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Autor Tema: Composición de funciones  (Leído 340 veces)
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mariia
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« : 13/03/2019, 11:31:43 pm »

Buenas noches, quisiera saber si este ejercicio me quedo bien. Gracias

Sean [texx]g:B\rightarrow{C}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]    [texx]h:B\rightarrow{C}[/texx]  funciones. Suponga que [texx]g\circ{f}=h\circ{f}[/texx] para toda función [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx]  Demuestre que [texx]g=h[/texx]

Vamos a demostrar que [texx]g=h[/texx]

Sea [texx](y,z)\in{h}\Rightarrow{h(y)=z}[/texx]
[texx]\Rightarrow{h(f(x))=z}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(h\circ{f)(x)=z}}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(g\circ{f)(x)=z}}[/texx]
[texx]\Rightarrow{g(f(x))=z}[/texx]
[texx]\Rightarrow{g(y)=z}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(y,z)\in{g}}[/texx]

lo mismo haría para la otra contenencia.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 14/03/2019, 06:24:56 am »

Hola

Buenas noches, quisiera saber si este ejercicio me quedo bien. Gracias

Sean [texx]g:B\rightarrow{C}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]    [texx]h:B\rightarrow{C}[/texx]  funciones. Suponga que [texx]g\circ{f}=h\circ{f}[/texx] para toda función [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx]  Demuestre que [texx]g=h[/texx]

En primer lugar no queda claro en el enunciado quien es [texx]A[/texx]. Tal como está escrito, [texx]A[/texx] podría ser cualquier conjunto. En ese caso el resultado es muy trivial. Basta tomar [texx]A=B[/texx] y [texx]f=id[/texx]. Entonces por hipótesis:

[texx]g=g\circ id=h\circ id=h[/texx]

Otra opción más interesante es que [texx]A[/texx] sea un conjunto prefijado no vacío. Antes de ver este caso comento tu intento de demostración.

Cita
Vamos a demostrar que [texx]g=h[/texx]

Sea [texx](y,z)\in{h}\Rightarrow{h(y)=z}[/texx]
[texx]\Rightarrow{h(f(x))=z}[/texx]

¿Pero quien es [texx]f[/texx]? El resultado es cierto para cualquier función [texx]f:A\to B[/texx]. Pero tu no dices para que [texx]f[/texx] concreta lo aplicas. No está bien por tanto lo que haces.

Yo lo haría así. Sea [texx]b\in B[/texx]. Vamos a probar que [texx]g(b)=h(b)[/texx].

Definimos la función constante [texx]f:A\to B[/texx], [texx]f(a)=b[/texx] para todo [texx]a\in A.[/texx] En particular como [texx]A[/texx] es no vacío existe [texx]a_0\in A[/texx] tal que [texx]f(a_0)=b[/texx].

Entonces por hipótesis como [texx]g\circ{f}=h\circ{f}[/texx]:

[texx](g\circ f)(a_0)=(h\circ f)(a_0)\quad \Rightarrow{}\quad g(f(a_0))=h(f(a_0))\quad \Rightarrow{}\quad g(b)=h(b)[/texx]

Saludos.

P.D. En general en tus intentos de demostración tiendes a abusar de uso de notación simbólica escatimando las palabras; el lenguaje natural ayuda a hacer más claros los argumentos. Yo no lo despreciaría.
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mariia
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« Respuesta #2 : 04/04/2019, 12:43:33 am »

Ok, muchas gracias
Para este caso, se haria de la misma manera o ese mismo ejemplo me serviria?

Sean [texx]g:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]h: A\rightarrow{B}[/texx] funciones y sea [texx]C[/texx] un conjunto con al menos dos elementos. Suponga que [texx]f\circ{g} = f\circ{h}[/texx] para toda función [texx]f:B\rightarrow{C}[/texx]. Demostrar que [texx]g=h[/texx]
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 04/04/2019, 06:05:38 am »

Hola

Ok, muchas gracias
Para este caso, se haria de la misma manera o ese mismo ejemplo me serviria?

Sean [texx]g:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]h: A\rightarrow{B}[/texx] funciones y sea [texx]C[/texx] un conjunto con al menos dos elementos. Suponga que [texx]f\circ{g} = f\circ{h}[/texx] para toda función [texx]f:B\rightarrow{C}[/texx]. Demostrar que [texx]g=h[/texx]

Es parecido pero no es lo mismo. Supón que [texx]c_1\neq c_2[/texx], con [texx]c_1,c_2\in C[/texx]. Dado [texx]a\in A[/texx], para ver que [texx]g(a)=h(a)[/texx] define:

[texx]f:B\to {C}[/texx]

[texx]f(x)=\begin{cases} c_1 & \text{si}& x=g(a)\\c_2 & \text{si}& x\neq g(a)\end{cases}[/texx]

Como por hipótesis [texx]f(h(a))=f(g(a))=c_1[/texx], necesariamente [texx]h(a)=g(a).[/texx]

Saludos.
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