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Autor Tema: Espacio métrico  (Leído 39 veces)
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conchivgr
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« : 13/03/2019, 07:57:21 am »

Hola.

Estudiando los espacios métricos, me he encontrado con un ejemplo que introduce que toda función se puede obtener como superposición de senos y cosenos.

Sea [texx]f(x)=x^2-x+\displaystyle\frac{1}{6}[/texx],

[texx]g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{g_n(x)}[/texx]

con

[texx]g_n(x)=\displaystyle\frac{cos(2 \pi nx)}{{\pi}^2n^2}[/texx].

Ahora calcula la distancia [texx]\left |{f-g}\right |^2[/texx], y reordenando términos, queda que:

[texx]\left |{f-g}\right |^2=\displaystyle\sum_{n}{\displaystyle\sum_{n\neq{m}}{(g_ng_m)}}+2\displaystyle\sum_{n}{({g_n}^2-g_nf)}+(f^2-\displaystyle\sum_{n}{{g_n}^2})[/texx]

donde cada uno de los paréntesis tendrá integral nula (demostrando que [texx]f(x)=g(x)[/texx]).

Se demostrar que las integrales de los paréntesis son nulas, pero ¿cómo ha reordenado los términos para la igualdad anterior?. No entiendo de dónde han salido tantos sumatorios, y el doble sumatorio.

Besos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/03/2019, 08:35:55 am »

Hola

 Tienes que:

[texx] (f-g)^2=f^2+g^2-2fg[/texx]

[texx]\displaystyle g^2=\left(\sum_ng_n\right)\left(\sum_mg_m\right)=\left(\sum_ng_n\right)\left(\left(\sum_{m\neq n}g_m\right)+g_n\right)=
\left(\sum_ng_n\right)\left(\sum_{m\neq n}g_m\right)+\left(\sum_ng_n^2\right)=\\
=\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)-\left(\sum_ng_n^2\right)+2\left(\sum_ng_n^2\right)[/texx]

[texx]-2fg=-2\displaystyle\left(\sum_ng_nf\right)[/texx]

Por tanto:

[texx]\displaystyle(f-g)^2=f^2+\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)-\left(\sum_ng_n^2\right)+2\left(\sum_ng_n^2\right)-2\displaystyle\left(\sum_ng_nf\right)=\\
=\displaystyle\left(\sum_n\sum_{m\neq n}g_ng_m\right)+\left(f^2-\left(\sum_ng_n^2\right)\right)+2\left(\sum_n(g_n^2-2g_nf)\right)[/texx]

Saludos.
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