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Autor Tema: Número de fracciones irreductibles.  (Leído 131 veces)
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Francois
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« : 05/03/2019, 02:29:41 am »

PREGUNTA

Cúal es el número de fracciones irreductibles cuya suma de términos es [texx]504 [/texx].

Solución

Si [texx]f=\displaystyle\frac{a}{b}[/texx] , por dato [texx] a[/texx] y [texx] b\neq{0}[/texx] son PESI (Primos entre sí o coprimos)

Luego [texx] M.C.D(a,b)=1[/texx] lo que implica que [texx]a=p[/texx] y [texx]b=q[/texx] donde [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son PESI.

[texx]p+q=504[/texx] , con [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] PESI.

Consulta.

Ahora lo que se me ocurre es tantear valores  pero.
Quisiera saber si hay alguna forma de conseguir esas parejas de números PESI cuya suma de valores me da el [texx]504[/texx].

O quizá el problema tenga otra forma de resolver.
Muchas gracias por la ayuda.

Saludos a todos.
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feriva
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« Respuesta #1 : 05/03/2019, 04:22:55 am »

PREGUNTA

Cúal es el número de fracciones irreductibles cuya suma de términos es [texx]504 [/texx].

Solución

Si [texx]f=\displaystyle\frac{a}{b}[/texx] , por dato [texx] a[/texx] y [texx] b\neq{0}[/texx] son PESI (Primos entre sí o coprimos)

Luego [texx] M.C.D(a,b)=1[/texx] lo que implica que [texx]a=p[/texx] y [texx]b=q[/texx] donde [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son PESI.

[texx]p+q=504[/texx] , con [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] PESI.

Consulta.

Ahora lo que se me ocurre es tantear valores  pero.
Quisiera saber si hay alguna forma de conseguir esas parejas de números PESI cuya suma de valores me da el [texx]504[/texx].

O quizá el problema tenga otra forma de resolver.
Muchas gracias por la ayuda.

Saludos a todos.


Si son positivos, todas las parejas posibles de números que puede sumar 504 son las que están formadas por los números  menores que 252 y, por otra parte, mayores que 252 hasta 504; y de éstos hay que elegir los coprimos con 504; que los calculas con phi de 252.

Vas a tener siempre la misma cantidad de coprimos a un lado y al otro de (504/2), ya que, la factorización de 252 es igual que la de 504 quitando que éste es múltiplo de un 2 más; en general, los coprimos hasta un número 2n, suman simétricamente respecto de “n”, como los no coprimos. Es imposible que un coprimo con 2n y un no coprimo sumen 2n, por razones obvias.

*para ilustrarlo un poco con un ejemplo, tomo otro número par; como por ejemplo 8.

[texx]0,{\color{blue}1},2,{\color{blue}3},{\color{magenta}4},{\color{blue}5},6,{\color{blue}7},8
 [/texx]

Tienes que los coprimos son 1 y 3 a un lado de 8/2; y 5 y 7 al otro lado, de forma que suman simétricamente respecto de “n” como centro de equidistancia.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #2 : 05/03/2019, 06:29:35 am »

Hola.

PREGUNTA

Cúal es el número de fracciones irreductibles cuya suma de términos es [texx]504 [/texx].

Yo lo que he pensado es en descomponer el 504 para que todo quede así: [texx]p+q=2^3\cdot{3^2\cdot{7}}[/texx]. En estas condiciones es fácil ver que [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son "PESI" si y sólo si [texx]q[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] ni de [texx]3[/texx] ni de [texx]7[/texx]. Entonces la pregunta se reduce a ver cúantos números entre [texx]1[/texx] y [texx]504[/texx] no son múltiplos de [texx]2[/texx] ni de [texx]3[/texx] ni de [texx]7[/texx].

¿Cómo lo ves ahora?

AÑADIDO 
Me salen 144.

Un saludo.

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« Respuesta #3 : 05/03/2019, 07:45:48 am »


Me salen 144.



Coincido, a mí también me sale eso con la phi de Euler; son 144 coprimos, sólo que yo lo había pensado directamente con la mitad para sacar las parejas

[texx]\varphi(\dfrac{504}{2})=\varphi(252)=252(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{7})=72
 [/texx] parejas.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #4 : 05/03/2019, 08:50:06 am »


Me salen 144.



Coincido, a mí también me sale eso con la phi de Euler; son 144 coprimos, sólo que yo lo había pensado directamente con la mitad para sacar las parejas

[texx]\varphi(\dfrac{504}{2})=\varphi(252)=252(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{3})(1-\dfrac{1}{7})=72
 [/texx] parejas.

Saludos.

Bien!!!   :guiño:

Pero ten cuidado porque si 504 no hubiese sido múltiplo de 4 habrías tenido que tener en cuenta más cosas.

Un saludo.
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feriva
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« Respuesta #5 : 05/03/2019, 12:33:01 pm »


Bien!!!   :guiño:

Pero ten cuidado porque si 504 no hubiese sido múltiplo de 4 habrías tenido que tener en cuenta más cosas.

Un saludo.

Hola, martiniano

En realidad mi despiste en esta ocasión ha sido no señalar (porque no mi di cuenta justo hasta ver tu respuesta) que en las fracciones hay que tener en cuenta las inversas, con lo que salen 504 aunque sean la mitad en cuanto a la pareja de sumas.

Lo otro sí lo he tenido en cuenta porque es algo que he usado bastante desde hace tiempo en “inventos” míos :sonrisa:

Todos los números posibles que pueden dar la suma 2n son de esta forma

[texx](0+2n),(1+(2n-1),(2+(2n-2))...(n+n)[/texx]

De manera que en cada pareja (a,b) que suma 2n uno de ellos pertenece al intervalo (0,n) y otro al intervalo (n,2n); y están a la misma distancia de “n” (no meto n+n en el ajo por no ser “n” coprimo, y con el cero lo mismo).
Esto es lógico, entre otras cosas, porque dos números menores que “n” siempre sumarán menos de 2n y dos números mayores que “n” siempre sumarán más de 2n.
Como un coprimo tiene que sumar con otro coprimo, la cantidad de copirmos total es par (independientemente de que en cada intervalo por separado la cantidad pueda ser impar o par, pues lo que sí ocurre siempre es que la cantidad es igual en cada intervalo).

Saludos.
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