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Autor Tema: Descomposición de Hahn-Jordan.  (Leído 34 veces)
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vicentebarba
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« : 13/03/2019, 02:56:12 pm »

¡Hola! Estoy intentando probar una proposición y no sé si es que no entiendo lo que se pide o que me estoy perdiendo algo. A ver si podéis ayudarme.

El enunciado es

"Dada una [texx]\sigma[/texx]-álgebra [texx]\mathcal{A}[/texx] y una función de conjunto [texx]\mu: \mathcal{A} \to \overline{\mathbb{R}}[/texx], probar que para cualquier conjunto medible de [texx]\mathcal{A}[/texx] existe un subconjunto medible [texx]B \subset A[/texx] que verifica

[texx]2 \lvert \mu(B) \rvert \geq \mu^+(A) + \mu^-(A)[/texx]

siendo [texx]\mu^+[/texx] y [texx]\mu^-[/texx] las medidas en las que se descompone una función de conjunto según el teorema de Hahn-Jordan."

Os cuento lo que he hecho, a ver si me he confundido en algo.

Si el conjunto [texx]A \neq \emptyset[/texx], entonces va a haber al menos un subconjunto. La descomposición del espacio muestral de Hahn, [texx]\Omega = P \cup P^c[/texx] es tal que [texx]\mu^+(A) = \mu(A \cap P)[/texx] y [texx]\mu^-(A) = - \mu(A \cap P^c)[/texx] con [texx]P[/texx] medible, por lo que seguro que existe al menos un subconjunto medible de [texx]A[/texx], que es [texx]A \cap P[/texx].

Mi idea era probar las siguientes desigualdades

[texx]\displaystyle -\mu(B) \leq \cfrac{\mu^+(A) + \mu^-(A)}{2} \leq \mu(B)[/texx]

La primera desigualdad la he podido probar, ya que como las medidas son no negativas y es precisamente [texx]\mu(B) = \mu^+(A)[/texx], se verifica siempre.

Sin embargo, en la segunda me he quedado atascado porque después de "arreglar" la expresión, tengo que ver si se verifica siempre que [texx]\mu^-(A) \leq \mu^+(A)[/texx], y esto no sé si es cierto en general.

¿Cómo podría seguir? ¿O debo razonarlo de otra manera?

Disculpas por las molestias y muchas gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/03/2019, 05:50:27 pm »

Hola

 Pero en lo que has hecho no me queda claro como escoges [texx]B[/texx] a partir de [texx]A[/texx].
 
 Tengo algo de prisa, pero creo que funciona esto: si tienes la partición de Hahn, [texx]X^+[/texx] y [texx]X^-[/texx], dado un conjunto medible [texx]A[/texx],

- si [texx]|\mu(A\cap X^+)|>|\mu(A\cap X^-)|[/texx] toma [texx]B=A\cap X^+[/texx]

- en otro caso toma [texx]B=A\cap X^-[/texx].

 Verifica que cumple lo deseado.

Saludos.
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