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Autor Tema: Demostración del número e  (Leído 401 veces)
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #20 : 12/03/2019, 04:29:47 pm »

Tenemos este documento,que es de gran ayuda.
rinconmatematico.com/korovkin/korovnumeroe.pdf

Un camino parecido,supuesto demostrado : [texx]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = (1+\dfrac{1}{n})^n = e [/texx].
En particular convergerá [texx](1+\dfrac{1}{n+1})^n = (1+\dfrac{1}{n+1})^{n+1} \cdot \dfrac{n+1}{n+2} [/texx]
En particular convergerá [texx](1+\dfrac{1}{n})^{n+1} = (1+\dfrac{1}{n})^n \cdot (1+\dfrac{1}{n})  [/texx]
Tenemos que la función [texx]g(x) = x^m [/texx] es creciente en [texx][0+\infty[[/texx]
Tenemos que la función [texx]h(x) = a^x [/texx] es creciente en [texx] \mathbb{R} [/texx] donde [texx]a>1[/texx].

[texx] (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor + 1})^{\lfloor x \rfloor} < (1+\dfrac{1}{x})^{\lfloor x \rfloor} [/texx] utilizando las propiedades de la función [texx] g [/texx].
[texx] (1+\dfrac{1}{x})^{\lfloor x \rfloor}  \leq (1+\dfrac{1}{x})^{x} [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]h[/texx]
[texx](1+\dfrac{1}{x})^{x} \leq (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{x} [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]g[/texx].
[texx] (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{x} \leq (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{\lfloor x \rfloor + 1 } [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]h[/texx].

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« Respuesta #21 : 12/03/2019, 05:10:48 pm »


A mí se me ocurre una cosa que casi seguro no va a servir como demostración (me parece una componenda quizá un poco tramposa, no lo sé) pero para estar seguro de que no sirve, la pongo.

Parto de lo que tenía, en el límite tenemos que [texx]\lfloor x\rfloor+m=\lfloor x\rfloor
 [/texx].

Entonces también

[texx]\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}=\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m}
 [/texx]

y también

[texx]1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}=1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m}
 [/texx]

El límite de esta función [texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}[/texx], cuando x tiende a infinito y siendo “m” la mantisa, es 1. El límite del producto de dos funciones convergentes es el producto de sus límites. Como la función de la izquierda en la igualdad es convergente, supongo que esto es válido (aquí es donde no sé yo, en este invento...)

[texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]

Ahora, elevando a [texx]\lfloor x\rfloor
 [/texx] a ambos lados

[texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor}(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{m}
 [/texx]

y por la regla de las potencias oportuna

[texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor+m}
 [/texx].

Saludos.
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« Respuesta #22 : 12/03/2019, 09:19:08 pm »


Parto de lo que tenía, en el límite tenemos que [texx]\lfloor x\rfloor+m=\lfloor x\rfloor
 [/texx].

Esto es lo que sigo sin ver. No se por qué la mantisa no influye aunque x tienda a infinito. Por el resto de cálculos creo que están bien.





[texx] (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor + 1})^{\lfloor x \rfloor} < (1+\dfrac{1}{x})^{\lfloor x \rfloor} [/texx] utilizando las propiedades de la función [texx] g [/texx].
[texx] (1+\dfrac{1}{x})^{\lfloor x \rfloor}  \leq (1+\dfrac{1}{x})^{x} [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]h[/texx]
[texx](1+\dfrac{1}{x})^{x} \leq (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{x} [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]g[/texx].
[texx] (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{x} \leq (1+\dfrac{1}{\lfloor x \rfloor})^{\lfloor x \rfloor + 1 } [/texx] utilizando propiedades de la función [texx]h[/texx].

Esto está bien, pero no se si sirve para demostrar que  [texx]\left(1+\displaystyle\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor}\color{black}\le\color{black} \left(1+\displaystyle\frac{1}{ x }\right)^{ x }\color{black}\le\color{black} \left(1+\displaystyle\frac{1}{\lfloor x \rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor+1}[/texx]




pues esto prácticamente [texx]e={\displaystyle \lim_{x\to{+}\infty}{\left(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)^{x}}=e}
 [/texx], los tres son “e”, el mismo número real, porque si el del medio está entre dos números “e” (que es sólo uno) sólo puede ser “e”. La diferencia es infinitesimal.


Pero esto falta demostrarlo. Para demostrar esto sería igual a demostrar que la función es creciente, es decir la derivada es mayor que 0.




Aquí tienes una forma de introducir el número [texx]e[/texx]:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,54679.msg217897.html#msg217897


Vale, voy a leérmelo a ver si saco algo en claro.



Yo me refería por ejemplo a definir:

[texx]e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{x^k}{k!}[/texx]

Pero para justificar la convergencia y propiedades de esa serie hay que saber teoría de series funcionales.

En definitiva a la hora de decidir el enfoque que más te conviene para definir el número [texx]e[/texx] y en general [texx]e^x[/texx],  hay que saber en que resultados previos ya demostrados te puedes apoyar.

Ya veo... Sinceramente no pensaba que fuera a ser tan difícil definir el número e como límite de esta sucesión. Pero bueno, si veo que necesito un nivel mucho más avanzado del que tengo dejaré esta demostración para más adelante... De momento voy a ver como podría demostrarse e con esta otra serie para demostrar que la primera es creciente.
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« Respuesta #23 : 13/03/2019, 04:41:57 am »

Hola

Esto es lo que sigo sin ver. No se por qué la mantisa no influye aunque x tienda a infinito. Por el resto de cálculos creo que están bien.

Es que TODO lo que ha hecho ahí feriva está mal.

Parto de lo que tenía, en el límite tenemos que [texx]\lfloor x\rfloor+m=\lfloor x\rfloor
 [/texx].

Si va a ser en el límite... pon el límite:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\lfloor x\rfloor[/texx]

Pongo [texx]m(x)[/texx] porque la mantisa depende de x; en ese caso esa igualdad es cierta. Dado que [texx]0\leq m(x)\leq 1[/texx] el límite es inifnito en ambos lados.

Cita
[texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]

Ahora, elevando a [texx]\lfloor x\rfloor
 [/texx] a ambos lados

[texx](1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor}(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{m}
 [/texx]

Ese "salto" que haces NO está bien. La igualdad inicial sólo es cierto si pones límites. En ese caso igualmente sería cierto que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]

(en ambos casos el límite es [texx]1[/texx]). Pero ya NO funciona que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor}(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{m}
 [/texx]

Cita
Esto está bien, pero no se si sirve para demostrar que  [texx]\left(1+\displaystyle\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor}\color{black}\le\color{black} \left(1+\displaystyle\frac{1}{ x }\right)^{ x }\color{black}\le\color{black} \left(1+\displaystyle\frac{1}{\lfloor x \rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor+1}[/texx]

Te sirve para lo siguiente:

[texx]\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\geq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^x=\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}[/texx]

[texx]\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^x=\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor }\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor}[/texx]

Es decir:

[texx]\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}\leq \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor }\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor}[/texx]

Ahora supuesto que ya tienes demostrado para SUCESIONES (para enteros) que:

[texx]e:=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/texx]

Aplicando límites en la desigualdad anterior tienes que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}=1[/texx] (porque la base tiende a [texx]1[/texx] y el exponente está acotado)

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{x-\lfloor x \rfloor }=1[/texx] (porque la base tiende a [texx]1[/texx] y el exponente está acotado)

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e[/texx]

Y en la desiguladad anterior:

[texx]e\leq\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq e[/texx]

de forma que por el Teorema del Sandwich ya lo tienes.

Cita
Ya veo... Sinceramente no pensaba que fuera a ser tan difícil definir el número e como límite de esta sucesión. Pero bueno, si veo que necesito un nivel mucho más avanzado del que tengo dejaré esta demostración para más adelante... De momento voy a ver como podría demostrarse e con esta otra serie para demostrar que la primera es creciente.

Pero si recapitulas y pones en limpio el hilo no es tan compicado.

En primer lugar para definir el número [texx]e[/texx] como sucesión, es decir, como:

[texx]e:=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/texx]

No tienes que preocuparte de lo que ocurre cuando [texx]x[/texx] es real; es decir no interviene nada de lo que has consultado en este hilo. Funciona el argumento sin más que venia en tu libro y también lo puedes leer en el enlace que te indiqué.

Después para ver que ese límite coincide con:

[texx]e:=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x[/texx]

Aquí has visto dos argumentos uno usando derivadas y otro sin utilizarlas.

Saludos.

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« Respuesta #24 : 13/03/2019, 05:12:01 am »



Ese "salto" que haces está bien. La igualdad inicial sólo es cierto si pones límites. En ese caso igualmente sería cierto que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]

(en ambos casos el límite es [texx]1[/texx]). Pero ya NO funciona que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor}(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{m}
 [/texx]


Ah, claro, eso es una indefinición; sabía yo que algo tenía que haber por ahí, pero no lo veía anoche con claridad.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.
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« Respuesta #25 : 13/03/2019, 05:21:41 am »


Parto de lo que tenía, en el límite tenemos que [texx]\lfloor x\rfloor+m=\lfloor x\rfloor
 [/texx].

Esto es lo que sigo sin ver. No se por qué la mantisa no influye aunque x tienda a infinito. Por el resto de cálculos creo que están bien.


Sí, perdóname, es que pensé que se me entendería; quería decir lo que ha escrito Luis. En cualquier caso ya has visto que hay un paso que no vale.

Intuitivamente, sí verás bien que [texx]\underset{x\rightarrow\infty}{lim}x+1=\infty
 [/texx]. La idea se refiere al valor cuantitativo, pues si piensas en una cadena infinita de cifras, las que sean, 25461..., al sumar el 1, ¿dónde tiene que ir o sumarse? En un sitio que no llega nunca, en una cifra infinitamente alejada. Del mismo modo, si x tiende a infinito dado un núero real no entero, la “coma” de la mantisa estará infinitamente alejada. Así, en todo tipo de cálculo donde sólo influyan cosas “cuantitativas” (no sé bien cómo expresar esto) un real positivo que tienda a infinito funcionará como si fuera entero. Lo que ocurre es que en matemáticas no todo es el valor o la cantidad al hacer operaciones, influyen otras cosas.




Saludos.
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« Respuesta #26 : 13/03/2019, 06:32:51 am »

Hola



Ese "salto" que haces está bien. La igualdad inicial sólo es cierto si pones límites. En ese caso igualmente sería cierto que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]

(en ambos casos el límite es [texx]1[/texx]). Pero ya NO funciona que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})^{\lfloor x\rfloor}=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\lfloor x\rfloor}(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{m}
 [/texx]

Ah, claro, eso es una indefinición; sabía yo que algo tenía que haber por ahí, pero no lo veía anoche con claridad.

Aunque salta a la vista por lo que explico después, tan sólo señalar que ahí quería poner: "Ese "salto" que haces NO está bien". Ya lo he corregido.

Respecto a esto:

Cita
Parto de lo que tenía, en el límite tenemos que [texx]\lfloor x\rfloor+m=\lfloor x\rfloor
 [/texx].

Esto es lo que sigo sin ver. No se por qué la mantisa no influye aunque x tienda a infinito. Por el resto de cálculos creo que están bien.

Como ya dije de manera precisa lo que quiere decir es que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\lfloor x\rfloor[/texx]

donde [texx]m(x)=x-\lfloor x\rfloor[/texx] cumple [texx]0\leq m(x)\leq 1[/texx].

El motivo simplemente es que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\lfloor x\rfloor=+\infty[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)\geq \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor=+\infty\quad \Rightarrow\quad \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)=+\infty[/texx].

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« Respuesta #27 : 13/03/2019, 06:42:02 am »

Hola

Ese "salto" que haces está bien. La igualdad inicial sólo es cierto si pones límites. En ese caso igualmente sería cierto que:

[texx](1+\dfrac{1}{10\lfloor x\rfloor})=(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+m})^{\frac{m}{\lfloor x\rfloor}}
 [/texx]


Ahora ya sí he visto lo que querías decir; no me había fijado en ese 10 arbitrario que ponías en el ejemplo.

Gracias, Luis.

Saludos.
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« Respuesta #28 : 13/03/2019, 05:52:54 pm »


El motivo simplemente es que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\lfloor x\rfloor=+\infty[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)\geq \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor=+\infty\quad \Rightarrow\quad \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\lfloor x\rfloor+m(x)=+\infty[/texx].


Es verdad. Aquí me había liado con que no se puede meter dentro de una funcion. Osea, por ejemplo con la función seno
[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sen \lfloor x\rfloor}\neq{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sen 
(x) }}[/texx]





Te sirve para lo siguiente:

[texx]\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\geq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^x=\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}[/texx]

[texx]\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^x=\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor }\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor}[/texx]

Es decir:

[texx]\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}\leq \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor }\cdot \left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor}[/texx]

Ahora supuesto que ya tienes demostrado para SUCESIONES (para enteros) que:

[texx]e:=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n[/texx]

Aplicando límites en la desigualdad anterior tienes que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{\lfloor x \rfloor +1}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor+1}\right)^{x-\lfloor x \rfloor -1}=1[/texx] (porque la base tiende a [texx]1[/texx] y el exponente está acotado)

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{x-\lfloor x \rfloor }=1[/texx] (porque la base tiende a [texx]1[/texx] y el exponente está acotado)

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{\lfloor x\rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e[/texx]

Y en la desiguladad anterior:

[texx]e\leq\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\leq e[/texx]

de forma que por el Teorema del Sandwich ya lo tienes.


Ah, pues esta forma es mucho más fácil. ¡Y sin usar derivadas ni logaritmos neperianos ni nada complejo! Pues en principio esto me sirve.

Y muchas gracias a todos los que me han contestado en este hilo.
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