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Autor Tema: Producto de funciones  (Leído 358 veces)
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mariia
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« : 12/03/2019, 11:35:27 pm »

Hola buenas noches, me podrian ayudar con estos ejercicios. Gracias

1. Sean [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]g:C\rightarrow{D}[/texx] funciones y defina [texx](f*g)(x,y)=(f(x),g(y))[/texx] Demuestre que [texx]f*g[/texx] es una función de [texx]A\times{C}[/texx] en [texx]B\times{D}[/texx]

En este ejercicio no se como usar la notacion para resolver la funcion??

2. Sea [texx]f:\rightarrow{B}[/texx] una función. Demuestre que si [texx]\vec{f}(C\cap{D})=\vec{f}(C)\cap{\vec{f(D)}}[/texx] para todo par de conjuntos [texx]C[/texx] y [texx]D[/texx] subconjuntos de [texx]A[/texx], entonces [texx]f[/texx] es una función inyectiva.
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manooooh
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« Respuesta #1 : 13/03/2019, 04:33:42 am »

Hola

Por favor, indicanos qué es lo que intentaste para cada uno, así podemos ayudarte mejor.



No me ha salido ninguno pero dejo pistas que creo puedan servir :risa:.

1. Sean [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]g:C\rightarrow{D}[/texx] funciones y defina [texx](f*g)(x,y)=(f(x),g(y))[/texx] Demuestre que [texx]f*g[/texx] es una función de [texx]A\times{C}[/texx] en [texx]B\times{D}[/texx]

Para probar que [texx]\vec h(x,y),\vec{(f*g)}:A\times C\to B\times D\mid\vec h(x,y)=\vec{(f*g)}(x,y)=(f(x),g(y))[/texx] es función hay que probar que sea una relación y además cumpla existencia y unicidad. ¿Qué te parece si lo intentás, aunque el que te ayuda no haya podido :risa:?

2. Sea [texx]f:\rightarrow{B}[/texx] una función. Demuestre que si [texx]\vec{f}(C\cap{D})=\vec{f}(C)\cap{\vec{f(D)}}[/texx] para todo par de conjuntos [texx]C[/texx] y [texx]D[/texx] subconjuntos de [texx]A[/texx], entonces [texx]f[/texx] es una función inyectiva.

Creo que quisiste escribir [texx]f:{\color{red}A}\to B[/texx].

De todas formas, no entiendo qué significa pasar un conjunto como argumento de una función :¿eh?: :¿eh?:. Por ejemplo, si tenemos [texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x+5[/texx] y consideramos [texx]A=B=\{1\}\subseteq\Bbb R[/texx], ¿no es absurdo calcular [texx]f(\{1\})=f(\{1\}\cap\{1\})=f(\{1\})\cap f(\{1\})[/texx]?

Supongo que hay que probar lo siguiente:

[texx]\forall A\,\forall B(\forall x\in A\,\forall y\in A\,\forall C\subseteq A\,\forall D\subseteq A(\vec f(C\cap D)=\vec f(C)\cap\vec f(D)\to(\vec f(x)=\vec f(y)\to x=y))).[/texx]

Supongo que hay que empezar suponiendo [texx]x\in A[/texx] y llegar a que [texx]x[/texx] es igual a [texx]y[/texx], pero no sé cómo. Pero ya te digo que nunca vi una función que tenga como argumento un conjunto, en vez de un elemento.

Es mejor que esperes la ayuda de otro para confirmar/desmentir/pasar por alto la "ayuda" que di.

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 13/03/2019, 07:43:27 am »

Hola

Hola buenas noches, me podrian ayudar con estos ejercicios. Gracias

1. Sean [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx] y [texx]g:C\rightarrow{D}[/texx] funciones y defina [texx](f*g)(x,y)=(f(x),g(y))[/texx] Demuestre que [texx]f*g[/texx] es una función de [texx]A\times{C}[/texx] en [texx]B\times{D}[/texx]

En este ejercicio no se como usar la notacion para resolver la funcion??

Pues utiliza la notación de función como subconjunto de producto cartesiano.

Es decir una función [texx]f:X\to Y[/texx] es un subonjunto [texx]F\subset X\times Y[/texx] tal que para todo [texx]x\in X[/texx] existe un único [texx]y\in Y[/texx] tal que [texx](x,y)\in F[/texx].

Entonces tenemos [texx]F\subset A\times B[/texx] tal que para todo [texx]a\in A[/texx] existe un único [texx]b\in B[/texx] tal que [texx](a,b)\in F.[/texx] Se denota [texx]b=f(a)[/texx].

Tenemos [texx]G\subset C\times D[/texx] tal que para todo [texx]c\in C[/texx] existe un único [texx]d\in D[/texx] tal que [texx](c,d)\in G.[/texx] Se denota [texx]d=f(c)[/texx].

Definimos [texx]F*G\subset (A\times C)\times (B\times D)[/texx] como el conjunto de pares de la forma [texx]((x,y),(f(x),f(y))[/texx] con [texx]x\in A[/texx], [texx]y\in C[/texx].

Ahora dado [texx](a,c)\in A\times C[/texx] veamos que existe un único [texx](b,d)\in B\times D[/texx] tal que [texx]((a,c),(b,d))\in F*G[/texx].

Para la existencia basta tomar [texx]b=f(a)[/texx] y [texx]d=g(c)[/texx].

Para la unicidad tenemos en cuenta que si  [texx]((a,c),(b,d))\in F*G[/texx], entonces por definición de [texx]F*G[/texx], [texx]b=f(a)[/texx] y [texx]d=g(c).[/texx]

Cita
2. Sea [texx]f:\rightarrow{B}[/texx] una función. Demuestre que si [texx]\vec{f}(C\cap{D})=\vec{f}(C)\cap{\vec{f(D)}}[/texx] para todo par de conjuntos [texx]C[/texx] y [texx]D[/texx] subconjuntos de [texx]A[/texx], entonces [texx]f[/texx] es una función inyectiva.

Como dice manooooh se supone que querías poner:

[texx]f:\color{red}A\color{black}\rightarrow{B}[/texx]

Aclaro la notación que usas para manooooh. Por [texx]\vec f[/texx] se refiere a la función imagen directa que induce [texx]f[/texx] en los conjuntos de partes es decir:a

[texx]\vec f:{\cal P}(A)\to {\cal P}(B)[/texx]

definida como, dado [texx]C\subset A[/texx]:

[texx]\vec f(C)=\{b\in B|b=f(c)\textsf{ con }c\in C\}[/texx]

En muchas ocasiones y con un abuso de notación aceptado, a la función [texx]\vec f[/texx] se le sigue llamando [texx]f[/texx], de manera que si uno tiene una función [texx]f:A\to B[/texx] y escribe [texx]f(C)[/texx] para un cierto subconjunto [texx]C[/texx] de [texx]A[/texx] entiende que se refiere a:

[texx]f(C)=\{b\in B|b=f(c)\textsf{ con }c\in C\}[/texx]

En cuanto al ejercicio. Tenemos que probar que:

[texx]f(x)=f(y)\quad \Rightarrow{}\quad x=y[/texx]

Tomando [texx]C=\{x\}[/texx] y [texx]D=\{y\}[/texx] se tiene que [texx]\vec f(C)=\{f(x)\}[/texx] y [texx]\vec f(D)=\{f(y)\}[/texx]; como [texx]f(x)=f(y)[/texx], se cumple que [texx]\vec f(C)\cap \vec f(D)=\{f(x)\}[/texx]. Por hipótesis:

[texx]\vec f(C\cap D)=\vec f(C)\cap \vec f(D)=\{f(x)\}[/texx]   (*)

Si tuviésemos [texx]x\neq y[/texx] entonces [texx]C\cap D=\emptyset y \vec f(C\cap D)=\vec f(\emptyset)=\emptyset[/texx], lo cuál contradice (*). Por tanto [texx]x=y[/texx].

Saludos.
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mariia
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« Respuesta #3 : 13/03/2019, 10:20:35 pm »

ok, gracias por las sugerencias y respuestas.

yo hice el primer punto de esta forma, quedaría bien??

[texx]f*g\subseteq{(A\times{C})\times{(B\times{D})}}[/texx]

sea [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g} \Longrightarrow{f*g(x,y)}=(r,s)[/texx]  [texx]donde (f(x),g(y))=(r,s)[/texx]
[texx]\Rightarrow{(x,r)\in{f}}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]     [texx](y,s)\in{g}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(r,s)\in{A\times{B}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](y,s)\in{C\times{D}}[/texx]
[texx](x\in{A} \wedge  r\in{B})[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](y\in{C}  \wedge  s\in{D})[/texx]
[texx]\Rightarrow{x\in{A}}\wedge y\in{C}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r\in{B}\wedge s\in{D}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(x,y)\in{A\times{C}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](r,s)\in{B\times{D}}[/texx]


[texx]\forall{(x,y)\in{(A\times{C}}} \exists{(r,s)\in{(B\times{D}}}/((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]

sea [texx](x,y)\in{(A\times{C})}\Rightarrow{x\in{A}}[/texx]  [texx]\wedge [/texx]  [texx]y\in{C}[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{r\in{B/(x,s)\in{f}}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\exists{s\in{D}}/(y,s)\in{g}[/texx]
[texx]\Rightarrow{f(x)=r}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]g(y)=s[/texx]
[texx]\Rightarrow{(f(x),g(y))}=(r,s)[/texx] es decir [texx]f*g(x,y)=(r,s)[/texx]


[texx]\forall{(x,y)\in{(A\times{C)}}}[/texx]   [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]     [texx]\wedge[/texx]    [texx]((x,y),(m,n))\in{f*g}\Rightarrow{(r,s)=(m,n)}[/texx]
sea [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]((x,y),(m,n))\in{f*g}[/texx]}
[texx]\Rightarrow{f*g(x,y)=(r,s)}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]f*g(x,y)=(m,n)[/texx]
[texx]\Rightarrow{(r,s)=(m,n)}[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 14/03/2019, 04:43:06 am »

Hola

[texx]f*g\subseteq{(A\times{C})\times{(B\times{D})}}[/texx]

Ahi deberías de decir antes "voy a probar que..." ó "veamos que..."

Cita
sea [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g} \Longrightarrow{f*g(x,y)}=(r,s)[/texx]  [texx]donde (f(x),g(y))=(r,s)[/texx]
[texx]\Rightarrow{(x,r)\in{f}}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]     [texx](y,s)\in{g}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(r,s)\in{A\times{B}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](y,s)\in{C\times{D}}[/texx]
[texx](x\in{A} \wedge  r\in{B})[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](y\in{C}  \wedge  s\in{D})[/texx]
[texx]\Rightarrow{x\in{A}}\wedge y\in{C}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r\in{B}\wedge s\in{D}[/texx]
[texx]\Rightarrow{(x,y)\in{A\times{C}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](r,s)\in{B\times{D}}[/texx]

No está mal. Pero es innecesario desde el principio por definición [texx]x\in A[/texx], [texx]y\in C[/texx] y por ser [texx]f,g[/texx] funciones [texx]f(x)\in B[/texx] y [texx]f(y)\in D[/texx].

Cita
[texx]\forall{(x,y)\in{(A\times{C}}} \exists{(r,s)\in{(B\times{D}}}/((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]

Lo mismo de antes. Añade un "... ahora veamos que se cumple".

Cita
sea [texx](x,y)\in{(A\times{C})}\Rightarrow{x\in{A}}[/texx]  [texx]\wedge [/texx]  [texx]y\in{C}[/texx]
[texx]\Rightarrow{\exists{r\in{B/(x,\color{red}s\color{black})\in{f}}}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\exists{s\in{D}}/(y,s)\in{g}[/texx]
[texx]\Rightarrow{f(x)=r}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]g(y)=s[/texx]
[texx]\Rightarrow{(f(x),g(y))}=(r,s)[/texx] es decir [texx]f*g(x,y)=(r,s)[/texx]

Tienes una errata marcada en rojo (en lugar de [texx]s[/texx] debe de ser [texx]r[/texx]). Por lo demás bien.

Cita
[texx]\forall{(x,y)\in{(A\times{C)}}}[/texx]   [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]     [texx]\wedge[/texx]    [texx]((x,y),(m,n))\in{f*g}\Rightarrow{(r,s)=(m,n)}[/texx]

Una vez más. "Veamos finalmente que...".

Cita
sea [texx]((x,y),(r,s))\in{f*g}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]((x,y),(m,n))\in{f*g}[/texx]}
[texx]\Rightarrow{f*g(x,y)=(r,s)}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]f*g(x,y)=(m,n)[/texx]
[texx]\color{red}\Rightarrow{(r,s)=(m,n)}\color{black}[/texx]

Ese último paso marcado en rojo no está suficientemente detallado. Tienes que dedicr que:

como [texx]f*g(x,y)=(r,s)[/texx], por definición de[texx] f*g[/texx],  [texx]r=f(x)[/texx] y  [texx]s=g(y)[/texx]
como [texx]f*g(x,y)=(m,n)[/texx], por definición de[texx] f*g[/texx], [texx]m=f(x)[/texx] y  [texx]n=g(y)[/texx]

Entonces [texx]r=f(x)=m[/texx] y [texx]s=g(y)=n[/texx] y por tanto [texx](r,s)=(m,n)[/texx].

Saludos.
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