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Autor Tema: Desigualdad por integrales  (Leído 638 veces)
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« : 14/03/2019, 06:22:33 pm »

Si quiero probar para un [texx]w[/texx] derivable

[texx]w(x)+w(b-x)-w(b)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x \in [0,b][/texx]

tal que [texx]w(0)=0.[/texx]


Planteo,

 [texx]\displaystyle\int_{b}^{x}(w'(t)-w'(b-t))dt=w(x)+w(b-x)-w(b).[/texx]

A su vez,

[texx]\displaystyle\int_{b/2}^{t}(w''(x)+w''(b-x))dx=w'(t)-w'(b-t).[/texx]

Y de la misma forma

[texx]\displaystyle\int_{b/2}^{t}(w'''(x)-w'''(b-x))dx=w''(t)+w''(b-t).[/texx]

Por lo tanto, si

[texx]w'''(x)-w'''(b-x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x \in [b/2,t][/texx] entonces puedo afirmar que

[texx]w(x)+w(b-x)-w(b)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x \in [0,b].[/texx]

¿Hice algún paso mal?





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« Respuesta #1 : 15/03/2019, 08:49:39 am »

Hola

Si quiero probar para un [texx]w[/texx] derivable

[texx]w(x)+w(b-x)-w(b)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x \in [0,b][/texx]

tal que [texx]w(0)=0.[/texx]


Planteo,

 [texx]\displaystyle\int_{b}^{x}(w'(t)-w'(b-t))dt=w(x)+w(b-x)-w(b).[/texx]

A su vez,

[texx]\displaystyle\int_{b/2}^{t}(w''(x)+w''(b-x))dx=w'(t)-w'(b-t).[/texx]

Bien.

Cita
Y de la misma forma

[texx]\displaystyle\int_{b/2}^{t}(w'''(x)-w'''(b-x))dx=w''(t)+w''(b-t).[/texx]

Ahí sería:

[texx]\displaystyle\int_{b/2}^{t}(w'''(x)-w'''(b-x))dx=w''(t)+w''(b-t)\color{red}-2w''(b/2)\color{black}[/texx]

Cita
Por lo tanto, si

[texx]w'''(x)-w'''(b-x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x \in [b/2,t][/texx] entonces puedo afirmar que

[texx]w(x)+w(b-x)-w(b)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x \in [0,b].[/texx]

¿Hice algún paso mal?

Teniendo en cuenta lo anterior necesitas además que [texx]w''(b/2)\geq 0[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 15/03/2019, 09:16:58 am »

Genial, esta última condición la cumpliría pues [texx]w[/texx] es cóncava convexa y [texx]b/2[/texx] siempre estará a la derecha del punto de inflexión.

Ahora:

1) Cómo hallo el máximo [texx]b[/texx] que mantenga la subaditividad.
2) Ese [texx]b[/texx] para algunas funciones será igual al que surja de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Se puede ligar las condiciones anteriores con ésta?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 15/03/2019, 09:44:11 am »

Hola

Genial, esta última condición la cumpliría pues [texx]w[/texx] es cóncava convexa y [texx]b/2[/texx] siempre estará a la derecha del punto de inflexión.

De todas formas, ¿el criterio tiene visos de ser efectivo?. Quiero decir a medida que derivamos la expresión de las sucesivas derivadas de [texx]w(x)[/texx] para las funciones que estás manejando, se complica? ¿es razonable pensar que va a poder comprobarse fácilmente la positividad de esa tercera derivada?. No lo he comprobado. Hablo digamos "de memoria".

Cita
Ahora:

1) Cómo hallo el máximo [texx]b[/texx] que mantenga la subaditividad.

Pues en ese sentido el criterio este que usa la tercera derivada, sin más aclaración no ayuda mucho. Da una condición suficiente para la subaditividad pero no necesaria. Es decir esa tercera derivada podría ser no positiva e igualmente ser subaditiva.

Cita
2) Ese [texx]b[/texx] para algunas funciones será igual al que surja de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Se puede ligar las condiciones anteriores con ésta?

A vuelapluma, no se. Habría que mirarlo con calma.

Saludos.
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