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Autor Tema: Sigma-álgebra generada por un álgebra.  (Leído 92 veces)
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vicentebarba
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« : 09/03/2019, 08:06:15 pm »

¡Hola! Me he quedado atascado con un ejercicio, y no sé cómo "meterle mano". A ver si me podéis ayudar. El enunciado dice así:

"Si [texx]\Omega = \mathbb{Q}[/texx] y [texx]\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx] es el álgebra formada por las uniones disjuntas finitas de conjuntos de la familia

[texx]\displaystyle \{ \emptyset, (a,b], (a,+\infty), \mathbb{Q} : a, b \in \mathbb{Q} \}[/texx]

demostrar que la [texx]\sigma[/texx]-álgebra generada por [texx]\mathcal{A}[/texx], [texx]\sigma(\mathcal{A})[/texx], es precisamente [texx]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx]".

El contenido [texx]\sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx] es trivial, pero el otro no sé por dónde cogerlo. Creo que no puedo usar el principio de los buenos conjuntos porque [texx]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx] es la [texx]\sigma[/texx]-álgebra más "grande" de todas. Por otra parte, tomar un subconjunto cualquiera de los racionales no me parece factible. ¿Qué se podría hacer en esta situación? Muchas gracias.
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« Respuesta #1 : 10/03/2019, 07:06:18 am »

Se demuestra directamente, tomando un subconjunto cualquiera de los racionales. Primero, como [texx]\mathbb{Q}[/texx] es numerable, cualquier subconjunto será finito o infinito numerable. Entonces, como una sigma-álgebra es cerrada bajo uniones numerables, basta con ver que la sigma-álgebra contiene todos los conjuntos [texx]\{q\}[/texx] formados por un único elemento. Te dejo a ti pensar por qué esto es cierto (se pueden obtener haciendo intersecciones numerables de elementos de [texx]\mathcal{A}[/texx]).
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
vicentebarba
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« Respuesta #2 : 13/03/2019, 02:31:53 pm »

¡Muchas gracias! Pero entonces, ¿no puedo simplemente establecer que [texx]\{ q \} = (a, q] \cap (q,+\infty)[/texx]? En tal caso, claro, como se expresa [texx]\{ q \}[/texx] cualquiera de [texx]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx] como intersección de elementos de [texx]\sigma(\mathcal{A})[/texx], está en dicha [texx]\sigma[/texx]-álgebra. Por lo tanto, como el complementario también está entonces están todos los subconjuntos de los racionales. ¿Ya estaría? No sé si lo termino de ver demasiado claro.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 13/03/2019, 02:52:21 pm »

Hola

¡Muchas gracias! Pero entonces, ¿no puedo simplemente establecer que [texx]\{ q \} = (a, q] \cap (q,+\infty)[/texx]? En tal caso, claro, como se expresa [texx]\{ q \}[/texx] cualquiera de [texx]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/texx] como intersección de elementos de [texx]\sigma(\mathcal{A})[/texx], está en dicha [texx]\sigma[/texx]-álgebra.

Bien. No, está mal. Lo aclara después geómetracat.

Cita
Por lo tanto, como el complementario también está entonces están todos los subconjuntos de los racionales. ¿Ya estaría? No sé si lo termino de ver demasiado claro.

Pero no se porque haces intervenir ahora ahí el complementario.

Simplemente como [texx]\mathbb{Q}[/texx] es numerable cualquier subconjunto [texx]C[/texx] o es finito o es infinito numerable.

En el primer caso [texx]C=\{q_1,q_2,\ldots,q_n\}=\displaystyle\bigcup_{i=1}^n\{q_i\}[/texx].

En el segundo caso  [texx]C=\{q_n|n\in \mathbb{N}\}=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty\{q_n\}[/texx].

En ambos casos se deduce que [texx]C[/texx] está en la sigma álgebra ya que esta es cerrada para uniones finitas o numerables de conjuntos.

Saludos.

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geómetracat
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« Respuesta #4 : 13/03/2019, 05:21:34 pm »

Cuidado, [texx](a,q] \cap (q, \infty) = \emptyset[/texx], pues [texx]q[/texx] no está incluído en [texx](q, \infty)[/texx]. Una solución es tomar
[texx]\displaystyle \{q\} = \bigcap_{n >0} (q-1/n,q][/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 13/03/2019, 06:02:40 pm »

Hola

Cuidado, [texx](a,q] \cap (q, \infty) = \emptyset[/texx], pues [texx]q[/texx] no está incluído en [texx](q, \infty)[/texx]. Una solución es tomar
[texx]\displaystyle \{q\} = \bigcap_{n >0} (q-1/n,q][/texx].

¡Si, claro!. Ni me fijé. Gracias.

Saludos.
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