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Autor Tema: Función sobreyectiva  (Leído 346 veces)
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mariia
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« : 13/03/2019, 11:46:51 pm »

Buenas noches, quisiera saber si este ejercicio está bien.

Sean [texx]f:A\to B[/texx] y [texx]g:B\to C[/texx] dos funciones. Pruebe que si [texx]g\circ{f}[/texx] es sobre, entonces g es sobre.

[texx]\forall{z\in{C}}   \exists{y\in{B}}/(y,z)\in{g}[/texx]
Sea [texx]z\in{C}\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/(x,z)\in{(g\circ{f)}}[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/g(f(x))=z[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/g(y)=z[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/(y,z)\in{g}[/texx]
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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 14/03/2019, 03:39:58 am »

Hola,

Te digo cómo lo haría yo:

La hipótesis de partida es que [texx]g\circ{f}[/texx] es sobreyectiva.

Ahora supongamos tener que [texx]g[/texx] no es sobreyectiva.

Tanto si [texx]f[/texx] es sobreyectiva (caso más favorable) como si no lo es, se deduce que [texx]g\circ{f}[/texx] no es sobreyectiva.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Pero la hipótesis de partida dice que sí lo es, así que suponiendo que [texx]g[/texx] no es sobreyectiva se llega a contradicción.

Luego [texx]g[/texx] es sobreyectiva.

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 14/03/2019, 05:40:48 am »

Hola

Buenas noches, quisiera saber si este ejercicio está bien.

Sean [texx]f:A\to B[/texx] y [texx]g:B\to C[/texx] dos funciones. Pruebe que si [texx]g\circ{f}[/texx] es sobre, entonces g es sobre.

[texx]\forall{z\in{C}}   \exists{y\in{B}}/(y,z)\in{g}[/texx]

Ahí, como ya te comenté en otro hilo, es bueno que antes pongas algo así como: "Tenemos que demostrar que...".

Cita
Sea [texx]z\in{C}\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/(x,z)\in{(g\circ{f)}}[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/g(f(x))=z[/texx]

Bien.

Cita
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/g(y)=z[/texx]

Ahí deberías de añadir:

[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/\textsf{ tomando }y=f(x),\quad g(y)=z[/texx]

Cita
[texx]\Rightarrow{\exists{x\in{A}}}/(y,z)\in{g}[/texx]

Más bien:

[texx]\Rightarrow{\exists{\color{red}y\in{B}\color{black}}}/(y,z)\in{g}[/texx]

Saludos.
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