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Autor Tema: [texx]-2x + 3y \leq 1[/texx] y el punto (0,0)  (Leído 97 veces)
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Mentecon
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« : 13/03/2019, 09:37:45 am »

Hola:
Tengo un problema con el siguiente ejercicio:

Averigua si [texx]P(-1,-2)[/texx] es una solución de la inecuación [texx]-2x + 3y \leq 1[/texx] y dibuja el semiplano, indicando si incluye o no a la recta [texx]-2x + 3y = 1[/texx].



Para hacer el dibujo del semiplano lo que hice fue probar con el punto [texx](0,0)[/texx] y así saber qué zona es parte de la solución. El problema es que cuando sustituyo el punto en la inecuación:
[texx](0,0) \rightarrow{} -2 \cdot{} 0 + 3 \cdot{} 0 \leq{} 1 \Leftrightarrow{} 0 \leq{} 1[/texx]

Y como [texx]0 \leq{} 1[/texx], supuse que la zona de la solución era «hacia abajo», pero al comprobar el punto [texx](-1,-2)[/texx]:
[texx](-1,-2) \rightarrow{} -2(-1) + 3(-2) \leq{} 1 \Leftrightarrow{} -4 \leq{} 1[/texx]

También se cumple. El dibujo del semiplano de la solución (he adjuntado la imagen para que podáis verla) indica que la zona de la solución es «hacia arriba», pero no entiendo por qué excluye al punto [texx](0,0)[/texx] si también cumple la desigualdad. El punto [texx](1,1)[/texx] también cumple la desigualdad: [texx]-2 \cdot{} 1 + 3 \cdot{} 1 \leq{} 1 \Leftrightarrow{} 1 \leq{} 1[/texx].

¿Por qué no están todos los puntos incluidos en la zona?
Espero haberme explicado bien, sobre todo con lo de «hacia arriba» y «hacia abajo», y que con la imagen adjunta se entienda a qué me refiero.

* solucion_inecuacion.png (15.18 KB - descargado 48 veces.)
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« Respuesta #1 : 13/03/2019, 09:48:03 am »

La recta [texx]-2x+3y=1[/texx] divide el plano en dos semiplanos.

Los puntos [texx](0,0)[/texx] y [texx](-1,-2)[/texx] están en el mismo semiplano, por tanto verifican o no la inecuación al mismo tiempo. En este caso, como dices, en ambos puntos se verifica, así que es ese semiplano la solución que buscas. En la imagen tienes dibujado justo el semiplano contrario.

Además, el punto [texx](1,1)[/texx] pertenece a la recta [texx]-2x+3y=1[/texx], es decir está en la frontera entre ambos semiplanos. Como la desigualdad inicial incluye el igual (no es estricta), también formará parte de la solución.
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« Respuesta #2 : 13/03/2019, 10:04:28 am »

Ya sé qué pasa. El semiplano de la solución está utilizando el punto [texx](-1,2)[/texx], cuando el enunciado indica que debe comprobarse el punto [texx](-1,-2)[/texx]. Si se sustituye con el punto [texx](-1,2) \rightarrow{} -2(-1) + 3\cdot{} 2 \leq{} 1 \Leftrightarrow{} 6 \leq{} 1 [/texx], lo cual no se cumple.

Por tanto, la solución correcta es la mía, ¿no? La zona debería ir hacia abajo, o sea, hacia los puntos (0,0) y (1,1).
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 13/03/2019, 12:56:51 pm »

Hola

Por tanto, la solución correcta es la mía, ¿no? La zona debería ir hacia abajo, o sea, hacia los puntos (0,0) y (1,1).

Si (bueno el [texx](1,1)[/texx] está en la recta límite). Es decir sería esta:



Saludos.

* regiondesigualdad.png (15.14 KB - descargado 36 veces.)
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« Respuesta #4 : 13/03/2019, 06:52:11 pm »

Vale, gracias cadoi y Luis Fuentes.

Tengo una última pregunta: como en la desigualdad está el signo [texx]\leq{}[/texx], la recta está incluida y por eso el punto [texx](1, 1)[/texx] está en la recta límite. Pero, ¿y si fuera estrictamente menor (<)? ¿Cómo dibujo la recta en ese caso?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 13/03/2019, 06:56:00 pm »

Hola

Vale, gracias cadoi y Luis Fuentes.

Tengo una última pregunta: como en la desigualdad está el signo [texx]\leq{}[/texx], la recta está incluida y por eso el punto [texx](1, 1)[/texx] está en la recta límite. Pero, ¿y si fuera estrictamente menor (<)? ¿Cómo dibujo la recta en ese caso?

Se suele dibujar punteada en ese caso.



Saludos.

* punteada.png (9.36 KB - descargado 18 veces.)
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