesariamente tiene que cumplirse una suerte de propiedad distributiva. Por ejemplo en general es falso para cualquier función que [texx]f(x+y)=f(x)+f(y)[/texx]; si alguien comete ese error no debe de echar las culpas al uso del paréntesis.

Por último no conozco ningún caso donde alguien haya tenido un error como el que muestras por el hecho de usar paréntesis. En todo caso los estudiantes que cometen ese error son los mismos que escriben por ejemplo [texx]\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}[/texx].

Cita
Así que mi propuesta (y con esto abro el debate), ¿por qué el uso de [texx]\pmb{\{\ldots\}}[/texx] se lo considera "igual de bien" que los paréntesis/corchetes? Claramente nadie va a tener dudas que si decimos

[texx]\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left\lbrace\frac{x+1}x\right\rbrace[/texx]

Para mi no hay ningún motivo objetivo para pensar que usando llaves se está más libre de cometer el error que citaste antes que usando paréntesis.

Como te dije la naturaleza del error estaría en el desconocimiento de las propiedades de la derivada; no el uso de llaves o paréntesis.

Cita
significará que debemos usar la derivada de un cociente, y no que si usamos paréntesis (o ni siquiera) eso significará "Distribuí la derivada en el numerador y denominador sin problemas".

Te repito una vez más que la propiedad distributiva, es particular de ciertas operaciones, pero no es algo que en general deba asumirse cada vez que aparecen unos paréntesis.

Cita
Otro ejemplo aun más claro.

Supongamos que queremos hallar

[texx]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}[/texx]   (obsérvese la omisión de delimitadores).

Aplicando la misma idea de antes, distribuimos el límite en el numerador y denominador y llegamos a la conclusión de que el resultado de ese límite no es ni más ni menos que [texx]\infty/\infty[/texx]. Si usásemos siempre

[texx]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left\lbrace\frac{x+1}{x}\right\rbrace[/texx]

creo yo que no habrá lugar a dudas.

Yo no conozco que nadie haya tenido duda alguna de ese tipo. Y en todo caso igualmente podrías poner:

[texx]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)[/texx]

que es de hecho lo que más se usa. Por ejemplo si escribimos:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{x+1}{x}+2x[/texx]

Ahí sí podría haber la duda de si el [texx]+2x[/texx] forma o no parte del límite. Entonces para evitar confusiones suele escribirse:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(\dfrac{x+1}{x}+2x\right)[/texx]

No lo he visto escrito nunca así:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left\{\dfrac{x+1}{x}+2x\right\}[/texx]

Pero cualquiera de las dos opciones no dejaría lugar a la confusión.

Cita
¿Qué opinan: acaso siguen argumentando que las dos formas son "igualmente correctas", "no hay distinción alguna", o por el contrario ven un mayor aprovechamiento al uso de las llaves?

Me siguen pareciendo igualmente correctas.

Cita
Lo mismo ocurre con los parámetros de las funciones de cualquier lenguaje de programación. Sin ir más lejos, estudiemos el caso LaTeX.

LaTeX funciona como cualquier otro lenguaje de programación; en base a funciones, o comandos. Por ejemplo, el comando \frac{}{} lo que hace es pasar por parámetro el numerador y denominador de una fracción. En cambio, si escribiésemos \frac()() o \frac[][] la fracción no se verá como esperábamos que se mostrara.

Así que incluso en programación se tiende a utilizar las llaves en vez de paréntesis y corchetes para cosas ajenas a "Agrupar cosas".

La rigidez en la sintaxis de un lenguaje de programación es mucho mayor que en el lenguaje natural y en la escritura formal de matemáticas. Es consecuencia de lo "tontos" que son los intérpretes.  :cara_de_queso:

Saludos.

CORREGIDO
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« Respuesta #4 : 15/03/2019, 07:59:03 pm »

Hola

De acuerdo con todo, Luis. Si mi cabeza ve algún "problema" lo publicaré. Muchas gracias.

Saludos
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