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Autor Tema: Consecuencias de los axiomas de incidencia y de orden.  (Leído 169 veces)
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José Romero
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« : 24/03/2019, 09:12:03 pm »

Hola, que tal.

Necesito ayuda con uno de los teoremas de Hilbert, los cuales titula como "Consecuencias de los axiomas de incidencia y de orden." En particular, hay un teorema que no he podido resolver, el cual resulta ser una generalización del siguiente teorema:

Teorema 1: Dados cuatro puntos cualesquiera de una recta, pueden ser designados siempre por [texx]A,B,C,D[/texx], de tal modo que el [texx]B[/texx]esté situado entre [texx]A[/texx] y [texx]C[/texx]y también entre [texx]A[/texx] y [texx]D[/texx], y además el [texx]C[/texx] quede entre [texx]A[/texx] y [texx]D[/texx], y también entre [texx]B[/texx] y [texx]D[/texx].

El teorema, en general versa así

Teorema 2(en general): Dado un número finito de puntos cualesquiera sobre una recta, pueden estos ser designados con [texx]A,B,C,D,E,...,L[/texx] de tal manera que el punto [texx]B[/texx]esté situado entre [texx]A[/texx], de un lado y [texx]C,D,E,...,L[/texx] del otro lado, además [texx]C[/texx] quede entre [texx]A [/texx] y [texx]B[/texx] por una parte y [texx]D,E,...,L[/texx], por la otra, [texx]D[/texx] esté entre [texx]A,B,C[/texx], por un lado, y [texx]E,...,L[/texx] por el otro, y así sucesivamente. Existe además, fuera del modo de asignación anterior, otra inversa [texx]L,...,E,D,C,B,A[/texx], la cual goza de la misma condición.

Yo traté de resolverlo así:

 Dí por hecho (por el teorema 1) que se cumple que [texx]B[/texx]esté situado entre [texx]A[/texx] y [texx]C[/texx]y también entre [texx]A[/texx] y [texx]D[/texx], y además el [texx]C[/texx] quede entre [texx]A[/texx] y [texx]D[/texx], y también entre [texx]B[/texx] y [texx]D[/texx].

Luego, para los siguientes puntos [texx]E,F,G,H[/texx] se cumple que  [texx]F[/texx]esté situado entre [texx]E[/texx] y [texx]G[/texx]y también entre [texx]E[/texx] y [texx]H[/texx], y además el [texx]G[/texx] quede entre [texx]E[/texx] y [texx]H[/texx], y también entre [texx]F[/texx] y [texx]H[/texx].

Y así sucesivamente hasta llegar a los puntos [texx]I,J,K,L[/texx], siendo estos los últimos a considerar, se cumple que  [texx]J[/texx]esté situado entre [texx]I[/texx] y [texx]K[/texx]y también entre [texx]I[/texx] y [texx]L[/texx], y además el [texx]K[/texx] quede entre [texx]I[/texx] y [texx]L[/texx], y también entre [texx]J[/texx] y [texx]L[/texx].

Entonces, el problema que se me presenta es ¿cómo puedo unir esos segmentos para poder decir que pertenecen a la misma línea recta?

También pensé en considerar que en cada uno de los segmentos tengan un punto en común, es decir, en vez de tener los segmentos [texx]A,B,C,D[/texx] y [texx]E,F,G,H[/texx] podrían ser [texx]A,B,C,D[/texx] y [texx]D,E,F,G[/texx]. De estos últimos segmentos lo que se podría hacer es demostrar que entre [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] están [texx]B,C,D,E,F,G[/texx]...  Llegando a este punto, ¿puedo suponer que se cumple el teorema si hacemos lo mismo sucesivamente?
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